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第二十五章 概率初步综合题拓展训练
目录与链接
考点一、列举法求概率……………………………………………………………………………2
考点二、概率公式…………………………………………………………………………………7
考点三、几何概率…………………………………………………………………………………15
考点四、列表法求概率……………………………………………………………………………20
考点五、树状图求概率……………………………………………………………………………26
考点六、抽取放回与不放回问题…………………………………………………………………38
考点七、游戏公平性………………………………………………………………………………41
考点八、用频率估计概率…………………………………………………………………………45
考点九、统计与概率的综合问题…………………………………………………………………52考点一、列举法求概率
1．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从
袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式 成立的事件发生
的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．向上抛掷质地均匀的骰子（如图），落地时向上的面点数为 （ 的可能取值为1，2，3，4，5和
6），则关于 的不等式 有不大于2的整数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数 是非负整数的概率为 ．
4．如图为一个 的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也
不同列的概率．
5．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们
背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 ，则抽取的 既能使关于 的方程
有实数根，又能使以 为自变量的二次函数 ，当 时， 随
的增大而减小的概率为 ．6．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马
，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：
（注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：
每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局
比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、
中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并
求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，
请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
考点二、概率公式
7．从同一副扑克牌中挑出 张红桃、 张黑桃、 张方块，将这 张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出
张牌，抽出的这 张牌中恰好有 张红桃的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰
子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，
排列规则如下：
①从左至右按从小到大的顺序排列：
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行
最后一张白色卡片上数字只能是 有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上
数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是 ．
10．如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进
行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，
并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若 ，求x的值．
11．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，
横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层
每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都
留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如
下（以取停在311的车子为例）；① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；
② 转运板进311，托起车，载车出311；
③ 转运板载车滑行至316前；
④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前；
⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车．
停车位 停车位 升降台 留空 停车位
… … … …
301 311 316 321 330
转运板滑行区
转运板滑行区
如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑
行速度是升降台升降速度的2倍．
(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运
板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；
（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）
(2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停
车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．
12．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保
费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情
况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素 浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号
私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量 10 5 5 20 15 5
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定 ．求某同学家的一辆该
品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．
假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；
①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车
的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．
考点三、几何概率
13．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在
M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定
性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中 位置，发现三个圆弧刚好将
五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作 ， ， ，已知 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，A，B，C为 上的三个点，C为 的中点，连接 ， ， ， ，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是 ．
15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵
爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图
的“风车”图案（阴影部分）．若图 中的四个直角三角形的较长直角边为 ，较短直角边为 ，现随机
向图 大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
16．如图，点 在⊙ 上， ，以 为圆心， 为半径的扇形 内接于⊙ ．某人向⊙ 区
域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形 内的概率为 ．
17．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ．连结 交
、 于点 、 ．若 平分 ，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率
为 ．考点四、列表法求概率
18．在一个不透明的箱子里装有2个红球，2个白球和1个黄球，这些小球除颜色不同外其他都相同．从
箱子中一次性摸出2个球，颜色相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面
朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
20．在一个不透明的袋子中装有3张完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3．从中随机抽取两张，组成
的两位数是3的倍数的概率为 ．
组成的两位数是3的倍数的概率为 ．
21．春节期间，有四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》热映，甲乙两名同学分
别从这四部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为 ．
22．暑假期间，小林准备带家人在盐城游玩，通过上网查阅资料得知，盐城热门的景点有大洋湾、珠溪古
镇和中华海棠园，随机选择一个或两个景点游玩．
(1)小林从中任意选择1个景点游玩，恰好是珠溪古镇的概率为 ；
(2)小林从中任意选择2个景点游玩，请用列表或画树状图的方法，求出选择大洋湾和中华海棠园这两个景
点的概率．
23．在两个不透明的袋子甲、乙中各装有相同的三个小球，小球分别标有数字 ，现从甲中任意摸出
一个小球，将上面的数字记为a；再从乙中任意摸出一个小球，将上面的数字记为b．
(1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)求点 在第四象限的概率．
24．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、
9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．
（1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；
（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班
不与5班对决的概率．
考点五、树状图求概率
d
x=
25．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如 与 、 与 5．在一次制取
d
x=
的实验中， 与 的原子个数比为2：1， 与 5的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生
成 ，则反应生成 的概率（ ）
A． B． C． D．
26．如图1，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（
）和稀硫酸（ ），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（ ）和氢氧化钙溶液
（ ）．
(1)彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（ ）的概率为______．
(2)下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（ ）”的概
率的部分过程，帮他补全如图2所示的树状图并完成求解．（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯
化钙溶液）
27．张老师在带领同学们进行折 角的探究活动中，按步骤进行了折纸：
①对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，并把纸展平．②再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ．
③可得到 ．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接 ，可证 为等边三角形，从而得证；小如说：
利用平行线分线段成比例性质，可证 ，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用 的
边角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树
状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明 理由．
28．在抛物线 中，规定：（1）符号 称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如
果一条抛物线与 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的
“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是 ，则此抛物线的函数表达式为 ，当 满足 时，此抛物线没有“抛物
线三角形”；
（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为 的“抛物
线三角形”的面积；
（3）在抛物线 中，系数 均为绝对值不大于 的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”
是等腰直角三角形的概率．
29．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领
域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了
腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门
随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为
“非手机支付族”
（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）手机支
非手机支付 合计
付
男 a b
女 c d
合计 60
②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支
付族”的概率是多少？
（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、
方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：
方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，
它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到
2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从
实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.
手机支
非手机支付 合计
付
男 a b 40
女 c d 20
合计 18 42 60
30．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：
①棋盘为正五边形 ．一跳棋棋子从点 开始按照逆时针方向起跳．从点 跳到点 为 步．从点
跳到点 为 步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：
②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点 ，就算完成了一次操作：
③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点 ，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位
置，不论是否回到点 ．都算完成了一次操作．
（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到 点的概率为___．
（2）求小明经一次操作， 使得棋子跳回到 点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过
程）31．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以
额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，三年
后如果备件多余，每个以 元（ ）回收．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集
并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如下频数分布直方图：
记 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）以100台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计 不超过19的概率；
（2）以这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在 与 之中选其一，当
为何值时，选 比较划算？
考点六、抽取放回与不放回问题
32．不透明袋子中装有黄球1个，红球3个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，
记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球颜色不一样的概
率是 ．
33．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注
数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回
袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M在直线y＝x上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
34．在一个不透明的口袋中装有分别标有数字 ， ， ， 的四个小球（除标号外，其余都相同），从中
随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球．求抽取的两张牌牌面数字之和大于 的概率．
35．在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是 ，❑√3， 卡片除了实
数不同外，其余均相同)
(1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率．
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡
片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概
率．
考点七、游戏公平性
36．准备三张纸片，两张纸片上各画一个三角形，另一张纸片画一个正方形（如图所示）．如果将这三张
纸片放在一个盒子里搅匀．甲、乙两人制定了这样的游戏规则：随机地抽取两张纸片，可能拼成一个菱形
（取出的是两张画三角形的纸片），也可能拼成一个房子（取出的是一张画三角形、一张画正方形的纸
片）．若拼成一个菱形，则甲赢；若拼成一个房子，则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
37．在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等
份）
(1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______；
(2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶
数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．
38．2024年4月23日是第29个世界读书日．为了营造多读书、读好书的氛围，我校举办了第十届校园读书节．在班级组织的“读书分享会”活动中，小明和小华都想当主持人，但只有一个名额、小华建议用游
戏的方法来选人，如图，现有一个圆形转盘被平均分成 份，分别标有 、 、 、 、 、 这六个数字，
转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转），求：
(1)转动转盘一次，转出的数字为 的概率是______；
(2)若小明转动两次后转到的数字分别是 和 ，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作
为三条线段的长度（长度单位均相同），则这三条线段能构成等腰三角形的概率是______；
(3)自由转动转盘，若转出的数字是偶数，小明参加；若转出的数字大于 ，小华参加；你认为这个游戏公
平吗？请说明理由．
39．2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中
国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方
面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男
生6人，女生4人．
(1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______；
(2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规
则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先
从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和
为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？
考点八、用频率估计概率
40．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小
区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
41．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，
他采取了以下办法:用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方
形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（
）
A． B． C． D．42．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计
了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆．
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 ……
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 ……
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 ……
小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x ……
【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次
数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )；
【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留π)
43．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶
以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了
制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸
奶瓶数），等数据统计如下：
x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35
天数 6 10 11 3
y（瓶） 270 330 360 420
以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．
(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；
(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进
货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？
44．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的
得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理.问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机
有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共
有 种不同的走法：
问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法：
方法探究
加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n
种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步
骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就
是分步乘法计数原理.
实践应用1
问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北
走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2
填出.
(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，
便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种：
(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种.
(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返
回)概率是
实践应用2
问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，
问共有 种不同的染色方法.考点九、统计与概率的综合问题
45．某校准备设置的五类劳动课程分别为： ．整理与收纳； ．烹饪与营养； ．传统工艺制作； ．
新技术体验与应用； ．公益劳动与志愿服务．为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一
些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题．
(1)本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方
法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率．
46．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课
外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查
要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整
理数据后绘制的两幅不完整的统计图．(1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度．
(2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人．
(3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有
4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．
若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍
数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？
47．某校数学兴趣小组的同学为了解学校各班落实“光盘行动”的情况，分别调研了七、八年级各8个班
某一天的餐厨垃圾质量（单位： ），并将收集的数据按如下方式进行了整理和分析（餐厨垃圾质量用x
表示后共分为四个等级：A． ，B． ，C． ，D． ），下面提供的是整理和分
析后的部分信息：七年级8个班的餐厨垃圾质量分别为： ， ， ， ， ， ， ， ；八
年级8个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据分别为： ， ， ， ．
七、八年级抽取的各8个班级餐厨垃圾质量统计表
平均数 中位数 众数 A等级所占百分比
七年
a
级
八年
b
级
+根据以上信息，解答下列问题：
(1)请你通过以上数据，写出上述表中字母的值 ______； ______； ______；
(2)若学校将从七、八年级餐厨垃圾质量符合A等级的班级中随机抽取两个班级进行调研，请用列表或画树
状图的方法计算被抽到的班级刚好是一个七年级一个八年级的概率．
48．为了增强全民国家安全意识，我国将每年 月 日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国
家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取 名学生的成绩（百分
制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在 这一组的数据是： ， . ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
整理数据：甲、乙两校 名学生成绩的频数分布统计表如下：
组
别
甲 4 11 13 10 2
乙 6 3 15 14 2
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
众
量 平均数 中位数 方差
数
甲 74.5 86 m 47.5
乙 73.1 84 76 23.6
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ______；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在 这一组的扇形的圆心角是
______度：本次测试成绩更整齐的是______校（填“甲”或“乙”）；
(2)在此次测试中，某学生的成绩是 分，在他所属学校排在前 名，由表中数据可知该学生是______校
的学生（填“甲”或“乙”）；
(3)甲校有 名学生都参加此次测试，如果成绩达到 分（ 分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校
能参加第二轮比赛的人数．
(4)成绩达到90分以上为优秀，若从甲校获得优秀的两名同学（记为A、B）和乙校获得优秀的两名同学
（记为C、D）中抽取两名同学参加全市现场比赛，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两名同学甲
校、乙校各一名同学的概率．
