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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列右边的四个图形中，不能由图形 M 在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此
图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60°的是
（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为
D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C．AD=❑√2AC D．AE＝AB+CD
5．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（ ）
①点A与点A′关于点O对称；
②BO＝B′O；
③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
6．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的
黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰
好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30° B．90° C．60° D．150°
8．已知点P的坐标为（x，y）且 ，则点P关于原点的对称点P′的坐标是（ ）
(x+1) 2+❑√2y+3=0
3 3 3 3
A．（﹣1， ） B．（﹣1，− ） C．（1，− ） D．（1， ）
2 2 2 2
9．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转180°，两
个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
10．如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，点C的坐标为（0，2），点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕
C点逆时针旋转90°得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（6，2） C．（2，5） D．（2，6）
11．如图，有两个全等的矩形ABCD和矩形A′B′C′D′重合摆放，将矩形A′B′C′D′绕点C逆时针旋转，延长
A′D′交AD于点E，线段A′E的中点为点F，AB的长为2，BC的长为4，当CF取最小时，AF的长为（
）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（0，4），点P（2，3）在正方
形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二
次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（ ）A．（80，2） B．（80，3） C．（82，3） D．（82，2）
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如果点A（a+1，2）与点B（2﹣2a，b）关于原点对称，那么a+b＝ ．
14．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是
．
15．如图，已知AE=❑√13，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是
．
2
16．如图，点G是菱形ABCD的对称中心，连接BD，点E是AD边上一点，且DE= AD，连接EG并延
5
长交BC于点F，连接CG．S ，S 分别表示四边形ABGE和△GFC的面积，若S ＝6，则S ＝ ．
1 2 2 1
17．如图，AC为正方形ABCD的对角线，点H为AC的中点，点E为AC上的动点（不与端点重合），连
接BE，将线段BE绕点B沿逆时针方向旋转90°得到线段BF，连接HF，若四边形BCHF的面积为4，
则正方形ABCD的边长为 ．18．如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，
∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①OD＝OE；②S ＝S ；③四边形ODBE的面积始终等于3❑√3；④△BDE周长的最小值为
△ODE △BDE
9．上述结论中正确的序号是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣3，3），C
（﹣4，﹣1）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A B C 并写出点B 的坐标．
2 2 2 2
20．（8分）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交
AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形．
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
21．（8分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰
好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，
（1）求证：AB＝BH；（2）连接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的长．
22．（8分）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
23．（10分）（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方
法：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D旋转180°得到△EBD），把AB，AC，
2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ，并写出过程；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
24．（10分）（1）操作发现：
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．现将△ABC
绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，如图所示则∠AB′B
＝ ；
（2）解决问题：
如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=❑√3，PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转
60°得出△ABP′，求∠BPC的度数和PP′的长．25．（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段
CQ，连接BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E．
（1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC为
邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．
