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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象
B．能够互相重合的两个图形成轴对称
C．“小明在荡秋千”属于旋转现象
D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象
【答案】C
【解答】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意；
B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意；
C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意；
D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．中国的传统节日春节被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一．
下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可得：
A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；
C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【答案】C【解答】解：∵点A（2，3），
∴A点关于原点对称的点为（﹣2，﹣3），
故选：C．
4．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′
C．点A的对称点是点A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′'关于O成中心对称，
∴OB＝OB′，∠ACB＝∠A′C′B′，点A的对称点是点A′，BC∥B′C′，
故A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
5．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M N P ，则旋转中心是（ ）
1 1 1
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【解答】解：连接PP ，NN ，
1 1
根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，
∴分别作出PP ，NN 的垂直平分线，PP ，NN 的垂直平分线的交点为B，
1 1 1 1∴旋转中心是点B，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC，D为边AB上一点，将△ADC绕点C逆时针旋转得到△BEC，点A，D
的对应点分别为B，E，连接DE．则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠DCB＝∠DEB B．CD＝DE C．AC∥BE D．BC⊥DE
【答案】A
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵将△ADC绕点C逆时针旋转得到△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠CDE＝∠ABC＝∠CED，
∴点B，点E，点C，点D四点共圆，
∴∠DCB＝∠DEB，
故选：A．
7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC=❑√2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，
连接C′B，则∠C′BA的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．45°
【答案】C
【解答】解：如图，连接BB′；由题意得：AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC′中，
{
BB′=BA
)
BC′=BC′ ，
B′C′=AC′
∴△BB′C′≌△BAC′（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，
故选：C．
8．将点A（2❑√3，0）绕着原点顺时针方向旋转60°得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（❑√3，﹣3） B．（❑√3，3） C．（3，−❑√3） D．（3，❑√3）
【答案】A
【解答】解：如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，
依题意，得OB＝OA＝2❑√3，∠COB＝60°，
1
在Rt△OBC中，OC＝OB•cos60°＝2❑√3× =❑√3，
2
❑√3
BC＝OB•sin60°＝2❑√3× =3，
2
∴B（❑√3，﹣3）．
故选：A．9．在平面直角坐标系中，若A，B两点的坐标分别是（﹣5，4），（3，1），将点B向右平移2个单位，
再向上平移3个单位得到点C，则点A，C关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
【答案】B
【解答】解：∵将点B（3，1）向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点C，
∴点C坐标为（5，4），
∵A（﹣5，4），
∴点A，C关于y轴对称．
故选：B．
10．如图，△ABC中，AB=BC=❑√17，AC＝2，O是AC的中点．将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，
连接AP，则AP的长是（ ）
A．4❑√2 B．❑√29 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：∵AB＝BC=❑√17，AC＝2，O是AC的中点，
∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，
∴BO=❑√(❑√17) 2−12=4，
∵将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ，
∴∠Q＝∠BOC＝90°，AQ＝AC+CQ＝AC+OC＝3，PQ＝BO＝4，
∴AP=❑√AQ2+PQ2=❑√32+42=5．故选：D．
11．如图，在△ABC中，∠A＝30°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，延长AC分别交BD，DE
于点F，G，连接BG．下列结论：①∠FGE＝120°；②AG⊥BD；③DG＝BG；④AG＝DE+BE，其
中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴∠ABF＝60°，∠A＝∠D，
∵∠A＝30°，
∴∠A+∠ABF+∠AFB＝180°，
∴30°+60°+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝90°，
∴AG⊥BD；
∴②正确；
∴∠DFG＝90°，
∵∠A＝∠D＝30°，
∴∠DGF＝60°，
∴∠FGE＝120°；
∴①正确；
AB＝BD，∠ABF＝60°，如图，连接AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，∵∠A＝30°，
∴∠DAF＝30°，
在△ABG和△ADG中，
{
AD=AB
)
∠DAG=∠BAG=30° ，
AG=AG
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴DG＝BG，
∴③正确；
连接CE，如图，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
∵AG＝AC+CG，
∴AG＝DE+CG，
∵∠CBE＝60°，BC＝BE，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BE，
∵∠FGE＝120°，
∴BE＝CE＞CG+GE，
∴AG≠DE+BE，
∴④错误；
综上所述，正确的为①②③，共3个；
故选：C．
12．如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时
针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C
【解答】解：如图，连接BF，
由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，
∴∠CBF＝30°，
即点F的运动轨迹为直线BF，
∴当DF⊥BF时，DF最短，
1 1
此时，DF= BD= ×4＝2，
2 2
∴DF的最小值是2，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若点P（m，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点P（m，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，
∴m＝﹣3，2﹣n＝﹣3，
∴n＝5，
则m+n＝﹣3+5＝2．
故答案为：2．14．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点
F．若∠C＝40°，DE⊥AC，则∠BAD＝ 5 0 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由旋转得，∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
即∠B＝∠ADE＝∠ADB．
∵DE⊥AC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠CDF＝50°．
∵∠ADB+∠ADE+∠CDF＝2∠ADB+50°＝180°，
∴∠ADB＝65°，
∴∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝50°．
故答案为：50．
15．如图，在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A BC ，则阴影部分的
1 1
面积为 2 5 ．
【答案】25．
【解答】解：过A作AD⊥A
1
B于D，如图：在△ABC中，AB＝10，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A BC ，
1 1
∴△ABC≌△A
1
BC
1
，
∴A B＝AB＝10，
1
∴△A
1
BA是等腰三角形，∠A
1
BA＝30°，
∵AD⊥A B，
1
1
∴AD= AB＝5，
2
1
∴S = ×10×5＝25，
△A1BA 2
又∵S阴影 ＝S
△A1BA
+S
△A1BC1
﹣S
△ABC
，且S
△A1BC1
＝S
△ABC
，
∴S阴影 ＝S
△A1BA
＝25，
故答案为：25．
16．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝ 150 ° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DAB，
∵BD＝BP，∠DBP＝∠ABC＝60°，
∴△BDP为等边三角形，∠DPB＝60°，
由旋转可知AD＝PC＝10，DP＝BP＝8，
∵AP2+DP2＝62+82＝102＝AD2，
∴△ADP是直角三角形，∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝150°．17．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD
绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线
段CF的长的最小值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：连接CE，取BC的中点N，连接NF，如图所示：
∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴点F的轨迹为直线NF，且∠CNF＝30°，
当CF⊥NF时，CF最短，
∵AB＝BC＝4，
∴CN＝2，在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，
1
∴CF= CN＝1，
2
∴线段CF长度的最小值为1；
故答案为：1．
18．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度 ，（如图2），在转动过程中两
块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两α边组成的角时， 的值为 30 °
或 90 ° 或 105 ° ． α
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝ ，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝α180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣ ，
1 1 α
∴∠AOB= ∠AOD＝60°− ＝45°，
2 2
α
∴ ＝30°，
当αOB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣ ，
1α
∴∠AOB＝90°− ＝45°，
2
α
∴ ＝90°；
当αOB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴ ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综α上所述，旋转角度 的值为30°或90°或105°；
故答案为：30°或90°或α 105°．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心O；
（2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长．
【答案】（1）见解析；（2）18．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求．（作法不唯一）；
（2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称，
∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18．
答：△DEF 的周长为18．
20．（8分）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称
图形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示．
（1）如图（1），图（2），图（3）所示；
（2）如图（4）所示；
（3）如图（5），图（6）所示．21．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B的坐标分别是A（3，1），B（2，2）．
（1）按要求作图：
①先将△OAB绕原点O逆时针旋转90°，得到△OA B ；
1 1
②再作出△OA B ，使它与△OA B 关于原点成中心对称．
2 2 1 1
（2）直接写出点A ，B 的坐标．
1 1
【答案】（1）①作图见解析过程；
②作图见解答过程；
（2）点A 的坐标（﹣1，3）；点B 的坐标（﹣2，2）．
1 1
【解答】解：（1）①如图1，△OA B 即为所求；
1 1②如图2，△OA B 即为所求；
2 2
（2）由图可知，点A 的坐标（﹣1，3）；点B 的坐标（﹣2，2）．
1 1
22．（8分）如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）求点Q的坐标；
（2）若把点Q向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度，得到的点M（m，n）落在第四象限，
求a的取值范围．
【答案】（1）（﹣3，1）；
（2）a＞3．
【解答】解：（1）过点P作PA⊥x轴于A，过点Q作QB⊥x轴于B，如图所示：∴∠OBQ＝∠PAO＝90°，
∴∠P+∠POA＝90°，
由旋转的性质得∠POQ＝90°，OQ＝OP，
∴∠QOB+∠POA＝90°，
∴∠QOB＝∠P，
∴△OBQ≌△PAO（AAS），
∴OB＝PA，QB＝OA，
∵点P的坐标为（1，3），
∴OB＝PA＝3，QB＝OA＝1，
∴点Q的坐标为（﹣3，1），
（2）∵点Q（﹣3，1）向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到点M，
∴点M的坐标为（﹣3+a，1﹣a），
∵点M在第四象限，
{−3+a＞0)
∴ ，
1−a＜0
解得a＞3，
∴a的取值范围为a＞3．
23．（10分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接
CD，BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝96°，求∠BED的度数．
【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转得AE＝AD，∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°﹣∠BAD，
在△AEB和△ADC中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
（2）解：∵AE＝AD，∠EAD＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB＝∠ADC＝96°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝96°﹣60°＝36°，
∴∠BED的度数是36°．
24．（10分）在△ABC中，∠ABC＜90°，将△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），
得到△DBE，其中点A的对应点为点D，连接CE，CE∥AB．
（1）如图1，试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系，并给出证明；
（2）如图2，若点D在边BC上，DC＝2，AC=❑√19，求AB的长．
【答案】（1）∠ABC＝∠BEC，理由见解答过程；
（2）3．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
∵△ABC在平面内绕点B顺时针旋转（旋转角不超过180°），得到△DBE，
∴AC＝DE=❑√19，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
1
∴CF= CD＝1，DF=❑√3CF=❑√3，
2
在Rt△DEF中，EF=❑√DE2−DF2=❑√19−3=4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的长为3．
25．（10分）如图所示，已知正方形 ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝
45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）证明：△DEF≌△DMF．（2）若AE＝1，求FM的长．
【答案】（1）证明见解析；
5
（2） ．
2
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝90°，
∵∠DCM＝∠A＝90°，∠EDM＝90°，DE＝DM，
∴∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDF＝45°＝∠EDF，
在△DEF和△DMF中，
{
DE=DM
)
∠EDF=∠MDF ，
DF=DF
∴△DEF≌△DMF（SAS）；
（2）解：∵AE＝CM＝1，正方形ABCD的边长为3，
∴BE＝3﹣1＝2，
∵△DEF≌△DMF，
∴EF＝MF，
设EF＝MF＝x，
则BF＝BM﹣MF＝4﹣x，
∵EB2+BF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
5
∴x= ，
2
5
∴FM= ．
226．（10分）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
【模型感知】（1）如图1，求证：BE＝CD；
【模型应用】（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE；
【类比探究】（3）如图3，当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．猜想线段AB，BF与BD
之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）答案见解答过程；
（3）AB＝BD+2BF，证明见解答过程．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+60°，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝60°+∠BAD，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAD ，
AE=AD
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，∵CD＝CB+BD＝AB+BD，
∴AB+BD＝BE；
（3）线段AB，BF与BD之间存在的数量关系是：AB＝BD+2BF，证明如下：
方法一：设DE与AB交于点K，在AB上截取AT＝BD，如图所示：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠EAT+∠AKE＝180°﹣∠AED＝120°，∠EDB+∠BKD＝180°﹣∠ABC＝120°，
又∵∠AKE＝∠BKD，
∴∠EAT＝∠EDB，
在△EAT和△EDB中，
{
AT=BD
)
∠EAT=∠EDB ，
AE=DE
∴△EAT≌△EDB（SAS），
∴ET＝EB，
∵EF⊥AB，
∴TF＝BF，
∴BT＝2BF，
∴AB＝AT+BT＝BD+2BF．
（3）方法二：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
即∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠BAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
{
AC=AB
)
∠CAD=∠BAE ，
AD=AE∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD，∠C＝∠ABE＝60°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°﹣∠ABE＝30°，
∵BE＝2BF，
∴CB＝CD+BD＝2BF+BD，
即AB＝2BF+BD．
