第二十二章 二次函数·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=2x−3 B．y=x2−5x+13
1
C．y=x2−(x+2)(x−3) D．y=x2− +2
x
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0的函数）叫
二次函数成为解题的关键．
根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y=x2−5x+13是二次函数，故本选项符合题意；
C．y=x2−(x+2)(x−3)=x+6，y是x的一次函数，故本选项不符合题意；
1
D．y=x2− +2不是二次函数，故本选项不符合题意．
x
故选：B．
1
2．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数y= x2+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误
3
的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点(3,6)
C．抛物线的顶点是(1,3) D．当x>0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增
减性，逐一验证各选项的正确性．
1
【详解】解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因a= >0，故开口向上，A正确，不符合题意；
31
B、将x=3代入函数，得y= (3) 2+3=3+3=6，故抛物线经过点(3,6)，B正确，符合题意；
3
1
C、函数为y= x2+3，属于标准形式y=ax2+k，顶点坐标为(0,3)，而非(1,3)，C错误，符合题意；
3
D、因开口向上，对称轴为y轴（x=0），当x>0时，y随x增大而递增，D正确，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）（2025·浙江杭州·三模）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如
下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（ ）
x …… −4 −2 0 3 5 ……
y …… −m2−21 −m2−5 0 −m2 −m2−12 ……
1
A．x=−1 B．x=0 C．x= D．x=1
2
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数，理解表格信息，掌握待定系数法是关键．
通过观察表格中x=0时y=0，确定c=0，函数式为y=ax2+bx，利用其他点的坐标建立方程组，解得
a=−1，b=2，从而对称轴为x=1．
【详解】解：1. 确定c的值：当x=0时，y=0，代入函数式得c=0，故函数式为y=ax2+bx，
2. 建立方程组：
当x=−4时，y=16a−4b=−m2−21①；
当x=−2时，y=4a−2b=−m2−5②；
当x=3时，y=9a+3b=−m2③；
当x=5时，y=25a+5b=−m2−12④；
3. 解方程组：
③−②得，a+b=1，
m2−11
①−②×2得，8a=m2−11，则a= ，
8
3m2−1
①−②×4得，4b=3m2−1，则b= ，
4
m2−11 3m2−1
∴a+b= + =1，
8 4
整理得，7m2=21，
解得，m2=3，m2−11 3−11 3m2−1 3×3−1
∴a= = =−1，b= = =2，
8 8 4 4
b
4. 求对称轴：对称轴公式为x=− ，代入a=−1，b=2，得x=1，
2a
∴二次函数图象的对称轴是直线x=1，
故选：D．
4．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点A(−2,y ),B(2,y ),C(3,y )在抛物线
1 2 3
y=2(x+1) 2+m上，则y ,y ,y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线x=−1知离对称
轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．
【详解】解：抛物线y=2(x+1) 2+m的对称轴为x=−1，开口向上，
点A(−2,y )的距离为|−2−(−1))=1，
1
点B(2,y )的距离为|2−(−1))=3，
2
点C(3,y )的距离为|3−(−1))=4，
3
由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，
∵4>3>1，
∴y <y <y ．
1 2 3
故选：A．
5．（3分）（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=x2−bx+1在−1≤x≤2时最小值为−3，则
b的值为（ ）
A．4 B．4或−5 C．−5 D．±4或−5
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意
易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨
论，结合最小值条件求解．【详解】解：由二次函数y=x2−bx+1= ( x− b) 2 + 4−b2 ，
2 4
b (b 4−b2 )
∴二次函数图象的对称轴为直线x= ，开口向上，且顶点坐标为 , ，
2 2 4
b
当 −1≤ ≤2 即 −2≤b≤4 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
2
4−b2
则 =−3，
4
解得 b2=16，即 b=±4；
∴b=4；
b
当 <−1 即 b<−2 时，最小值在 x=−1 处，
2
则y=1+b+1=b+2=−3
解得 b=−5，满足 b<−2；
b
当 >2 即 b>4 时，最小值在 x=2 处，
2
则y=22−2b+1=5−2b=−3，
解得 b=4，但 b>4 不成立，舍去，
综上，b=4或−5．
故选：B．
6．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线y=a(x+3) 2+2（a为常数，a≠0），将抛物线向下平
移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
【答案】D
【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，
求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值．
【详解】解：原抛物线为y=a(x+3) 2+2，向下平移4个单位后得到新抛物线y=a(x+3) 2−2．
√2
令y=0，则a(x+3) 2−2=0，解得x=−3±❑ ，
a( √2 ) ( √2 )
∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为 −3+❑ ,0 ， −3−❑ ,0 ，
a a
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，
( √2) ( √2)
∴ −3+❑ − −3−❑ =4，
a a
1
∴a= ．
2
故选：D．
7．（3分）（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式ax2−5x+b>0的解集为−3<x<2，则不等式
bx2−5x+a<0的解集是（ ）
1 1 1 1
A．x<− 或x> B．x<− 或x>
2 3 3 2
1 1 1 1
C．− <x< D．− <x<
2 3 3 2
【答案】D
【分析】本题考查一元二次不等式的解法，由题意得方程ax2−5x+b=0的解为x=−3或x=2，利用根与
系数的关系可得a，b的值，代入即可得出不等式bx2−5x+a>0的解集．
【详解】解：∵不等式ax2−5x+b>0的解集为−3<x<2，
∴方程ax2−5x+b=0的解为x=−3或x=2，
5 b
∴−3+2= ，−3×2= ，
a a
解得a=−5，b=30，
∴bx2−5x+a<0，即30x2−5x−5<0，即(2x−1)(3x+1)<0，
1 1
解得：− <x< ，
3 2
1 1
故不等式解集为− <x< ，
3 2
故选：D．
8．（3分）（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）若a，b(a<b)是关于x的方程(x−m)(x−n)+2022=0(
m<n)的两个实数根，则实数a，b，m，n的大小关系是（ ）
A．a<b<m<n B．m<n<a<b C．a<m<n<b D．m<a<b<n
【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，令抛物线解析式
y =(x−m)(x−n)，得到抛物线与x轴交点的横坐标为m，n，再结合图象得抛物线y =(x−m)(x−n)与
1 1
y =−2022交点，即交点横坐标为a，b，从而确定出a，b，m，n的大小关系，熟练掌握抛物线的性质是
2
解题的关键．
【详解】解：令抛物线解析式y =(x−m)(x−n)，
1
当y =0，(x−m)(x−n)=0，
1
解得：x =m，x =n，
1 2
∴抛物线与x轴交点的横坐标为m，n，
∴抛物线y =(x−m)(x−n)与y =−2022交点，横坐标为a，b，
1 2
∵m<n，a<b，
∴如图，
∴m<a<b<n，
故选：D．
9．（3分）（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足
函数关系式T=−0.1t2+2.4t+5，其中0≤t≤24．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度T可以是16℃；
②蔬菜大棚内当天的温度T的最大值为20℃；
③蔬菜大棚内当天的温度T不低于19℃的时长为4h．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，T=−0.1t2+2.4t+5=−0.1(t−12) 2+19.4，故
当t=12时，T有最大值为19.4，且当t<12时，T随t的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟
练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．【详解】解：由题意得，T=−0.1t2+2.4t+5=−0.1(t−12) 2+19.4，
∴当t=12时，T有最大值为19.4，且当t<12时，T随t的增大而增大，故②错误．
∵0≤t≤24，且当x=0时，y=5，
∴蔬菜大棚内当天的温度T可以是16°C，故①正确．
令T=19，
∴19=−0.1(t−12) 2+19.4．
∴t=10或t=14．
∵T=−0.1(t−12) 2+19.4的图象开口向下，
∴蔬菜大棚内当天的温度T不低于19°C的时长为：14−10=4小时，故③正确．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：C．
10．（3分）（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线y=x+3与抛物线y=x2+(m−2)x+2m−1交于A、B
两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则S :S 等于（）
ΔABO ΔACO
A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合．
由抛物线的对称轴为y轴，可求得m=2，联立直线与抛物线方程，解得交点A(0,3)、B(1,4)，直线与x轴
交点C(−3,0)．利用三角形面积公式分别计算△ABO和△ACO的面积，再求比值即可．
m−2
【详解】解：抛物线对称轴为y轴，即顶点横坐标− =0，解得m=2．
2
代入得抛物线方程y=x2+(m−2)x+2m−1得y=x2+3．
联立方程y=x+3和y=x2+3，得x2−x=0，
解得x=0或x=1．
∴A(0,3)和B(1,4)．
令y=0，代入y=x+3得x=−3，
即C(−3,0)．
∵A(0,3)、B(1,4)、O(0,0)．1 3
∴S = ×3×1= ；
△ABO 2 2
∵A(0,3)、C(−3,0)、O(0,0)．
1 1 9
∴S = ×3×3= ×9= ；
△ACO 2 2 2
3 9
S :S = : =1:3．
△ABO △ACO 2 2
故选B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为(−1,2)的二
次函数解析式： ．
【答案】y=(x+1) 2+2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据顶点式求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为y=a(x+1) 2+2，由条件
可以得出a>0，从而即可得到答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x+1) 2+2，且抛物线的图象开口向上，
∴a>0，
∴y=(x+1) 2+2，
故答案为：y=(x+1) 2+2．
12．（3分）（2025·山西临汾·三模）将抛物线y=x2−6x+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位
长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】(1,−5)
【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移
的规律．先把y=x2−6x+1配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得
到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标．
【详解】解：将抛物线y=x2−6x+1化为顶点式有y=(x−3) 2−8，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得y=(x−3+2) 2−8+3=(x−1) 2−5，故平移后的抛物线的顶点坐标是(1,−5)，
故答案为：(1,−5)．
13．（3分）（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数y=−x2+bx+c的部分图象如图所示．若y>0，
则x的取值范围是 ．
【答案】−3<x<1/1>x>−3
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，对称轴与交点坐标的关系，利用数形结合的思想，正确求得抛
物线与x轴的另一个交点的坐标是解题的关键．
根据抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为(1,0)，可推出另一交点为(−3,0)，结合图象求出y>0时，x的
范围．
【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=−1，一个交点为(1,0)，
根据对称性，则另一交点为(−3,0)，
所以y>0，x的取值范围是−3<x<1，
故答案为：−3<x<1．
14．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数y=−ax2+bx+2有最大值为4，则
y=a(x+1) 2−b(x+1)−2的最小值是 ．
【答案】−4
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的
关键．
根据题意设二次函数y=−ax2+bx+2的顶点坐标为(m,4)，且开口向下，根据平移可知
y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2的顶点坐标为(m−1,4)，根据关于x轴对称可知y=a(x+1) 2−b(x+1)−2的顶
点坐标为(m−1,−4)，且开口向上，有最小值−4．
【详解】解：∵二次函数y=−ax2+bx+2有最大值为4，∴设二次函数y=−ax2+bx+2的顶点坐标为(m,4)，
∵y=−ax2+bx+2向左平移1个单位得到y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2，
∴y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2的顶点坐标为(m−1,4)，
∵y=−a(x+1) 2+b(x+1)+2与y=a(x+1) 2−b(x+1)−2关于x轴对称，
∴y=a(x+1) 2−b(x+1)−2的顶点坐标为(m−1,−4)，且开口向上，
此时顶点坐标为(m−1,−4)，则最小值为−4；
故答案为：−4．
15．（3分）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C
1
，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C ，C 共有3个不同的交点，则m的取
1 2 2 1 2
值范围是 ．
15
【答案】−3<m<−
8
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C 解析式，分别求出直线y＝x＋m与抛物线C 相切时m
2 2
的值以及直线y＝x＋m过点B时m的值，结合图形即可得到答案.
【详解】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1,0），B(3,0)由于C 向右
1
平移两个长度单位得C ,则C 解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m 与C 相切时，令y＝x
2 2 1 2
15
＋m＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m＝0， ＝－8m－15＝0，解得m － ，当y＝x＋m 过
1 1 1 1＝ 8 2
△
15
点B时，即0＝3＋m，m＝－3，当－3＜m＜－ 时直线y＝x＋m与C 、C 共有3个不同交点，故答案
2 2 8 1 2
15
是－3＜m＜－ .
8【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画
出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度.
16．（3分）（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且过
(1 )
点 ,0 ，有下列结论①abc>0；②a−2b+4c>0；③25a−10b+4c=0；④3b+2c>0；其中所有正
2
确的结论是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
【详解】由图像可知a<0，b<0，c>0，
∴abc>0，故①正确．
1
当x= 时，y=0，
2
1 1
即 a+ b+c=0
4 2
∴a+2b+4c=0
∴a+4c=−2b
∴a−2b+4c=−4b>0，故②正确．
1 5
由对称轴为x=−1，与x轴一个交点为( ,0)可知与x轴另一个交点为(− ,0)
2 2
25 5
即 a− b+c=0
4 2
化简得25a−10b+4c=0，故③正确．
∵对称轴为x=−1b
∴− =−1
2a
1
∴b=2a，a= b
2
1
将a= b代入a+2b+4c=0有
2
1
b+2b+4c=0
2
8
即b=− c
5
8 14
∴3b+2c=3(− c)+2c=− c<0，故④错误．
5 5
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（22-23九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下
表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 …
y … 5 0 −3 −4 −3 0 5 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当−3<x<0时，直接写出y的取值范围．【答案】(1)抛物线解析式为
y=(x+1) 2−4
(2)见解析
(3)−4≤ y<0
【分析】（1）设 ，然后把 代入求出抛物线解析式；
y=a(x+1) 2−4 (0，−3)
（2）利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【详解】（1）解：∵x=−2和x=0的函数值相同，都是−3，
∴对称轴为直线x=−1，
∴顶点为(−1，−4)，
设 ，
y=a(x+1) 2−4
将(0，−3)代入得a−4=−3，解得a=1，
∴抛物线解析式为 ；
y=(x+1) 2−4
（2）解：描点，连线，这个二次函数的图象如图，
（3）解：当−3<x<0时，y的取值范围是−4≤ y<0．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题
目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
18．（6分）（24-25九年级上·全国·单元测试）抛物线y=mx2−4mx+3与x轴的交点为A(1,0)，B，与y
轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC=∠OAC，求点P的坐标；
【答案】(1)y=x2−4x+3
(15 33)
(2)P ,
4 16
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、待定系数法求函数表达式，用解直角三
角形的方法求出点H的坐标是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）在AP上取一点M，使得OA=AM=1，连接CM，过点M作HN⊥x轴于点N，过点C作CH⊥HN
于点H，则四边形OCHN是矩形，得HC=AN，HN=OC=3，∠H=∠ANM=∠COA=90°，进而
证明△OAC≌△MAC(SAS)，得CM=OC=3，∠AMC=∠AOC=90°，又证明
3−MN 1+AN 3 (9 3)
△AMN∽△MCP，得 = = ，从而求得M , ，利用待定系数法求得直线AM为
AN MN 1 5 5
3 3 3 3
y= x− ，联立y= x− 与y=x2−4x+3求解即可得解．
4 4 4 4
【详解】（1）解：把A(1,0)代入y=mx2−4mx+3得
0=m−4m+3，
解得m=1，
∴y=x2−4x+3；
（2）解：在AP上取一点M，使得OA=AM=1，连接CM，过点M作HN⊥x轴于点N，过点C作
CH⊥HN于点H，当x=0时，y=02−4×0+3=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3
∵OA⊥OC，HN⊥x轴，CH⊥HN，
∴四边形OCHN是矩形，∠HCM+∠HMC=90°，
∴HC=ON，HN=OC=3，∠H=∠ANM=∠COA=90°，
∵AC=AC，∠OAC=∠MAC，OA=AM=1，
∴△OAC≌△MAC(SAS)，
∴CM=OC=3，∠AMC=∠AOC=90°，
∴∠AMN+∠CMH=90°，
∴∠AMN=∠MCH，
∴△AMN∽△MCH，
HM HC CM 3
∴ = = = ，
AN MN AM 1
3−MN 1+AN 3
∴ = = ，
AN MN 1
4 3
∴AN= ，MN= ，
5 5
9
∴ON=OA+AN= ，
5
(9 3)
∴M , ，
5 5
设直线AM为y=ax+b，
(9 3)
把M , ，A(1,0)代入y=ax+b得，
5 5
{
0=a+b
)
∴ 3 9 ，
= a+b
5 53
{ a= )
4
解得 ，
3
b=−
4
3 3
直线AM为y= x− ，
4 4
3 3
联立y= x− 与y=x2−4x+3得
4 4
{y=x2−4x+3)
3 3 ，
y= x−
4 4
15
{ x= )
{x=1) 4
解得 或 ，
y=0 33
y=
16
(15 33)
∴P , ．
4 16
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三
角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质是
解题的关键．
19．（8分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）(2，－1)
【分析】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋1－2m＝0，然后用根的判别式即可解答．
（2）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点.
【详解】（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．
因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，
所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以x－2＝0，解得x＝2．当x＝2时，y＝－1．
所以该函数图像始终过定点（2，－1）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、二次函数图像与x轴的交点问题等知识
点，掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之
间的关系是解答本题的关键．
20．（8分）（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，M(x ,y )，N(x ,y )是抛物线
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =3,x =4，有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于2<x <3,3<x <4，都有y <y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
7
【答案】(1)
2
5
(2)t≤
2
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得(x ,y )离对称轴更近，x <x ，则(x ,y )与(x ,y )的中点在对称轴的右侧，根据对称
1 1 1 2 1 1 2 2
1 x +x 3 x +x
性求得 < 1 2< ，进而根据 1 2>t，即可求解．
2 2 2 2
【详解】（1）解：∵对于x =3,x =4有y = y ，
1 2 1 2
x +x 7
∴抛物线的对称轴为直线x= 1 2= ，
2 2
∵抛物线的对称轴为x=t．
7
∴t= ；
2
（2）解：∵当2<x <3,3<x <4，
1 2
5 x +x 7
∴ < 1 2< ，x <x ，
2 2 2 1 2
∵y <y ，a>0，
1 2
∴(x ,y )离对称轴更近，x <x ，则(x ,y )与(x ,y )的中点在对称轴的右侧，
1 1 1 2 1 1 2 2
x +x
∴ 1 2>t，
25
即t≤ ．
2
21．（10分）（23-24九年级上·陕西延安·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，
当水位上升3m时，水面宽CD=10m．按如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位
每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不
变，那么它能否安全通过此桥？
1 4
【答案】(1)y=− x2+ x
25 5
(2)如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得B(20，0)，C(5，3)，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的
高度，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，B(20，0)，C(5，3)，
设抛物线解析式为y=ax(x−20)，
∴5a(5−20)=3，
1
∴a=− ，
25
1 1 4
∴抛物线解析式为y=− x(x−20)=− x2+ x；
25 25 5
（2）解：船行驶到桥下的时间为：36÷6=6小时，
水位上升的高度为：0.3×6=1.8m．
1 4 1
∵抛物线解析式为y=− x2+ x=− (x−10) 2+4，
25 5 25
∴抛物线顶点坐标为(10，4)，
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4−1.8=2.2m>2m，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．22．（10分）在平面直角坐标系中，设二函数y＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
1
（1）求证：函数y 与x轴有交点；
1
（2）若函数y＝mx＋n经过函数y 的顶点，求实数m，n的关系式；
2 1
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x，b）在函数y 的图象上，若a≥b，求x 的取值范围．
1 1 1
【答案】（1）证明见详解；（2）实数m，n的关系式为：n=−m2−m−1；（ ）x 的取值范围为：
1
−3≤x ≤1． 3
1
【分析】（1）将二次函数解析式先进行化简，然后根据判别式进行判断即可；
（2）将y 化为顶点式，然后代入y 解析式，化简即可得出实数m，n的关系式；
1 2
（3）根据二次函数y 的基本性质，确定对称轴及开口方向，作出草图，结合题意即可得出取值范围．
1
【详解】解（1）y =(x−m)(x+m+2)=x2+2x−(m2+2m)，
1
a=1，b=2，c=−(m2+2m)，
Δ=b2−4ac=4+4×1×(m2+2m)=4(m+1) 2≥0，
∴函数y 与x轴有交点；
1
（2）y =x2+2x−(m2+2m)=(x+1) 2−(m+1) 2，
1
∴顶点坐标为：(−1,−(m+1) 2 )，
∵函数y =mx+n经过函数y 的顶点，
2 1
∴−(m+1) 2=−m+n，
化简可得：n=−m2−m−1，
∴实数m，n的关系式为：n=−m2−m−1；
（3）抛物线y 的对称轴为：x=−1，
1
∵二次项系数a=1>0，开口向上，作草图如下：∴（-3，a）与（1，a）关于x=−1对称，
∵a≥b，
∴根据函数图象的性质可得：−3≤x ≤1，
1
∴x 的取值范围为：−3≤x ≤1．
1 1
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质、与一元二次方程的联系，函数增减性，理解题意，结合函数
图象是解题关键．
23．（12分）（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
背景 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，
1 或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生产背
景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均
每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
信息整理 风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
1 70
【答案】任务1：y=− x+ ；任务2：w=−2x2+72x+3360(x≥10)；任务3：安排19名工人加工
3 3
“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有
(70−x−y)人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10))，然后将2种服装的获利求和即可得出
结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有(70−x−y)人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴(70−x−y)×1=2y，
1 70
整理得：y=− x+ ；
3 3
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10))，
∴w=2y×24+(70−x−y)×48+x[100−2(x−10))，
整理得：w=(−16x+1120)+(−32x+2240)+(−2x2+120x)
∴w=−2x2+72x+3360(x≥10)
任务3：由任务2得w=−2x2+72x+3360=−2(x−18) 2+4008，∴当x=18时，获得最大利润，
1 70 52
y=− ×18+ = ，
3 3 3
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x=17或x=19，
53
当x=17时，y= ，不符合题意；
3
51
当x=19时，y= =17，符合题意；
3
∴70−x−y=34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得
最大利润．
24．（12分）如图，抛物线经过点A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m,n)是抛物线上的动点，当−3<m<0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2−DC2=6，若存在，请求出点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
3
【答案】（1）y=−x2−2x+3；（2）m=− ；（3）D(−2,3)
2
【分析】（1）据题意可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，将点代入C(0,3)解出a，即可求出抛物
线的解析式；
（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当−3<m<0时，点P(m,n)在直线AC上方，过点P作x轴的垂
线与线段 相交于点Q，可将 分别代入 和 得 ，
AC x=m y=−x2−2x+3 y=x+3 P(m,−m2−2m+3)Q(m,m+3)，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；
（3）由题意可得AB=4,OB=1,CO=3，根据BC2=10，∠CAO=45°，可求出BA2−BC2=6，连接
BC，过B作AC的垂线交抛物线于点D，交AC于点H，可得DA2−DC2=H A2−HC2=BA2−BC2=6
，根据∠CAO=∠DBA，可得BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x=−1对
称，即点D与点C关于抛物线的对称轴x=−1对称，从而可求出点D的坐标．
【详解】解：（1）据题意可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x−1)，
将点C(0,3)代入，可得a=−1
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
0=−3k+b
将A(−3,0)、C(0,3)代入得{ ，
3=b
k=1
解得{ ，
b=3
∴直线AC的解析式：y=x+3，
当−3<m<0时，点P(m,n)在直线AC上方，
过点P作x轴的垂线与线段AC相交于点Q，
将x=m分别代入y=−x2−2x+3和y=x+3得P(m,−m2−2m+3)，Q(m,m+3)，
∴PQ=−m2−2m+3−(m+3)
=−m2−3m
3 2 9
=−(m+ ) +
2 4
∵−3<m<0，
3
∴当且仅当m=− 时，PQ取得最大值，
21 3
此时S = PQ×AO= PQ最大，
△PAC 2 2
3
∴m=− ；
2
（3）由A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)得AB=4,OB=1,CO=3，
∵BC2=10，∠CAO=45°，
∴BA2−BC2=6，
连接BC，过B作AC的垂线交抛物线于点D，交AC于点H，
则∠AHB=90°,∠DBA=∠CAO=45°，
DA2−DC2=H A2−HC2=BA2−BC2=6，
∵∠CAO=∠DBA，
∴BD与AC关于AB的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴x=−1对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴x=−1对称，
又∵C(0,3)，
∴点D的坐标为（-2，3）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助
线，灵活运用知识点是解题关键．
