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第二十五章 概率初步 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．标准大气压下，水的沸点是
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环
C．北京某日的最高气温为
D．用长 ， ， 的三根木棍首尾相接做成一个三角形
【答案】D
【分析】本题考查了随机事件，必然事件和不可能事件，解答本题需要正确理解必然事件、不可能事件、
随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发
生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
利用随机事件，必然事件和不可能事件的概念逐一判断即可解题．
【详解】解：A．标准大气压下，水的沸点为 ，是必然事件；
B．杭州亚运会上射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件；
C．北京某日的最高气温为 ，是随机事件；
D．用长为 ， ， 三根木棒做成一个三角形，是不可能事件；
故选D．
2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）一副扑克牌是54张，随意摸到一张是10的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中
事件 出现 种可能，那么事件 的概率 ．根据概率公式知，共54张，其中有4张10，即可得
出摸到一张是10的概率．
【详解】解：在一副扑克牌中，共54张，其中有4张10，
则随意抽取一张是10的概率为 ．
故选：C．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，
骰子停止后，出现3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查概率公式、倍数，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．由题意知，共有6种等可能的
结果，其中出现3的倍数的结果有2种，利用概率公式可得答案．
【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有：3，6，共2种，
出现3的倍数的概率为 ．
故选：B．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，
停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影
区域内的概率 阴影部分面积 总面积，分别求出概率比较即可．
【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为 ；
B、指针落在阴影区域内的概率是 ；
C、指针落在阴影区域内的概率为 ；
D、指针落在阴影区域内的概率为 ，
，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项．
故选：D．
5．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色
外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.75左右，则袋子中红球的个数量有可能是（
）
A．5 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．明确题
意，利用概率公式计算出红球的个数是解答本题的关键．
【详解】解：由题意可得， （个），
即袋子中红球的个数最有可能是15个．
故选：D．
6．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）数学课上，老师和同学们做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数
据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
A．400 B．600 C．1000 D．1600
【答案】C
【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解在大量重复试验中，可以用频率估计概率．
随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】解： ，
观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到 附近，
所以抛掷硬币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近 次，
故选：C．
7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中
不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为 的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的
面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，几何概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到
点落在黑色阴影的概率为 ，即黑色阴影的面积占整个面积的 ，据此求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，
∴点落在黑色阴影的概率为 ，
∴黑色阴影的面积占整个面积的 ，
∴黑色阴影的面积为 ，
故选：B．
8．（24-25八年级上·山西晋中·阶段练习）如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，
我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记
录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果
绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．根据图（2）可得，小球落在不规则图案内的概率约为
，设不规则图案的面积为 ，根据几何概率可得：不规则图案的面积 正方形的面积 小球落在不
规则图案内的概率，列出方程即可求解．【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为 ，正方形的面积为 （ ），
设不规则图案的面积为 ，
则 ，
解得： ，
∴不规则图案的面积约为 ．
故选：C．
9．（2024·青海西宁·一模）背面图案、形状大小都相同的四张卡片的正面分别记录着有关函数
的四个结论．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是（
）
该函数的顶点位 当 时， 随 的 与坐标轴有2 若点 ， ， 在该函数
于第二象限 增大而增大 个交点 图像上，则
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率公式及二次函数的性质，利用二次函数确定正确的结论，然后利用概率公式求解
即可．
【详解】解： ，且
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴该函数的顶点位于第一象限，当 时， 随 的增大而增大，与坐标轴有3个交点，
∵点 ， ， 在该函数图像上，
∴ ，
∴四张卡片中有 张卡片是正确的，
∴随机抽取一张，抽到卡片上的结论正确的概率是 ，
故选：D10．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机
向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域
的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘
中 位置，发现三个圆弧刚好将 五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作 ， ，
，已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，
则大圆的半径为 ，设 ，根据勾股定理求出 ，然后解出M部分面积与整个圆面积的比
即为概率．
【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为 ，设 ，
，
∴ ，
解得： ， ，
∴M部分面积与整个圆面积的比： ，
∴ 等于 ，
故选A．二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）欢欢抛一枚质地均匀的硬币 次，有 次正面朝上，当他抛第
次时，正面朝上的概率为 ．
【答案】
【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式：如果一个事件有 种可能，而且这些事
件的可能性相同，其中事件 出现 种结果，那么事件 的概率 ．直接根据概率公式计算即可．
【详解】解： 掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
她第 次掷这枚硬币时，正面向上的概率是： ，
故答案为： ．
12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 个黄球，它们除
颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发
现，摸到黄球的频率是 ，则估计盒子中大约有红球 个．
【答案】
【分析】本题考查概率的应用，解题的关键是根据题意，设口袋里面大约有 个红球，根据摸到黄球的频
率是 ，则 ，解出分式方程 ，即可．
【详解】解：设盒子里面大约有 个红球
∵口袋里面有 个黄球，摸到黄球的频率是
∴
解得： ．
经检验， 是方程的解．
故答案为： ．
13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一个飞镖随机投掷到 的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键．
用阴影部分的面积除以总面积即可解答．
【详解】解：∵ 的方格纸的面积为 ，阴影部分面积为 ，
∴飞镖落在阴影区域的概率是 ．
故答案为： ．
14．（24-25九年级上·全国·期中）一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，
将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000
摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202
摸到白球的频率
0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601
根据以上数据，估计摸到白球的概率约为 （精确到0.01）
【答案】0.60
【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固
定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：根据表格可知，摸到白球的频率在0.600左右摆动，
所以根据以上数据估计，摸到白球的概率约为0.60．
故答案为：0.60．
15．（2024·四川雅安·模拟预测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是从中任选一个点恰好在第二象限的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列举法求概率，第二象限的点坐标的特征．熟练掌握列举法求概率，第二象限的点坐
标的特征是解题的关键．
由题意知， 在第二象限，然后求概率即可．
【详解】解：由题意知， 在第二象限，
∴任选一个点恰好在第二象限的概率是 ，
故答案为： ．
16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，
由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一
条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，
B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是
【答案】 /0.5
【分析】此题考查了树状图或列表法求概率．
准确画出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可．
【详解】解：列树状图：
共有4种等可能的情况，小丽一家人从A展厅出发到达E出口有2种情况，∴小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是 ，
故答案为： ．
17．（19-20九年级上·全国·课后作业） “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转
动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪
一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在
“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转
盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．
中正确的是 ．
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数
68 108 140 355 560 690
m
落在“铅笔”区域的频率
0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
【答案】①②③
【分析】本题考查了利用频率估计概率，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．根据图表可求得
指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得文具
盒．
【详解】解：由表格可知频率稳定在0.7左右，
①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，正确；
②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，正确；
③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有 次，正确；
④随机事件，结果不确定，故④错误，
故答案为：①②③．18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B，C为 上的三个点，C为 的中点，连接 ， ，
， ，以C为圆心， 长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的
概率是 ．
【答案】
【分析】连接 、AB交于点 ，设圆的半径为1，可证 为等边三角形，先求出 ，
为 ，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：连接 、AB交于点 ，设 半径为1，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∵AB为弦， 为半径，
∴ 垂直平分AB，
在 中， ， ，
， ，
，，
，
，
故答案是： ．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，几何概
率，根据图形作出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（24-25九年级上·全国·课后作业）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，
在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支
付．
(1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式；
(2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的
事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式
求解即可．
【详解】（1）解：把“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式分别记为A，B，C．
列表如下：
赵老师
马老师
A B C
AB
C
（2）解：共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为 ．
20．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：
，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
(1)当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
(2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有
n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
且 ．
（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，
其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，根据概率公式求解即可．
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，
其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6
种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是 ；
（2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是 ．
21．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小明参加某个智力竞答节目，答对两道单选题就顺利通关．第一道
单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用
（使用“求助”可以让主持人去掉一个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
(2)如果小明将“求助”在第一题使用，请用画树状图或列表的方法，求小明顺利通关的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查概率的求法与运用；
（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用 ， ， 表示第一道单选题的 个选项， ， ， 表示剩下的第二道单选题的3个选
项，然后根据题意画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公
式即可求得答案．
【详解】（1）解：∵第一道单选题有3个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ；
故答案为： ；
（2）分别用 ， ，表示第一道单选题的 个选项， ， ， ， 表示剩下的第二道单选题的4个选项，
画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为： ．
22．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最
早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩
具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且
小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽．
(1)第一次发出“羽”音的概率为__________；
(2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率．
【答案】(1)
(2) ，画树状图见解析
【分析】本题考查概率公式以及利用树状图求概率；
（1）利用概率公式解题即可；
（2）先画出树状图，得到总情况总共有25种，再找出符合题意得情况即可求解．
【详解】（1）解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，
∴第一次发出“羽”音的概率为 ，
故答案为： ．
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种，
先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为 ．
23．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽
率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数
100 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 94 475 954 1906 4748发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496
(1)上表中的 ________， ________．
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01）
(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？
【答案】(1)191，
(2)
(3)需要准备10000粒种子进行发芽培育．
【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系
是解决本题的关键．
（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可；
（2）根据概率与频率的关系解答即可．
（3）用9500除以发芽的概率即可．
【详解】（1）解： ，
．
故答案为：191， ；
（2）解：∵随着实验种子数的增加，频率稳定在 ，
∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是 ．
故答案为： ；
（3）解： ，
答：需要准备10000粒种子进行发芽培育．
24．（24-25九年级上·陕西·期中）为落实教育厅关于做好2023年初中学业水平体育与健康学科考试等有
关事项的通知的要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项目开展有针对性的强化训练：A．跳绳；
B.1000米跑；C．引体向上；D．投掷实心球，全校共有100名男生选择了A项目，为了了解选择A项目男
生的情况，从这100名男生中随机抽取了30名男生在操场进行测试将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数
分布直方图．(1)其中 这一组的数据为169，166，165，169，169，167，167，则这组数据的中位数是 ，
众数是 ．
(2)根据题中信息，该校男生共有 人选择项目B，D项目扇形统计图的圆心角为 度；
(3)如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目C，请用
画树状图或列表法计算出这两位同学第二项目同时选项目A或项目B的概率．
【答案】(1)167，169
(2)175，
(3)
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据选择A项目的人数和比例，求出全校男生人数，再将全校男生人数乘以选择B项目的比例即可
求出该校共有多少男生选择B项目；先求出D项目所占百分比，再用此百分比乘以 即可；
（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两位同学第二项目同时选项目A或项目B
的结果，利用等可能事件的概率公式求解即可．
【详解】（1）解：将 这组数据重新排列为165，166，167，167，169，169，169，
∵处在最中间的数为167，出现次数最多的数为169，
∴这组数据的中位数是167，众数为169，
故答案为：167；169；
（2）解：∵选择A项目100人，占百分比我 ，
∴男生总人数为： 人，
∴男生选择B项目的人数为： （人），
∵选择D项目的百分比为： ，
∴扇形统计图中选择D项目的圆心角度数为： ，
故答案为：175， ；
（3）∵每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目C，
∴小东和小强在选项目中，第二项目只能从A，B，D中选，画树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中这两位同学第二项目同时选项目A或项目B的有2种可能结果，
∴P（这两位同学第二项目同时选项目A或项目B） ．
【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，用列表法和树状图法求等可能事件的概
率，能从统计图中获取有用信息，理解相关概念，掌握用列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是
解题的关键．
25．（24-25九年级上·陕西·期中）“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和
“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集
团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理
（得分用x表示）：A： ，B： ，C： ，D： ，E： ，并绘
制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为 ___________°，并将条形统计图补充完整．
(2)若“ ”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数
是 ___________，中位数是 ___________．
(3)经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠
亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)54，见解析
(2)96，95.5(3)
【分析】（1）先用C组的人数除以C组所占的百分比，求出参加此次竞赛的总人数，再计算A组人数所
占的百分比，最后用 乘以A组所占百分比，即可求出A组所在扇形的圆心角度数；用总人数乘以B组
所占百分比，即可求出B组的人数，即可补充条形统计图；
（2）根据众数和中位数的定义，即可进行解答；众数：在一组数据中出现次数最多的数据；中位数：将
数据按大小顺序排列，位于中间位置的数据即为中位数；
（3）画出树状图，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（1）参加此次竞赛总人数： （人），
A组所在扇形的圆心角度数 ，
B组人数： （人），
条形统计图如图所示：
故答案为：54．
（2）解：排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为： ，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
故答案为：96，95.5；
（3）解：画树状图如下：∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题
的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息．
26．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）张老师在带领同学们进行折 角的探究活动中，按步骤进行了折
纸：
①对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，并把纸展平．
②再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．
③可得到 ．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接 ，可证 为等边三角形，从而得证；小如说：
利用平行线分线段成比例性质，可证 ，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用 的
边角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树
状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明 理由．
【答案】(1)
(2)选择小彤的方法说明 ，理由见详解
【分析】（1）用 表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；
（2）连接 ，由折叠的性质可得， ， ， ， ，由垂直平分
线的性质可得 ，即可证明 为等边三角形，得到 ，由矩形的性质可得 ，可求出 ，即可证明结论．
【详解】（1）解：用 表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，
∴小明和小峰选择同一种方法的概率为 ；
（2）选择小彤的方法说明 ，理由如下：
连接 ，如下图，
由折叠的性质可得， ， ， ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知
识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明 为等边三角形．
