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第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列右边的四个图形中，不能由图形 M 在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解答】解：①由M顺时针旋转90°得到，故①正确；
②由M逆时针旋转90°得到，故②正确
③由M无法旋转得到，故③错误；
④由M顺时针旋转360°得到，故④正确．
故选：C．
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．如果规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，就称此
图形为旋转对称图形，旋转的角度称为旋转角．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为 60°的是
（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】C
【解答】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项不合题意；
B．正方形的旋转角度是90°，故此选项不合题意；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项符合题意；
D．正八边形的最小旋转角是45°，故此选项不合题意；
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为
D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C．AD=❑√2AC D．AE＝AB+CD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
故A选项正确，不符合题意；
由旋转可得，CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE，
∴∠ADC＝∠DAC．
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DAC＝45°，
故B选项正确，不符合题意；
∵∠ADC＝∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝90°，∴AD=❑√2AC，
故C选项正确，不符合题意；
AE＝AD+DE=❑√2CD+AB，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
5．如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论成立的是（ ）
①点A与点A′关于点O对称；
②BO＝B′O；
③AC∥A′C′；
④∠ABC＝∠C′A′B′．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴由中心对称的性质可得，OB＝OB′，OC＝OC′，点A与点A′关于点O对称，∠ABC＝∠A′B′C′，
∠ACB＝∠A′C′B′，AC∥A′C′，
∴①②③正确，④错误，
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
6．如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的
黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：如图所示：标有数字的3个位置都是中心对称图形．
故选：B．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使点A′恰
好落在AB上，则旋转角度为（ ）
A．30° B．90° C．60° D．150°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：C．
8．已知点P的坐标为（x，y）且(x+1) 2+❑√2y+3=0，则点P关于原点的对称点P′的坐标是（ ）
3 3 3 3
A．（﹣1， ） B．（﹣1，− ） C．（1，− ） D．（1， ）
2 2 2 2
【答案】D
【解答】解：∵(x+1) 2+❑√2y+3=0，
{ x+1=0 )
∴ ，
2y+3=0
{x=−1
)
解得 3 ，
y=−
23
∴点P的坐标为（﹣1，− ），
2
3
∴点P关于原点的对称点P′的坐标是（1， ）．
2
故选：D．
9．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转180°，两
个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）
A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
【答案】A
【解答】解：由条件可知∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中，
{∠BOM=∠CON
)
OB=OC ，
∠OBM=∠OCN
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴ 两 个 正 方 形 的 重 叠 部 分 四 边 形 OMCN 的 面 积 是 ：
1
S +S =S +S =S = S ，
△COM △CNO △COM △BOM △BOC 4 正 方 形ABCD
1
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于 S ，重叠部分四边形OMCN的面积不变，
4 正 方 形ABCD
故选：A．
10．如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，点C的坐标为（0，2），点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕
C点逆时针旋转90°得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（ ）A．（2，4） B．（6，2） C．（2，5） D．（2，6）
【答案】D
【解答】解：过点D作y轴的垂线，垂足为M，
由旋转可知，
CD＝CP，∠DCP＝90°，
∴∠DCM+∠PCO＝90°，
又∵∠PCO+∠CPO＝90°，
∴∠DCM＝∠CPO．
在△DCM和△CPO中，
{∠DMC=∠COP
)
∠DCM=∠CPO ，
CD=CP
∴△DCM≌△CPO（AAS），
∴DM＝CO．
∵点C的坐标为（0，2），
∴DM＝OC＝2．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝45°，
∴∠BAO＝∠ADM＝45°，∴AM＝DM＝2，
∴MO＝8﹣2＝6，
∴点D的坐标为（2，6）．
故选：D．
11．如图，有两个全等的矩形ABCD和矩形A′B′C′D′重合摆放，将矩形A′B′C′D′绕点C逆时针旋转，延长
A′D′交AD于点E，线段A′E的中点为点F，AB的长为2，BC的长为4，当CF取最小时，AF的长为（
）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：如下图，连接CF，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′均为矩形且全等，且AB＝2，BC＝4，
∴AB＝CD＝C′D′＝2，BC＝AD＝A′D′＝4，∠ABC＝∠ADC＝∠A′D′C＝90°，
∴矩形A′B′C′D′绕点C逆时针旋转，
则当CF⊥A′E，即点F与点D′重合时，CF取最小值，如下图，连接CE，此时CF＝CD′＝2，
∵点F为线段A′E的中点，
∴EF＝A′F＝A′D′＝AD，
∵∠A′D′C＝90°，
∴∠CD′E＝180°﹣∠A′D′C＝90°，
又∵CD′＝CD，
∴Rt△CDE≌Rt△CD′E（HL），
∴DE＝D′E＝EF＝AD，即点A与点E重合，
∴AF＝EF＝AD＝4．
故选：B．
12．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（0，4），点P（2，3）在正方
形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二
次旋转至图②位置，⋯，则正方形铁片连续旋转20次后，点P的坐标为（ ）
A．（80，2） B．（80，3） C．（82，3） D．（82，2）
【答案】C
【解答】解：将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转 90°，如图，分别连接PC和P′C，
过点P和P′分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N，∴PM＝P′M，∠PCP′＝90°，
∴∠PCM+∠P′CN＝∠PCM+∠P＝90°，
∴∠P′CN＝∠P．
在△PCM和△CP′N中，
{∠PMC=∠CNP′
)
∠P′CN=∠P ，
PC=P′C
∴△PCM≌△CP′N（AAS），
∴P′N＝MC，CN＝PM，
又∵点A的坐标为（0，4），点P坐标为（2，3），
∴P′N＝MC＝2，CN＝PM＝3，
∴点P′的坐标为（7，2）．
同理可得：
第2次旋转后，点P的坐标为（10，1），
第3次旋转后，点P的坐标为（13，2），
第4次旋转后，点P的坐标为（18，3），
点5次旋转后，点P的坐标为（23，2），
……，
每旋转四次，点P的横坐标增加16，纵坐标按2，1，2，3循环出现，
∴点P 的坐标为（16n+2，3），
4n
∴P （82，3），
20
∴连续旋转20次后，点P的坐标为（82，3）．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如果点A（a+1，2）与点B（2﹣2a，b）关于原点对称，那么a+b＝ 1 ．
【答案】1．【解答】解：由题意得：
{a+1=2a−2)
，
b=−2
{ a=3 )
解得 ．
b=−2
∴a+b＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
14．如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是
4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：依题意有△DOC的面积等于△AOB的面积是6，CD＝AB＝3．
根据三角形的面积公式，则CD边上的高是6×2÷3＝4．
故答案为：4．
15．如图，已知AE=❑√13，AC＝1，∠D＝90°，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，则AB的长是 3
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC＝AC＝1，DE＝AB，
∴AD＝2，
∴在Rt△EDA中，DE=❑√AE2−AD2=❑√13−4=3，
∴AB＝3．
故答案为：3．2
16．如图，点G是菱形ABCD的对称中心，连接BD，点E是AD边上一点，且DE= AD，连接EG并延
5
长交BC于点F，连接CG．S ，S 分别表示四边形ABGE和△GFC的面积，若S ＝6，则S ＝ 1 6 ．
1 2 2 1
【答案】16．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AD于点M，
过点B作BN⊥AD于点N，
∵点G是菱形ABCD的对称中心，
∴DG＝BG，S ＝S ，S ＝2S ，
△DEG △BFG △ABD △BCG
∴BN＝2GM，
1
∵S = ×DE×GM，
△DEG 2
1
S = ×AD×BN，
△ABD 2
2
DE= AD，
5
S 1
∴
△DEG=
，
S 5
△ABD
设S ＝a，
△DEG
5
则S ＝5a，S = a，S ＝a，
△ABD △BCG 2 △GFB
5 3
∴S = a−a= a，
△GFC 2 2
∵S ＝6，
△GFC
3
∴ a=6，
2
解得a＝4，
∴S ＝5×4＝20，
△ABD
∴四边形ABGE的面积S ＝S ﹣S ＝20﹣4＝16．
1 △ABD △DEG
故答案为：16．17．如图，AC为正方形ABCD的对角线，点H为AC的中点，点E为AC上的动点（不与端点重合），连
接BE，将线段BE绕点B沿逆时针方向旋转90°得到线段BF，连接HF，若四边形BCHF的面积为4，
则正方形ABCD的边长为 2❑√2 ．
【答案】2❑√2．
【解答】解：连接BH、AF，如图，
由题意可得：AH＝BH＝CH，∠BCH＝∠BAH＝45°，BH⊥AC，AB＝BC，BE＝BF∠CBE＝∠ABF＝90°
﹣∠ABE，
∴△CBE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠BCH＝45°，
∴∠CAF＝90°，即随着点E的运动，点F始终在过点A且与AC垂直的直线上运动，
∴AF∥BH，
∴S四边形BCHF ＝S
△BCH
+S
△BHF
1 1
= BH⋅CH+ BH⋅AH=BH2=4，
2 2
则AH＝CH＝BH＝2，
∴AB=❑√AH2+BH2=2❑√2．
故答案为：2❑√2．
18．如图，等边三角形ABC的边长为6，点O是△ABC的三边中垂线的交点也是三内角角平分线的交点，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：
①OD＝OE；②S ＝S ；③四边形ODBE的面积始终等于3❑√3；④△BDE周长的最小值为
△ODE △BDE
9．上述结论中正确的序号是 ①③④ ．
【答案】①③④．
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
∵∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD和△COE中，
{∠BOD=∠COE
)
BO=CO ，
∠OBD=∠OCE
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；
∴S ＝S ，
△BOD △COE
1 1 1
∴S四边形ODBE ＝S
△OBC
=
3
S
△ABC
=
3
×
2
×3❑√3×6＝3❑√3，所以③正确；作OH⊥DE，如图，
则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
1 ❑√3
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，OH= OE，HE=❑√3OH= OE，
2 2
∴DE=❑√3OE，
1 1 ❑√3
∴S = • OE•❑√3OE= OE2，
△ODE 2 2 4
即S 随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，
△ODE
∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝6+DE＝6+❑√3OE，
1
当OE⊥BC 时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE= ×3❑√3=❑√3，
3
∴△BDE周长的最小值＝6+❑√3×❑√3=9，所以④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣3，3），C
（﹣4，﹣1）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A B C 并写出点B 的坐标．
2 2 2 2
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析，B （﹣3，﹣3）．
2【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（﹣3，3），C（﹣4，﹣1），
∴点A，B，C关于原点对称的点分别为A （1，0），B （3，﹣3），C （4，1），
1 1 1
作出△A B C 如图所示：
1 1 1
（2）作出△A B C 如图所示：
2 2 2
∴B （﹣3，﹣3）．
2
20．（8分）如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，分别交
AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形．
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；
（2）3❑√2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
{∠AOE=∠COF
)
∠AEO=∠CFO ，
OA=OC
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠FOC＝∠BAC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴ AFCE是菱形；
（▱2）解：∵四边形AFCE是正方形，
∴∠AFC＝90°，AF＝CF，∠CAF＝∠ACF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝6，6
∴AB= =3❑√2．
❑√2
21．（8分）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰
好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，
（1）求证：AB＝BH；
（2）连接BG交CH于O，已知AB＝5，BC＝13，求BG的长．
【答案】（1）见详解；（2）2❑√61．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCH，
∵∠D＝90°，BH⊥AC，
∴∠D＝∠BHC，
由旋转得，CE＝CB，
在△EDC和△CHB中，
{∠DEC=∠HCB
)
∠D=∠BHC ，
CE=CB
∴△EDC≌△CHB（AAS），
∴BH＝CD＝AB．
{∠OHB=∠OCG
)
（2）∵在△HBO和△CGO中， ∠HOB=∠COG ，
BH=CG
∴△HBO≌△CGO（AAS），
∴OH＝OC，OB＝OG，
在Rt△BCH中，BH＝5，BC＝13，
由勾股定理得：CH=❑√132−52=12，1
∴OH= CH=6，
2
在Rt△OHB中，由勾股定理得：
OB=❑√52+62=❑√61，
∴BG＝2OB＝2❑√61．
22．（8分）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心．
（2）若AC＝6，AB＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）15．
（3）结论：四边形ACDF是平行四边形，证明有解析部分．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求．
（2）由题意，△ABC≌△DEF，∵△DEF的周长＝△ABC的周长＝6+5+4＝15．
（3）结论：四边形ACDF是平行四边形．
理由：由题意，OA＝OD，OC＝OF，
∴四边形ACDF是平行四边形．
23．（10分）（1）阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方
法：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE（或将△ACD绕着点D旋转180°得到△EBD），把AB，AC，
2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1 ＜ AD ＜ 7 ，并写出
过程；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交
AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
【答案】（1）1＜AD＜7；
（2）证明见解析部分．
【解答】（1）解：如图1所示：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
{
BD=CD
)
∠BDE=∠CDA ，
DE=AD∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，
∴1＜AD＜7；
故答案为：1＜AD＜7；
（2）证明：如图2所示：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
24．（10分）（1）操作发现：
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．现将△ABC
绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，如图所示则∠AB′B
＝ 45 ° ；
（2）解决问题：
如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=❑√3，PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转
60°得出△ABP′，求∠BPC的度数和PP′的长．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，
∴AB′＝AB，∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B＝45°；
故答案为：45°；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP=❑√3，∠PBP′＝60°，△BPC≌△BP′A，
∴△BPP′为等边三角形，
∴∠BP′P＝60°，PP′＝BP=❑√3，
在△APP′中，∵AP′＝1，PP′=❑√3，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴△APP′为直角三角形，∠AP′P＝90°，
∴∠BP′A＝∠AP′P+∠BP′P＝90°+60°＝150°，
∵△BPC≌△BP′A，
∴∠BPC＝∠BP′A＝150°．
答：∠BPC的度数为150°，PP′的长为❑√3．
25．（10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段
CQ，连接BP，DQ，延长BP交直线DQ于点E．
（1）如图1，试猜想线段BP和DQ有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若△BCP是等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
【答案】（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由见解析过程；
（2）△DEP为等腰直角三角形，理由见解析过程．
【解答】解：（1）BP＝DQ，BP⊥DQ，理由如下：如图1，设直线BP与CD交于点F，∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
{
BC=CD
)
∠BCP=∠DCQ ，
PC=QC
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
∴BP＝DQ，∠CBE＝∠CDQ，
又∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
（2）△DEP为等腰直角三角形，理由如下：
如图2，∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，
又∵CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CDQ＝60°＝∠BPC，
∴∠EPD＝45°，∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC为
邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B．
（1）点B的坐标为 （ 2 ， 4 ） ；
（2）求用含k的代数式表示b；
（3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．【答案】（1）（2，4）；
（2）b＝4﹣2k；
（3）k＝2；
1 3
（4）k＞ 或k＜− ．
4 2
【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴AB可由OC平移得到，
∵A（﹣2，3）、C（4，1）、O（0，0），
∴B（4﹣2，1+3），
即B（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）把B（2，4）代入y＝kx+b，得2k+b＝4，
∴b＝4﹣2k；
（3）∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B，
∴当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，则图象必过点O（0，0），
{ b=0 )
∴ ，
2k+b=4
解得k＝2；
{−2k+b=3)
（4）当直线y＝kx+b经过A点时，得 ，
2k+b=4
1
解得k= ，
4
{4k+b=1)
当直线y＝kx+b经过C点时，得 ，
2k+b=4
3
解得k=− ，
21 3
根据一次函数的性质知，当k＞ 或k＜− 时，一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共
4 2
点，
1 3
∴一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围是：k＞ 或k＜− ．
4 2
