文档内容
专题 01 集合和常用逻辑用语
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：集合的基本概念.............................................................................................2
题型二：集合间的基本关系.........................................................................................3
题型三：集合的运算.....................................................................................................5
题型四：充分条件与必要条件.....................................................................................8
题型五：全称量词与存在量词...................................................................................10
题型六：以集合为载体的创新题...............................................................................11
02 重难创新练.............................................................................................................13题型一：集合的基本概念
1．下列四个命题正确的个数是（ ）
①{0}是空集；②若a∈N，则−a∉N；③集合{x∈R|x2−2x+1=0}有两个元素；④集合¿是有限集
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【解析】对于①，{0}不是空集，空集中无任何元素，故①错；
对于②，若a∈N，当a=0时，−a∈N，故②错；
对于③，集合{x∈R|x2−2x+1=0}={1}，只有一个元素，故③错；
6
对于④，集合{x∈Q| ∈N}是无限集，故④错；
x
综上，正确的命题有0个.
故选：D.
2．设集合A={x||x+2|≤2}，B={x|x2+2x≤3}，C={x∈Z|x∈A且x∉B}，则集合C=（ ）
A．(−4,−3] B．[−4,−3) C．{−4,−3} D．{−4}
【答案】D
【解析】由题意得，A={x|−4≤x≤0}，B={x|−3≤x≤1}，
因为C={x∈Z|x∈A且x∉B}，所以C={−4}.
故选：D．
3．已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z}，且
a∈P,b∈Q，则（ ）
A．a+b∈M B．a+b∈Q C．a−b∈P D．a⋅b∈Q
【答案】B
【解析】因为a∈P，所以a=2k ,k ∈Z，因为b∈Q，所以b=2k +1,k ∈Z
1 1 2 2
所以a+b=2k +2k +1=2(k +k )+1∈Q，故A错误，B正确；
1 2 1. 2
所以a−b=2k −2k −1=2(k −k −1)+1∈Q，故C错误；
1 2 1. 2
所以a⋅b=2k ⋅(2k +1)=2(2k k +k )∈P，故D错误；
1 2 1 2 1故选：B．
1
4．已知集合A={z|z=in+ , n∈N∗}，则A的元素个数为（ ）
in
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
1 1
【解析】当n=1时，z=i+ =i−i=0，当n=2时，z=i2+ =−1−1=−2，
i i2
1 1 1
当n=3时，z=i3+ =−i− =0，当n=4时，z=i4+ =1+1=2，
i3 i i4
1 1 1 1
当n=5时，z=i5+ =i+ =i−i=0，当n=6时，z=i6+ =i2+ =−1−1=−2，
i5 i i6 i2
1 1 1 1 1
当n=7时，z=i7+ =i3+ =−i− =0，当n=8时，z=i8+ =i4+ =1+1=2，
i7 i3 i i8 i4
⋯，可知以上四种情况循环，故集合A={0,−2,2}，A的元素个数为3.
故选：C
5．已知B⊆A，其中集合A={m+2,1,4}，B={m2,1}，则实数m的值为（ ）
A．－1 B．－2或0 C．－2 D．2
【答案】C
【解析】根据集合中元素的互异性可得m2≠1，m+2≠1，m+2≠4，所以m≠±1且m≠2，
根据B⊆A可得m2∈A，结合集合中元素的无序性得m2=4或m2=m+2，
于是可得m=±2或m=−1，所以m=−2.
故选：C．
题型二：集合间的基本关系
6．已知集合A={x∣x2−3x+2=0},B={x∣(x−2)(ax−2)=0}，若A∪B=A，则实数a的值不可以为
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−1
【答案】D
【解析】对于方程x2−3x+2=0，分解因式可得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或者x=2，2
所以A={1,2}.对于方程(x−2)(ax−2)=0，其解为x=2或者x= (a≠0).
a
因为A∪B=A，这意味着B⊆A.
当a=0时，方程(x−2)(ax−2)=0变为(x−2)(−2)=0，此时B={2}，满足B⊆A.
2
当a=1时，x= =2，此时B={2}，满足B⊆A.
a
2
当a≠0且a≠1时，B={2, }.
a
2
因为B⊆A，所以 =1，解得a=2，此时B={1,2}，满足B⊆A.
a
综上，实数a的值可以为0、1、2，所以实数a的值不可以为除0、1、2之外的值.
故选：D.
7．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x<0},B＝{x|2x>1}，则（ ）
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝A C．A⊆B D．B⊆A
【答案】C
【解析】A＝{x|x2−2x<0}={x|01}={x|x>0}，
故A⊆B.
故选：C
8．设集合A={0,3a}，B={−1,2+a,2−2a}，若A⊆B，则a=（ ）
A．2 B．−1 C．1 D．−2
【答案】C
【解析】因为A⊆B，所以0∈B.
所以2+a=0或2−2a=0.
若2+a=0 ⇒ a=−2，此时A={0,−6}，B={−1,0,6}，A⊆B不成立，故a=−2不合题意；
若2−2a=0 ⇒ a=1，此时A={0,3}，B={−1,0,3}，A⊆B成立.
故a=1.
故选：C
9．设集合A=¿，若B⊆A，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−6] B．(−∞,−2] C．[3,+∞) D．[6,+∞)
【答案】A( a)
【解析】由题可知A=(−∞,−3]∪[3,+∞),B= −∞, ，
2
a
由B⊆A，可得 ≤−3，
2
所以a≤−6．
故选：A.
10．已知M,N为全集U的非空真子集，且M,N不相等，若(∁ M)∪N=U，则（ ）
U
A．N⊆M B．M∪N=N
C．(∁ M)∩N=∅ D．M∪(∁ N)=U
U U
【答案】B
【解析】因为(∁ M)∪N=U，等价于∁ N⊆∁ M，等价于M⊆N，
U U U
且M,N不相等，可知集合M是集合N的真子集，故A错误；
且M∪N=N，故B正确；
据此作出韦恩图，
可知(∁ M)∩N≠∅，M∪(∁ N)≠U，故CD错误；
U U
故选：B.
题型三：集合的运算
11．（多选题）已知集合A={x|11时，B={x|14.
故答案为：(−∞,−2]，(4,+∞).
{1}
17．已知集合A={2,2m}，B={m,n}(m,n∈R)，且A∩B= ，则A∪B= .
4{ 1 }
【答案】 −2, ,2
4
{1} 1 1
【解析】因为A={2,2m}，B={m,n}(m,n∈R)，A∩B= ，所以 ∈A, ∈B，
4 4 4
1 1
得2m= ，解得m=−2，故n= ，
4 4
{ 1} { 1}
所以A= 2, ，B= −2, .
4 4
{ 1 }
所以A∪B= −2, ,2
4
{ 1 }
故答案为： −2, ,2 .
4
题型四：充分条件与必要条件
18． “a=2”是“直线l :2ax+4 y+3=0与直线l :(a−1) 2x+ y−5=0平行”的（ ）
1 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
1
【解析】若l //l ，则2a−4(a−1) 2=0，解得a=2或a= ，
1 2 2
所以由a=2可以得到l //l ，反之则不然，
1 2
故“a=2”是“l //l ”的充分不必要条件.
1 2
故选：A.
19． “00，解得：00”为假命题，则实数a的范围为 ．
【答案】[3,+∞)
【解析】命题“∀x∈[1,2],2x+x−a>0”为假命题，可命题“∃x∈[1,2],2x+x−a≤0”为真命题，
即不等式a≥2x+x在x∈[1,2]上有解，
设函数f (x)=2x+x,x∈[1,2]，可得函数f (x)在[1,2]为单调递增函数，
所以，当x=1时，函数f (x)取得最小值，最小值为f (1)=3，所以a≥3，
即实数a的取值范围为[3,+∞).
故答案为：[3,+∞).
26．已知函数f (x)=2ax2−ax−1，a∈R.若命题“∀x∈R，不等式f (x)<0恒成立”是假命题，则实
数a的取值范围 .
【答案】(−∞,−8]∪(0,+∞)
【解析】当f (x)=2ax2−ax−1<0恒成立，
当a≠0时，a<0且Δ=a2+8a<0，
解得：−80．
故答案为：(−∞,−8]∪(0,+∞)
27．命题p：存在m∈[−1,1]，使得函数f (x)=x2−2mx在区间[a,+∞)内单调，若p的否定为真命题，则
a的取值范围是 .
【答案】(−∞,−1)
【解析】命题p的否定为：任意m∈[−1,1]，使得函数f(x)=x2−2mx在区间[a,+∞)内不单调，
由函数f(x)=x2−2mx在(−∞,m)上单调递减，在(m,+∞)上单调递增，
则a0恒成立，
得Δ=4m2−4×3<0，解得−√30，
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2
所以x y 与x y 同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意；
1 2 2 1
1 ( 1) 1
对于（3），若(x ,y )∈A，(x ,y )∈A，而当x =− 时，y =2× − +1= ，
1 1 2 2 1 4 1 4 2
此时如果有x y +x y =0，就意味着y −2x =0，但事实上y =2x +1≠2x ，故（3）不符合题意；
1 2 2 1 2 2 2 2 2
对于（4），显然A⊆U，且对任意(x ,y )∈A，即y =x2，取x =−x ,y = y ，
1 1 1 1 2 1 2 1
此时有y =x2 ，即(x ,y )∈A，且满足x y +x y =x y −x y =0，故（4）符合题意.
2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1
故答案为：（1）（4）.
31．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集A ，
1
A ,⋯,A (k∈N*)，且A ∪A ∪⋯∪A =U，那么称子集族{A ,A ,⋯,A }构成集合U的一个k划
2 k 1 2 k 1 2 k
分.已知集合I={x∈N∣x2−6x+5<0}，则集合I的所有划分的个数为 .
【答案】4
【解析】依题意，I={x∈N|x2−6x+5<0}={x∈N∣10⇒x>2或x<−1，t∈(0,+∞)⇒y=lgt⇒y∈R，
B={x|y=√x2−x+2}为函数y=√x2−x+2的定义域，
√ 1 2 7 1 2 7 7
即y= (x− ) + ，因为(x− ) + ≥ ，所以函数y=√x2−x+2定义域为R，
2 4 2 4 4
故A∩B=R，
故选：D.
4
2． “对任意实数x∈(0,+∞)都有x+ ≥a”是“a<4”的（ ）．
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B4
【解析】由题意，当x∈(0,+∞)时，a≤x+ 恒成立，
x
4
设f(x)=x+ ，x>0，
x
√ 4 4
则f(x)≥2 x⋅ =4，当且仅当x= ,x=2时等号成立，
x x
所以f(x) =4，
min
4
故命题“对任意实数x∈(0,+∞)都有x+ ≥a”⇔a≤4.
x
又a≤4⇒a<4，且a<4⇒a≤4，
4
故“对任意实数x∈(0,+∞)都有x+ ≥a”是“a<4”的必要不充分条件.
x
故选：B.
3．设等比数列{a }的前n项和为S ，则“数列{S }为递增数列”是“a >a >a ”的（ ）
n n n 3 2 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令等比数列{a }的公比为q，由a >a >a ，得a q2>a q>a ，则a <0,00,q>1，
n 3 2 1 1 1 1 1 1
由数列{S }为递增数列，得a =S −S >0，即∀n∈N∗，a qn>0，因此a >0,q>0，
n n+1 n+1 n 1 1
所以“数列{S }为递增数列”是“a >a >a ”的既不充分也不必要条件.
n 3 2 1
故选：D
4．（2024·福建·模拟预测）设集合A=¿，若A∩B=∅，则a的取值范围为（ ）
A．(−∞, 5] B．[5, +∞) C．(−∞, 5) D．(5, +∞)
【答案】A
【解析】由题可知，x2−(a+1)x+a<0⇒(x−a)(x−1)<0
当a=1时，(x−a)(x−1)<0无解，得B=∅，此时A∩B=∅；
当a<1时，解(x−a)(x−1)<0，得a1时，解(x−a)(x−1)<0，得11”的（ ）条件.
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】曲线y2=4x与曲线(x−a) 2+ y2=r2有一个或两个公共点，
则对于a>1，r显然存在不限于r2=4a−4的无数组其他解（如：a=2,r取一个充分大的数），故充分性不
成立；
联立：y2=4x与(x−a) 2+ y2=4a−4（a>1），
化简得：x2+(4−2a)x+(a−2) 2=0①，
即[x−(a−2)] 2=0，解得x=a−2，
又x≥0，即a−2≥0，解得a≥2.
所以当且仅当a≥2时，必要性成立，故必要性也不成立；
所以“A∩B中元素个数为1或2”是“r2=4a−4且a>1”的既不充分也不必要条件.故选：D.
7．（2024·北京海淀·二模）设{a }是公比为q(q≠−1)的无穷等比数列，S 为其前n项和，a >0，则“
n n 1
q>0”是“S 存在最小值”的（ ）
n
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若q>0，由a >0，则S −S =a =a qn>0，
1 n+1 n n+1 1
故S 必有最小值S =a ，故“q>0”是“S 存在最小值”的充分条件；
n 1 1 n
[ ( 1) n]
1× 1− −
当a =1，q=− 1 时，有S = 2 = 2 − 2 ⋅ ( − 1) n ，
1 2 n ( 1) 3 3 2
1− −
2
2 2 ( 1) 2 1
则S 有最小值S = − ⋅ − = ，
n 2 3 3 2 2
故“q>0”不是“S 存在最小值”的必要条件；
n
即“q>0”是“S 存在最小值”的充分而不必要条件.
n
故选：A.
8．（2024·河南周口·模拟预测）已知集合M={x|3x−x2≥0}，N={x|(x−a) 2≤4}，若(∁ M)∪N=R，
R
则实数a的取值范围为（ ）
A．[1,2] B．(1,2)
C．(−∞,−2]∪[5,+∞) D．(−∞,−2)∪(5,+∞)
【答案】A
【解析】集合M={x|3x−x2≥0}={x|0≤x≤3}，
N={x|(x−a) 2≤4}={x|a−2≤x≤a+2}，
∁ M =¿或x>3}，因为(∁ M) ∪N=R，
R R
所以¿，解得：1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[1,2].故选：A.
a+b
9．（多选题）（2024·新疆乌鲁木齐·三模）S={x||x|<1}，运算“⊕”为a⊕b= ，则（ ）
1+ab
A．(−a)⊕a=0 B．a⊕b=b⊕a
C．(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) D．若a,b∈S，则a⊕b∈S
【答案】ABCD
(−a)+a
【解析】对于A，(−a)⊕a= =0，故A正确；
1+(−a)×a
b+a a+b
对于B，b⊕a= = =a⊕b，故B正确；
1+ba 1+ab
a+b a+b+c+abc
+c
1+ab 1+ab a+b+c+abc
对于C，(a⊕b)⊕c= = = ，
a+b 1+ab+ac+bc 1+ab+ac+bc
1+ ×c
1+ab 1+ab
b+c a+abc+b+c
a+
1+bc 1+bc a+abc+b+c
a⊕(b⊕c)= = = ，
b+c 1+bc+ab+ac 1+bc+ab+ac
1+a×
1+bc 1+bc
所以(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)，故C正确；
对于D，若a,b∈S，则|a|<1，|b|<1，
| a+b |
要证a⊕b∈S，只需要证 <1，即证|a+b|<|1+ab|，
1+ab
即证(a+b) 2<(1+ab) 2，即证1+a2b2−a2−b2>0，即证(1−a2)(1−b2)>0，
因为|a|<1，|b|<1，所以上式成立，所以a⊕b∈S，故D正确.
故选：ABCD.
10．（多选题）（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（
）A．M={0,2,4,6},N={4}
B．M={x|x2<1},N={x|x>−1}
{ 1 }
C．M={x|y=logx},N= y|y=ex+
ex
D．M={(x,y)|x2= y2},N={(x,y)|y=x}}
【答案】ACD
【解析】由题意可知：集合N是集合M的真子集，
对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确；
对于选项B：因为M={x|x2<1}={x|−10}，
且ex>0，则y=ex+ 1 ≥2 √ ex ⋅ 1 =2，当且仅当ex= 1 ，即x=0时，等号成立，
ex ex ex
{ 1 }
可得N= y|y=ex+ ={y|y≥2}，
ex
可知集合N是集合M的真子集，故C正确；
对于选项D：因为M={(x,y)|x2= y2}={(x,y)|y=x}}∪{(x,y)|y=−x}}，
可知集合N是集合M的真子集，故D正确；
故选：ACD.
11．（多选题）（2024·安徽安庆·三模）已知集合A={x∈Z|x2−2x−8<0}，集合
B={x|9x>3m,m∈R,x∈R}，若A∩B有且仅有3个不同元素，则实数m的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【解析】由x2−2x−8<0，解得−23m，可得x> ，
2
{ m }
B={x|9x>3m,m∈R,x∈R}= x|x> ,m∈R,x∈R ，
2
m
要使A∩B有且仅有3个不同元素，则0≤ <1，解得0≤m<2，
2
故选：AB．
12．（2024·福建宁德·模拟预测）已知命题p:21，记集合A={x∈R|f (x)≤1}，
a
B={x∈R|f (f (x)+b)≤1}，若A=B，则实数a的取值范围为 ．
[√5+1 )
【答案】 ,+∞
2
【解析】
如图，作出函数f (x)=|log x|,a>1的简图.
a
1 1
由f (x)≤1可得|log x|≤1，因a>1，解得 ≤x≤a，即A=[ ,a]，
a a a1 1
由f (f (x)+b)≤1可得 ≤f (x)+b≤a，即 −b≤f (x)≤a−b,
a a
1
因A=B，结合图象，可得：¿，消去b可得， −(a−1)≤0，
a
1+√5
因a>1，即得，a2−a−1≥0，解得a≥
.
2
[√5+1 )
故答案为： ,+∞
2
14．（2024·高三·河北·开学考试）已知P,M,N是三个集合，且满足P={1,2,3,4,5},M⊆P,N⊆P，则
满足条件的有序集合对(M,N)的总数是 .（用数字作答）
【答案】1024
【解析】集合P={1,2,3,4,5}的子集共有25=32个，
因为M⊆P,N⊆P，
所以集合M有32种情况，集合N有32种情况，
所以满足条件的有序集合对(M,N)的总数是C1 ×C1 =32×32=1024.
32 32
故答案为：1024.
