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第二十二章 二次函数·培优卷
【人教版】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=2x−3 B．y=x2−5x+13
1
C．y=x2−(x+2)(x−3) D．y=x2− +2
x
1
2．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数y= x2+3的图象是一条抛物线，则下列说法错误
3
的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点(3,6)
C．抛物线的顶点是(1,3) D．当x>0时，y随x的增大而增大
3．（3分）（2025·浙江杭州·三模）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如
下表,则这个二次函数图象的对称轴是直线（ ）
x …… −4 −2 0 3 5 ……
y …… −m2−21 −m2−5 0 −m2 −m2−12 ……
1
A．x=−1 B．x=0 C．x= D．x=1
2
4．（3分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点 在抛物线
A(−2,y ),B(2,y ),C(3,y )
1 2 3
上，则 的大小关系是（ ）
y=2(x+1) 2+m y ,y ,y
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 15．（3分）（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数y=x2−bx+1在−1≤x≤2时最小值为−3，则
b的值为（ ）
A．4 B．4或−5 C．−5 D．±4或−5
6．（3分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知抛物线 （a为常数， ），将抛物线向下平
y=a(x+3) 2+2 a≠0
移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
7．（3分）（2025九年级下·湖北·学业考试）已知不等式ax2−5x+b>0的解集为−3<x<2，则不等式
bx2−5x+a<0的解集是（ ）
1 1 1 1
A．x<− 或x> B．x<− 或x>
2 3 3 2
1 1 1 1
C．− <x< D．− <x<
2 3 3 2
8．（3分）（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）若a，b(a<b)是关于x的方程(x−m)(x−n)+2022=0(
m<n)的两个实数根，则实数a，b，m，n的大小关系是（ ）
A．a<b<m<n B．m<n<a<b C．a<m<n<b D．m<a<b<n
9．（3分）（2025·天津红桥·三模）冬季蔬菜大棚内某天的温度T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足
函数关系式T=−0.1t2+2.4t+5，其中0≤t≤24．有下列结论：
①蔬菜大棚内当天的温度T可以是16℃；
②蔬菜大棚内当天的温度T的最大值为20℃；
③蔬菜大棚内当天的温度T不低于19℃的时长为4h．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（3分）（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线 与抛物线 交于A、B
y=x+3 y=x2+(m−2)x+2m−1
两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则S :S 等于（）
ΔABO ΔACO
A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为(−1,2)的二
次函数解析式： ．
12．（3分）（2025·山西临汾·三模）将抛物线y=x2−6x+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13．（3分）（24-25九年级上·全国·期末）已知二次函数y=−x2+bx+c的部分图象如图所示．若y>0，
则x的取值范围是 ．
14．（3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数y=−ax2+bx+2有最大值为4，则
的最小值是 ．
y=a(x+1) 2−b(x+1)−2
15．（3分）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C
1
，将C 向右平移得C ，C 与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C ，C 共有3个不同的交点，则m的取
1 2 2 1 2
值范围是 ．
16．（3分）（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且过
(1 )
点 ,0 ，有下列结论①abc>0；②a−2b+4c>0；③25a−10b+4c=0；④3b+2c>0；其中所有正
2
确的结论是 ．第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（22-23九年级上·北京昌平·期中）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下
表：
x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 …
y … 5 0 −3 −4 −3 0 5 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当−3<x<0时，直接写出y的取值范围．
18．（6分）（24-25九年级上·全国·单元测试）抛物线y=mx2−4mx+3与x轴的交点为A(1,0)，B，与y
轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC=∠OAC，求点P的坐标；
19．（8分）已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
20．（8分）（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
xOy M(x ,y ) N(x ,y )
1 1 2 2
y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x =3,x =4，有y = y ，求t的值；
1 2 1 2
(2)若对于2<x <3,3<x <4，都有y <y ，求t的取值范围．
1 2 1 2
21．（10分）（23-24九年级上·陕西延安·期中）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，
当水位上升3m时，水面宽CD=10m．按如图所示建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位
每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不
变，那么它能否安全通过此桥？
22．（10分）在平面直角坐标系中，设二函数y＝（x﹣m）（x＋m＋2），其中m≠0
1
（1）求证：函数y 与x轴有交点；
1
（2）若函数y＝mx＋n经过函数y 的顶点，求实数m，n的关系式；
2 1
（3）已知点P（﹣3，a），Q（x，b）在函数y 的图象上，若a≥b，求x 的取值范围．
1 1 1
23．（12分）（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
背景 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，
1 或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生产背
景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均
每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
风 y 2 24
信息整理
雅 x 1
正 1 48
任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
24．（12分）如图，抛物线经过点A(−3,0)、B(1,0)、C(0,3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m,n)是抛物线上的动点，当−3<m<0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2−DC2=6，若存在，请求出点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
