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第二十二章 二次函数
【知识点01】二次函数的概念
一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函数
【知识点02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： ，其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
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【知识点03】二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴顶点 （ ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x= 时，y = 当x= 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x< 时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增
增减性 当x> 时，y随x的增大而增大 大；当x> 时，y随x的增大而
减小
【知识点04】二次函数的平移
二次函数平移遵循“上 下 ，左 右 ”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或
减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的
解析式．
【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当 时，就变成了一元二次方程 （a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 的横坐标．
3）（1） ⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与 ；
（2） ⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 ；
（3） ⇔方程没有实数根，抛物线与 ．
【知识点06】用二次函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
（1）列出 ，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的 或易错点1 利用二次函数的定义求待定系数时忽略“a≠0”
1.易错总结：求二次函数待定系数时，易因忽略二次项系数 a\neq0 出错。比如设 y = ax^2 + bx + c 形
式，若没考虑 a 取值，会导致函数不是二次函数，得出错误结果 。
2.注意事项：确定二次函数待定系数，先明确二次项系数 a ，必须保证 a\neq0 ，再求解其他系数。解
题后检查，确认二次项系数符合 a\neq0 ，避免因遗漏条件致错 。
例题1．当 时，函数 是二次函数．
易错点2 利用二次函数的增减性求待定系数时忽略分类讨论
1.易错总结：利用二次函数增减性求待定系数时，常因未对二次项系数 a 的正负（即开口方向）分类讨
论，导致增减性判断错误，进而使待定系数求解出错，忽略不同开口下增减性的差异。
2.注意事项：先根据 a 的正负，分 a>0（开口向上）、a<0（开口向下）两类讨论增减性。结合自变量取
值范围与对称轴位置，对应增减性确定函数值变化，精准求解待定系数。
例题2．已知二次函数 （ 是常数），当自变量 时，函数有最大值为10，则
．
易错点3 二次函数与一元二次方程的交点问题
1.易错总结：处理二次函数与一元二次方程交点问题时，易忽略二次项系数 a≠0 ，导致函数不是二次函
数；或未结合判别式△判断交点个数，误判方程解与函数图象和 x 轴交点的关系。
2.注意事项：先确认二次函数 y = ax2 + bx + c 中 a≠0 ，保证是二次函数。利用判别式△= b2 -
4ac ，判断方程ax2+ bx + c = 0 根的情况，对应函数与 x 轴交点个数 。
例题3．（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线 ．
（1） 的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移 个单位长度后，在 范围内与 轴只有一个交点，
则 的取值范围是 ．易错点4 利用二次函数解决实际问题中最值问题
1.易错总结：在利用二次函数解决实际问题的最值问题时，一是容易忽略自变量的实际取值范围，直接套
用二次函数顶点坐标公式求最值，得到不符合实际情况的结果；二是没有正确分析二次函数的开口方向，
导致对函数增减性判断失误，从而找错最值点。
2.注意事项：明确实际问题中自变量的取值范围，结合函数图象在该范围内的单调性来确定最值。准确判
断二次项系数的正负，确定函数开口方向，再依据自变量取值范围，精准找出能使实际问题取得最值的点。
例题4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4
元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷8元的价格销售，当每卷售价为6元时，每
天售出贴纸900卷；当每卷售价为7元时，每天售出贴纸850卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸
的数量 （卷）与每卷售价 （元）满足一次函数关系．
(1)求每天销售贴纸的数量 （卷）与每卷售价 （元）满足的函数关系式；
(2)当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
易错点5 二次函数中的新定义型综合问题
1.易错总结：解二次函数新定义型问题时，常因未吃透新定义内涵，直接套用旧知识导致错解；或忽略新
定义中隐含的二次函数基本特征（如二次项系数非零），使推理偏离前提。
2.注意事项：先逐字分析新定义，明确其与二次函数知识的关联，转化为熟悉的函数问题。解题中紧扣二
次函数定义，验证是否满足 a≠0 等基本条件，确保逻辑严谨。
例题5．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线 的顶点坐标满足条件 ，
那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线 的顶点坐标为 ，此时由于 ，
，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．(1)如果抛物线 是“优雅”抛物线，求 的值．
(2)如图，把（1）中的抛物线 向下平移得到抛物线 ，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，顶点为点 ，
对称轴与 轴交于点 ．
①点 在 延长线上，点 是 轴上一点，且四边形 是矩形，求点 的坐标．
②如果抛物线 为“优雅”抛物线，它的顶点 在 轴上，抛物线 与 交于点 ，且
，求抛物线 的解析式．
1．（24-25九年级上·山东东营·期末）如果 是二次函数，则 的值为 ．
2．若 是关于x的二次函数，则m的值为 ．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知函数 ，当 时，若y的最大值与最小值
之差为8，则 ．
4．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数 ，当 时，函数
的最小值为1，则 的值为 ．
5．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点 ，点 ，若抛物线与线段 有两个不同的交点，则 的取值范围是 ．
6．（2025·安徽六安·二模）把函数 的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分
的图象不变，得到函数 的图象．
（1）函数 的顶点为 ．
（2）若函数 与函数 有3个交点，则b的值为 ．
7．（2025·安徽合肥·三模）对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点 是这个
函数的“二倍点”，已知二次函数 ．
（1）若点 是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是 ，
（2）若此函数有两个相异的“二倍点” 、 ，且 ，则k的取值范围 ．
二、解答题
8．某奶茶店用3000元按批发价购入一批椰果奶茶原料．若将原料批发价降低 ，则可多购买500杯椰
果奶茶所需原料．市场调研显示：该奶茶每杯售价8元时，每日可售出320杯；每杯每涨价1元，日销量
减少20杯．该奶茶每杯的配料、包装等其它成本为2元．
(1)该奶茶每杯原料成本是多少元？
(2)若销售该奶茶每天的利润为1920元，且销量尽可能大，该奶茶每杯售价是多少元？
(3)为了让利给顾客，该奶茶店决定每杯椰果奶茶涨价不超过5元，问该奶茶一天最大的销售利润是多少元？
9．（24-25九年级下·江西抚州·期中）坐落于江西省南昌市赣江之畔的滕王阁，不仅是中国四大名楼之一，
也是国家重点风景名胜区．景区内的官方纪念品店销售一系列精美的手工艺品及地方特产，包括一种颇受
欢迎的儿童木质拼图．该拼图的成本价固定为40元/件，依据景区规定，销售利润必须限制在进价的50%
以内．近期的销售数据表明，当拼图定价为50元时，每日销量可达350件，然而，每当价格提升5元，销
售数量便会随之减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于50元）．
(1)当这种木质拼图以最高价出售时，每天的销售量为多少件？
(2)求这种木质拼图每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；(3)当销售单价为多少元时，该景区销售这种木质拼图每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
10．（24-25九年级上·辽宁·期末）定义：若函数 和函数 的图象关于直线 对称，则称函数 和
关于直线 互为“友好函数”，函数 和 的图象交点叫做“友好点”．
例如：函数 关于直线 的“友好函数”为 ，“友好点”为
．
(1)求函数 关于直线 的“友好函数”的表达式及“友好点”的坐标；
(2)函数 关于直线 的“友好点”的纵坐标为 ，当 时，求 的取值范围；
(3)函数 关于直线 的“友好函数”为 ，“友好点”为 ．函数 的图象
的顶点为 ，与 轴交点为 ，函数 的图象的顶点为 ，与 轴交点为 ，函数 与 的图象组成的
图形记为 ．
①若 ，判断 的形状，并说明理由；
②若 ，求 的值；
③点 ，点 ，若 与线段 有且只有两个交点，直接写出 的值或取值范围．
