文档内容
第二十二章 二次函数1. 熟练掌握二次函数全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）二次函数的图象与性质；
（2）待定系数法求二次函数解析式；
（3）二次函数的实际应用。
教学重难点
2. 难点
（1）二次函数的图象与性质；
（2）二次函数的实际应用；
（3）二次函数的综合。
考点01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、
b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x )(x－x )(a≠0)，
1 2
其中x ，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次
函数解析式的这三种形式可以互化.
考点02 二次函数的图象与性质
1. 二次函数的性质与图像：
形式
一般式： 顶点式
的符号
开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下，若 同号，则对称轴在 ，若 ，对称轴在 轴右边；若
对称轴
轴左边；若 异号，则对称轴在 轴右 ，对称轴在 轴左边，
边。简称左同右异。
当 时取得 当 时取得 当 时取得最小 当 时取得最大
最值
值 值
最小值 最大值
顶点坐标
图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边
随 的增大而减 随 的增大而增 随 的增大而减 随 的增大而增
增减性 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴
右边 随 的增大 右边 随 的增大而 右边 随 的增大 右边 随 的增大而
而增大； 减小； 而增大； 减小；
①若二次函数是一般形式时，则二次函数与 轴的交点坐标为 。若 ，则二次函数与
轴交于正半轴；若 ，则二次函数与 轴交于负半轴。
②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的
函数值越小。
③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。
考点03 二次函数的几何变换
1. 二次函数的平移：
①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。
(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成（或 ）
y=ax2+bx+c
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
2. 一次函数的对称变换：
①若二次函数关于 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
②若二次函数关于 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
考点04 待定系数法求函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)。
1 2
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
考点05 二次函数的图象与系数之间的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由a决定， ，开口向上， ，开口向下。
2. 二次函数的对称轴：
b
x=−
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 2a。若 同号，则
＜0，二次函数的对称轴在 轴的左边；若 异号，则 ＞0，二次函数的对称轴在
轴的右边。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴 =1，则 0。
②若二次函数的对称轴 =﹣1，则 0。
3. 二次函数与 轴的交点：
二次函数 与 轴的交点坐标为（0，c）。
拓展：在二次函数 中：是自变量为1的函数值， 是自变量为﹣1的函数值。
是自变量为2的函数值， 是自变量为﹣2的函数值。
是自变量为3的函数值， 是自变量为﹣3的函数值。
考点06 二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与一元二次方程：
①若二次函数 与 轴有两个交点⇔一元二次方程 有两个不
相等的实数根⇔ 。
②若二次函数 与 轴只有一个交点⇔一元二次方程 有两个
相等的实数根⇔ 。
③若二次函数 与 轴没有交点⇔一元二次方程 没有实数根
⇔ 。
④若二次函数 与直线 相交，则一元二次方程为 。交
点情况与方程的解的情况同与 轴相交时一样。
2. 二次函数与不等式（组）
若二次函数 与一次函数 存在交点，则不等式：
的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；
的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
考点07 二次函数与实际问题
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
2. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：总利润＝单利润×数量
现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝原数量－ ×变化数量（原数量＋ ×变化数量）
涨价基础 降价基础
4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。
题型01 二次函数的定义
【典例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x3+2x﹣1 B．y＝4x﹣7
C．y＝x2+4 D．y＝（x+1）2﹣x2
【变式1】若y＝（m﹣2）x2+3x+n（x为自变量）是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
【变式2】若函数y=(m−3)xm2−3m+2+mx+1是二次函数，则m的值一定是（
）
A．3 B．0 C．3或0 D．1或2
题型02 二次函数的形式转换
1
【典例1】将二次函数y= x2−6x+21化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
2
1 1
A．y= (x+6) 2−3 B．y= (x−6) 2−3
2 2
1 1
C．y= (x+6) 2+3 D．y= (x−6) 2+3
2 2
1
【变式1】用配方法将二次函数y=− x2−2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则h+k的值是（ ）
2
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．4
题型03 二次函数的性质与图象
【典例1】关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【变式1】关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限
【典例2】抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【变式1】二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣4） B．（1，﹣4） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）
【典例3】二次函数y＝2（x+1）2﹣4的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内
的大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【典例4】若A（﹣1，y ）、B（﹣2，y ）、C（1，y ）为二次函数y＝3（x+1）2的图象上的三点，则
1 2 3
y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 1 3 2
【变式1】点P （﹣4，y ），P （﹣3，y ），P （1，y ）均在二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上，则y ，
1 1 2 2 3 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 2 1 3 1 2 3 3 1 2
【典例5】二次函数y＝2（x+1）2﹣7的最小值是（ ）
A．﹣7 B．1 C．﹣1 D．7
【变式1】若函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（﹣1，1）和（1，﹣7），则当﹣3≤x≤0时，函数的最大
值与最小值之和是（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣3 D．0
【变式2】二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（ ）
A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或− D．﹣5或−
8 8 8
题型04 二次函数的平移
【典例1】将二次函数y＝x2图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（
）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+5
【变式1】将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（
）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2
1 1
【变式2】抛物线y=− (x+1) 2−1可以由抛物线y=− x2 （ ）得到．
2 2
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度，再向不平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【变式3】在平面直角坐标系中，将抛物线L ：y=ax2+2ax+c（a、c为常数，且a＜0）沿x轴向右平
1
移3个单位得到抛物线L ，点A（m，y ），B（m+2，y ）均在抛物线L 上，且位于抛物线L 对称轴的
2 1 2 2 2
两侧，若y ＜y ，则m的取值范围为（ ）
1 2
A．1＜m＜2 B．0＜m＜1 C．0＜m＜2 D．﹣1＜m＜1
题型05 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】根据下列条件，求二次函数的解析式
（1）图象经过点（﹣1，3），（1，3），（2，6）；
（2）抛物线顶点坐标为（﹣1，9），并且与y轴交于（0，﹣8）；
（3）抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣2，0），与y轴交于点（0，12）；
（4）图象顶点坐标是（2，﹣5），且过原点；
（5）图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣3，0）且函数有最小值﹣5；
（6）当x＝2时，函数的最大值是1，且图象与x轴两个交点之间的距离为2．
题型06 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．abc＞0 B．（a+c）2＞b2 C．b＞﹣2a D．4a+2b+c＞0
【变式1】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：
①abc＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝
0；③ 3a+c＝0；④ m（am+b）≥a﹣b（m 为任意实数）；⑤ 4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型07 二次函数与一元二次方程
【典例1】若抛物线y＝2x2﹣6x+3c与x轴只有一个公共点，则c＝ ．
【变式1】二次函数y＝ax2﹣3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝
1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝3 B．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣3 D．x ＝1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【变式3】已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对
应值．
x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8y＝ax2﹣ 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
2ax+c
根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（ ）
A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75
题型08 二次函数与不等式
【典例1】如图是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知其对称轴为直线x＝2，则当（ ）时，
函数值大于0．
A．x＜﹣2或x＞6 B．x＞6 C．x＜﹣2 D．﹣2＜x＜6
【变式1】抛物线y＝﹣0.5x2+bx+3的部分图象如图所示，当y＞0时自变量x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
题型09 二次函数的实际应用
【典例1】如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ABCD
（BC＞AB），并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料），设AB＝x m，BC＝y
m．
（1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值．【变式1】每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了
一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利 60元时，每天可售出50个；单价
每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于 40
元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器．
【变式2】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形OACB构成，矩形的长OA为10m，宽OB为3m，隧道顶
端D到路面的距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已
知摄像头到OB的水平距离为8m，求摄像头到地面的竖直距离．【变式3】在投掷实心球的运动中，实心球出手时水平向前的速度为a（单位：m/s），垂直向上的速度为
b（单位：m/s）．实心球在空中运动时，其水平距离x（单位：m）与时间t的关系为x＝at，高度y（单
位：m）与时间t的关系为y＝﹣5t2+bt+2．
（1）在小伟同学的一次投掷中，测得a＝6m/s，b＝3m/s；
①写出x与t的函数关系式为 ；y与t的函数关系式为 ；
根据以上关系，可得y与x的函数关系式为 （不用写出x的取值范围）；
②求出本次实心球的投掷距离．
（2）研究表明：在投掷力度一定时，水平速度与垂直向上的速度越接近，则实心球的投掷距离越远．
改进投掷方法后，小伟投出了8m的最佳成绩，若本次投掷中a＝b，求实心球在投掷过程中的最大高度．
题型10 二次函数的综合
【典例1】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标
及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．1
【变式1】如图，已知直线y=− x+2与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，
2
点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M，设点P的
横坐标为t．
（1）求抛物线解析式；
（2）当MN＝2MP，求t的值；
（3）若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；
（4）在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的
坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），
点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数解析式和直线AC的解析式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为
D，PD交AC于点E．若点P的横坐标为x，请用x的式子表示PE，并求PE的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点N，使得以点A，C，M，N为
顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点M的坐标．
