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专题 9.9 解析几何
一、单选题
1．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，
点 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C
上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上
一点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点 到双曲线 的一条渐近线的距
离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线 的焦点到直线 的距
离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率为
， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为
（ ）A． B． C． D．
7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆 的离心
率分别为 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设 为椭圆 的两个焦点，点
在 上，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，直线 与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则
（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知双曲线 的离心率为
，其中一条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，
点 在 上，则 的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
12．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设 是椭圆 的上顶点，
若 上的任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
试卷第2页，共10页A． B． C． D．
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点 与圆 相切的两条直线
的夹角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
14．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆 的左顶点为A，
点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
15．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）己知椭圆 ， 为两个焦点，O
为原点，P为椭圆上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四
个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数 满足 ，
则 的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
二、多选题
18．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
19．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点 在圆 上，点 、
，则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
20．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
21．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴
为直径的圆记为D，过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线
焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则
（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
23．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
试卷第4页，共10页A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
三、填空题
24．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点 在抛物线C： 上，则
A到C的准线的距离为______.
25．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )
的焦点为 ， 为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，
则 的准线方程为______.
26．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线 的右焦点到直线
的距离为________．
27．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，
P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为
________．
28．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线 的一条渐近
线为 ，则C的焦距为_________．
29．（2021年全国新高考II卷数学试题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线
的渐近线方程___________.
30．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）过四点 中的三点的一
个圆的方程为____________．
31．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线 的渐近线与圆
相切，则 _________．32．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线 上，点 和
均在 上，则 的方程为______________．
33．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线 的离心率为
e，写出满足条件“直线 与C无公共点”的e的一个值______________．
34．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点 ，若直线 关于 对称
的直线与圆 有公共点，则a的取值范围是________．
35．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线 与 交
于A，B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值______．
36．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ，函数 的
图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，
则 取值范围是_______．
37．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆 ，C的上顶点为
A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点，
，则 的周长是________________．
38．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆 和 都相
切的一条直线的方程________________．
39．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，
B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为
___________．
试卷第6页，共10页40．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线 的左、右焦点
分别为 ．点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为
________．
四、解答题
41．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准
线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
42．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦
点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，
N，F三点共线的充要条件是 ．
43．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知椭圆 的离心率
是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线
段 的中点为定点．
44．（2021年全国新高考I卷数学试题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.45．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线 与抛物线
交于 两点，且 ．
(1)求 ；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
46．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴
上，直线l： 交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与
的位置关系，并说明理由．
47．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线 的焦点为 ，
且 与圆 上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
48．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点
到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
49．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知点 在双曲线 上，
直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
50．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x
轴、y轴，且过 两点．
(1)求E的方程；
试卷第8页，共10页(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足 ．证明：直线HN过定点．
51．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点
，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．
当 取得最大值时，求直线AB的方程．
52．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线 的右焦点为
，渐近线方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且
．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
53．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在
第二象限，直线 与 交于点P．证明:点 在定直线上.
