专题 01 集合和常用逻辑用语
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：集合的基本概念.............................................................................................2
题型二：集合间的基本关系.........................................................................................3
题型三：集合的运算.....................................................................................................5
题型四：充分条件与必要条件.....................................................................................8
题型五：全称量词与存在量词...................................................................................10
题型六：以集合为载体的创新题...............................................................................11
02 重难创新练.............................................................................................................13题型一：集合的基本概念
1．下列四个命题正确的个数是（ ）
①{0}是空集；②若a∈N，则−a∉N；③集合{x∈R|x2−2x+1=0}有两个元素；④集合¿是有限集
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【解析】对于①，{0}不是空集，空集中无任何元素，故①错；
对于②，若a∈N，当a=0时，−a∈N，故②错；
对于③，集合{x∈R|x2−2x+1=0}={1}，只有一个元素，故③错；
6
对于④，集合{x∈Q| ∈N}是无限集，故④错；
x
综上，正确的命题有0个.
故选：D.
2．设集合A={x||x+2|≤2}，B={x|x2+2x≤3}，C={x∈Z|x∈A且x∉B}，则集合C=（ ）
A．(−4,−3] B．[−4,−3) C．{−4,−3} D．{−4}
【答案】D
【解析】由题意得，A={x|−4≤x≤0}，B={x|−3≤x≤1}，
因为C={x∈Z|x∈A且x∉B}，所以C={−4}.
故选：D．
3．已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z}，且
a∈P,b∈Q，则（ ）
A．a+b∈M B．a+b∈Q C．a−b∈P D．a⋅b∈Q
【答案】B
【解析】因为a∈P，所以a=2k ,k ∈Z，因为b∈Q，所以b=2k +1,k ∈Z
1 1 2 2
所以a+b=2k +2k +1=2(k +k )+1∈Q，故A错误，B正确；
1 2 1. 2
所以a−b=2k −2k −1=2(k −k −1)+1∈Q，故C错误；
1 2 1. 2
所以a⋅b=2k ⋅(2k +1)=2(2k k +k )∈P，故D错误；
1 2 1 2 1故选：B．
1
4．已知集合A={z|z=in+ , n∈N∗}，则A的元素个数为（ ）
in
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
1 1
【解析】当n=1时，z=i+ =i−i=0，当n=2时，z=i2+ =−1−1=−2，
i i2
1 1 1
当n=3时，z=i3+ =−i− =0，当n=4时，z=i4+ =1+1=2，
i3 i i4
1 1 1 1
当n=5时，z=i5+ =i+ =i−i=0，当n=6时，z=i6+ =i2+ =−1−1=−2，
i5 i i6 i2
1 1 1 1 1
当n=7时，z=i7+ =i3+ =−i− =0，当n=8时，z=i8+ =i4+ =1+1=2，
i7 i3 i i8 i4
⋯，可知以上四种情况循环，故集合A={0,−2,2}，A的元素个数为3.
故选：C
5．已知B⊆A，其中集合A={m+2,1,4}，B={m2,1}，则实数m的值为（ ）
A．－1 B．－2或0 C．－2 D．2
【答案】C
【解析】根据集合中元素的互异性可得m2≠1，m+2≠1，m+2≠4，所以m≠±1且m≠2，
根据B⊆A可得m2∈A，结合集合中元素的无序性得m2=4或m2=m+2，
于是可得m=±2或m=−1，所以m=−2.
故选：C．
题型二：集合间的基本关系
6．已知集合A={x∣x2−3x+2=0},B={x∣(x−2)(ax−2)=0}，若A∪B=A，则实数a的值不可以为
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．−1
【答案】D
【解析】对于方程x2−3x+2=0，分解因式可得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或者x=2，2
所以A={1,2}.对于方程(x−2)(ax−2)=0，其解为x=2或者x= (a≠0).
a
因为A∪B=A，这意味着B⊆A.
当a=0时，方程(x−2)(ax−2)=0变为(x−2)(−2)=0，此时B={2}，满足B⊆A.
2
当a=1时，x= =2，此时B={2}，满足B⊆A.
a
2
当a≠0且a≠1时，B={2, }.
a
2
因为B⊆A，所以 =1，解得a=2，此时B={1,2}，满足B⊆A.
a
综上，实数a的值可以为0、1、2，所以实数a的值不可以为除0、1、2之外的值.
故选：D.
7．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x<0},B＝{x|2x>1}，则（ ）
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝A C．A⊆B D．B⊆A
【答案】C
【解析】A＝{x|x2−2x<0}={x|0<x<2}，
B＝{x|2x>1}={x|x>0}，
故A⊆B.
故选：C
8．设集合A={0,3a}，B={−1,2+a,2−2a}，若A⊆B，则a=（ ）
A．2 B．−1 C．1 D．−2
【答案】C
【解析】因为A⊆B，所以0∈B.
所以2+a=0或2−2a=0.
若2+a=0 ⇒ a=−2，此时A={0,−6}，B={−1,0,6}，A⊆B不成立，故a=−2不合题意；
若2−2a=0 ⇒ a=1，此时A={0,3}，B={−1,0,3}，A⊆B成立.
故a=1.
故选：C
9．设集合A=¿，若B⊆A，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−6] B．(−∞,−2] C．[3,+∞) D．[6,+∞)
【答案】A( a)
【解析】由题可知A=(−∞,−3]∪[3,+∞),B= −∞, ，
2
a
由B⊆A，可得 ≤−3，
2
所以a≤−6．
故选：A.
10．已知M,N为全集U的非空真子集，且M,N不相等，若(∁ M)∪N=U，则（ ）
U
A．N⊆M B．M∪N=N
C．(∁ M)∩N=∅ D．M∪(∁ N)=U
U U
【答案】B
【解析】因为(∁ M)∪N=U，等价于∁ N⊆∁ M，等价于M⊆N，
U U U
且M,N不相等，可知集合M是集合N的真子集，故A错误；
且M∪N=N，故B正确；
据此作出韦恩图，
可知(∁ M)∩N≠∅，M∪(∁ N)≠U，故CD错误；
U U
故选：B.
题型三：集合的运算
11．（多选题）已知集合A={x|1<x<4}，B={x|x2−(a+1)x+a<0}，则下列命题中正确的是（ ）
A．若A∪B=B，则a≥4
B．若A∪B=A，则1≤a≤4
C．若B∩A=B，则1<a<4D．若A∩B=∅，则a<1
【答案】AB
【解析】B={x|x2−(a+1)x+a<0}={x|(x−1)(x−a)<0}.
∴当a>1时，B={x|1<x<a}；
当a=1时，B=∅；
当a<1时，B={x|a<x<1}.
对于选项A，若A∪B=B，则A⊆B，∴a≥4，故正确.
对于选项B，若A∪B=A，则B⊆A，故1≤a≤4，故正确.
对于选项C，若B∩A=B，则B⊆A，故1≤a≤4，故错误.
对于选项D，若A∩B=∅，则a≤1，故错误.
故选：AB.
πx 1 πx 1
12．（多选题）设集合M={x|cos = }，N={x|cos =− }，则（ ）
3 2 3 2
A．6k∈(M∪N),k∈Z B．6k+1∈(M∪N),k∈Z
C．6k+3∈∁ (M∪N),k∈Z D．3k∈∁ (M∪N),k∈Z
Z z
【答案】BCD
πx 1 πx π
【解析】对集合M，由cos = ，得 =± +2kπ,k∈Z，解得x=6k±1,k∈Z，即
3 2 3 3
M={x|x=6k±1,k∈Z}；
πx 1 πx 2π
对集合N，由cos =− ，得 =± +2kπ,k∈Z，解得x=6k±2，k∈Z，即
3 2 3 3
N={x|x=6k±2,k∈Z}．
所以M∪N={x|x=6k±1或x=6k±2,k∈Z}，A错误，B正确，
∁
(M∪N)={x|x=6k或x=6k±3,k∈Z} ={x|x=3k,k∈Z}，C，D正确．
Z
故选：BCD
13．设全集U=R，集合A=¿，B=¿，则A∩(∁ B)= ．
U
【答案】[2,4]
【解析】因为B=¿，
所以∁ B=¿，
U所以A∩(∁ B)=[2,4]
U
故答案为：[2,4]
14．某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每
道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，
有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b
与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是 ；该班的平均成绩是 ．
【答案】 4 42
【解析】设x 、x 、x 分别表示答对题a，题b，题c的人数，
a b c
则有¿，
解得x =17，x =12，x =8；
a b c
∴答对一题的人数为37−1×3−2×15=4，
全班人数为1+4+15=20；
1
平均成绩为 ×(17×20+12×25+8×25)=42．
20
故答案为：4；42．
15．已知U=R，A=¿，B=¿，则(∁ A)∪B= ．
U
【答案】(−2,+∞)
【解析】由题意可得A=¿或x≥1}=¿，
B=¿，所以∁ A=(−2,1)，所以(∁ A)∪B=(−2,+∞)．
U U
故答案为：(−2,+∞).
16．已知集合P=¿，Q=¿，若P∪Q=R，则实数a的取值范围是 ，若P∩Q=Q，则实数a的取值
范围是 .
【答案】 (−∞,−2] (4,+∞)
【解析】P=¿，Q=¿，
若P∪Q=R则a≤−2，
若P∩Q=Q，则P⊇Q,所以a>4.
故答案为：(−∞,−2]，(4,+∞).
{1}
17．已知集合A={2,2m}，B={m,n}(m,n∈R)，且A∩B= ，则A∪B= .
4{ 1 }
【答案】 −2, ,2
4
{1} 1 1
【解析】因为A={2,2m}，B={m,n}(m,n∈R)，A∩B= ，所以 ∈A, ∈B，
4 4 4
1 1
得2m= ，解得m=−2，故n= ，
4 4
{ 1} { 1}
所以A= 2, ，B= −2, .
4 4
{ 1 }
所以A∪B= −2, ,2
4
{ 1 }
故答案为： −2, ,2 .
4
题型四：充分条件与必要条件
18． “a=2”是“直线l :2ax+4 y+3=0与直线l :(a−1) 2x+ y−5=0平行”的（ ）
1 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
1
【解析】若l //l ，则2a−4(a−1) 2=0，解得a=2或a= ，
1 2 2
所以由a=2可以得到l //l ，反之则不然，
1 2
故“a=2”是“l //l ”的充分不必要条件.
1 2
故选：A.
19． “0<x<2”是“−1<x<3”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】0<x<2时，一定有−1<x<3，满足充分性，
但−1<x<3时，如x=2.5，不满足0<x<2，即不满足必要性，
“0<x<2”是“−1<x<3”的为充分不必要条件．
故选：A．{ x−2 }
20．已知集合A={x|log x<m},B= x| ≤1 ，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则
2 x−4
实数m的取值范围是 .
【答案】(−∞,2]
【解析】由log x<m ⇒ 0<x<2m.所以A=(0,2m)；
2
x−2 x−2 x−2−x+4 2
由 ≤1 ⇒ −1≤0 ⇒ ≤0 ⇒ ≤0 ⇒ x<4.所以B=(−∞,4).
x−4 x−4 x−4 x−4
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B且A≠B.
所以2m≤4 ⇒ m≤2.
故答案为：(−∞,2]
21．已知命题p：函数f(x)=x−m2+m在区间(0,+∞)上单调递增，命题q：m<a，若p是q的充分不必要条
件，则a的取值范围是 .
【答案】[1,+∞)
【解析】因为函数f(x)=x−m2+m在区间(0,+∞)上单调递增，所以−m2+m>0，解得：0<m<1，又因为p
是q的充分不必要条件，则(0,1)是(−∞,a)的真子集，即a的取值范围是[1,+∞)
故答案为：[1,+∞)
22．若不等式 |x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是 2≤x≤3，则实数 a的取值范围为
【答案】[−5,0]
【解析】由|x+a|≤3⇒−3−a≤x≤3−a，
因为不等式 |x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是 2≤x≤3，
所以有¿，等号不同时成立，解得−5≤a≤0.
故答案为：[−5,0]
23．设A，B，C，D是四个命题，A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必
要条件，那么D是C的 条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）
【答案】充分不必要
【解析】因为A是B的必要不充分条件，所以B⇒A，但A⇒ B，
A是C的充分不必要条件，所以A⇒C，但C⇒A，
D是B的充分必要条件，所以D⇒B，但B⇒D，
所以D⇒B⇒A⇒C，但C⇒D，故D是C的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
题型五：全称量词与存在量词
24．已知命题p:∃x∈(−1, 2)，ex−x−3<0，则p的否定是（ ）
A．∀x∈(−1, 2), ex−x−3≥0 B．∃x∈(−1, 2), ex−x−3≥0
C．∀x∈∉(−1, 2), ex−x−3<0 D．∃x∉(−1, 2), ex−x−3<0
【答案】A
【解析】命题p:∃x∈(−1, 2)，ex−x−3<0，是存在量词命题，
所以p的否定是：∀x∈(−1, 2), ex−x−3≥0.
故选：A
25．命题“∀x∈[1,2],2x+x−a>0”为假命题，则实数a的范围为 ．
【答案】[3,+∞)
【解析】命题“∀x∈[1,2],2x+x−a>0”为假命题，可命题“∃x∈[1,2],2x+x−a≤0”为真命题，
即不等式a≥2x+x在x∈[1,2]上有解，
设函数f (x)=2x+x,x∈[1,2]，可得函数f (x)在[1,2]为单调递增函数，
所以，当x=1时，函数f (x)取得最小值，最小值为f (1)=3，所以a≥3，
即实数a的取值范围为[3,+∞).
故答案为：[3,+∞).
26．已知函数f (x)=2ax2−ax−1，a∈R.若命题“∀x∈R，不等式f (x)<0恒成立”是假命题，则实
数a的取值范围 .
【答案】(−∞,−8]∪(0,+∞)
【解析】当f (x)=2ax2−ax−1<0恒成立，
当a≠0时，a<0且Δ=a2+8a<0，
解得：−8<a<0，
当a=0时,f (x)=−1<0成立，
所以−8<a≤0，
命题“∀x∈R，不等式f(x)<0恒成立”是假命题所以a的取值范围为：a≤−8或a>0．
故答案为：(−∞,−8]∪(0,+∞)
27．命题p：存在m∈[−1,1]，使得函数f (x)=x2−2mx在区间[a,+∞)内单调，若p的否定为真命题，则
a的取值范围是 .
【答案】(−∞,−1)
【解析】命题p的否定为：任意m∈[−1,1]，使得函数f(x)=x2−2mx在区间[a,+∞)内不单调，
由函数f(x)=x2−2mx在(−∞,m)上单调递减，在(m,+∞)上单调递增，
则a<m，而m∈[−1,1]，
得a<−1，
故答案为：(−∞,−1)
28．已知命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值： .
【答案】−1（答案不唯一）
【解析】由命题p：∃x∈R，x2+2mx+3≤0为假命题，
则−x2+2mx+3>0恒成立，
得Δ=4m2−4×3<0，解得−√3<m<√3，
所以整数m的值可为−1，0，1（答案不唯一）．
故答案为：−1（答案不唯一）.
题型六：以集合为载体的创新题
29． A=¿，若定义A⊕B=¿，则A⊕B中的元素有 个．
【答案】14
【解析】因为A={i,1},B={−1,0,1,−1+i,i，1+i,−1−i,−i,1−i}，
所以A⊕B={−1+i,i,1+i，−1+2i,2i,1+2i,−1,0,1,2,2+i,−i,1−i,2−i}，
A⊕B共14个元素.
故答案为：14
30．已知全集U={(x,y)|x,y∈R}，若集合A⊆U，且对任意(x ,y )∈A，均存在(x ,y )∈A，使
1 1 2 2
得：x y +x y =0，则称集合A为“对称对点集”.给出如下集合：
1 2 2 1{ 1 }
（1）A={(x,y)|x,y∈Z}； （2）A= (x,y)|y= ,x∈R,x≠0 ；
x
（3）A={(x,y)|y=2x+1,x∈R}； （4）A={(x,y)|y=x2,x∈R,x≠0}.
其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号）
【答案】（1）（4）
【解析】对于（1），显然A⊆U，且对任意(x ,y )∈A，取x =−x ,y = y ，此时(x ,y )∈A，
1 1 2 1 2 1 2 2
且x y +x y =x y −x y =0，故（1）符合题意；
1 2 2 1 1 1 1 1
对于（2），若(x ,y )∈A，(x ,y )∈A，则(x y )⋅(x y )=(x y )⋅(x y )=1⋅1=1>0，
1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2
所以x y 与x y 同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意；
1 2 2 1
1 ( 1) 1
对于（3），若(x ,y )∈A，(x ,y )∈A，而当x =− 时，y =2× − +1= ，
1 1 2 2 1 4 1 4 2
此时如果有x y +x y =0，就意味着y −2x =0，但事实上y =2x +1≠2x ，故（3）不符合题意；
1 2 2 1 2 2 2 2 2
对于（4），显然A⊆U，且对任意(x ,y )∈A，即y =x2，取x =−x ,y = y ，
1 1 1 1 2 1 2 1
此时有y =x2 ，即(x ,y )∈A，且满足x y +x y =x y −x y =0，故（4）符合题意.
2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1
故答案为：（1）（4）.
31．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集A ，
1
A ,⋯,A (k∈N*)，且A ∪A ∪⋯∪A =U，那么称子集族{A ,A ,⋯,A }构成集合U的一个k划
2 k 1 2 k 1 2 k
分.已知集合I={x∈N∣x2−6x+5<0}，则集合I的所有划分的个数为 .
【答案】4
【解析】依题意，I={x∈N|x2−6x+5<0}={x∈N∣1<x<5}={2,3,4}，
I的2划分为{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}}，共3个，
I的3划分为{{2},{3},{4}}，共1个，
故集合I的所有划分的个数为4.
故答案为：432．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集
A ,A ,⋯,A (k∈N∗,k≥2)，且A ∪A ∪⋯∪A =U，那么称无序子集组A ,A ,⋯,A 构成集合
1 2 k 1 2 k 1 2 k
{ x−1 }
U的一个k划分．已知集合I= x∈N| ≤0 ，则集合I的所有划分的个数为 ．
x−6
【答案】51
【解析】由题意得，I={x∈N|1≤x<6}={1,2,3,4,5}，共有5个元素，
C1C1+C2C2
则2划分有C1+C2=15个，3划分有 5 4 5 3 =25个，4划分有C2=10个，
5 5 2 5
5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．
故答案为；51
33．考虑¿的非空子集B，满足B中的元素个数等于B中的最小元素，例如，B={4,6,8,11}就满足此条件.
则这样的子集B共有 个.
【答案】144
【解析】由题意，0∉B，且集合B中的最小元素不能大于6，
当集合B中的最小元素1时，这个的集合B只有{1}这1个，
当集合B中的最小元素2时，这个的集合B有C1 =10个，
10
当集合B中的最小元素3时，这个的集合B有C2=36个，
9
当集合B中的最小元素4时，这个的集合B有C3=56个，
8
当集合B中的最小元素5时，这个的集合B有C4=35个，
7
当集合B中的最小元素6时，这个的集合B有C5=6个，
6
所以满足题意的子集B共有1+10+36+56+35+6=144个.
故答案为：144.
34．对于非空集合A={a ,a ,a ,⋯,a }(a ≥0,i=1,2,3,⋯n)，其所有元素的几何平均数记为E(A)，即
1 2 3 n i
E(A)=√n a ⋅a ⋅⋯⋅a ．若非空数集B满足下列两个条件：①BA；②E(B)=E(A)，则称B为A的一个
1 2 n“保均值真子集”，据此，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有 个．
【答案】6
【解析】因为集合A={1,2,4,8,16}，则E(A)=√51×2×4×8×16=4，
所以，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有：{4}、{1,16}、{2,8}、{1,4,16}、
{2,4,8}，{1,2,8,16}，共6个.
故答案为：6.
1．（2024·湖南衡阳·一模）已知集合A={y|y=lg(x2−x−2)}，B={x|y=√x2−x+2}，则A∩B=
（ ）
3
A．(−1,2) B．[ ,+∞) C．(0,+∞) D．R
2
【答案】D
【解析】A={y|y=lg(x2−x−2)}为函数y=lg(x2−x−2)的值域，
令t=x2−x−2>0⇒x>2或x<−1，t∈(0,+∞)⇒y=lgt⇒y∈R，
B={x|y=√x2−x+2}为函数y=√x2−x+2的定义域，
√ 1 2 7 1 2 7 7
即y= (x− ) + ，因为(x− ) + ≥ ，所以函数y=√x2−x+2定义域为R，
2 4 2 4 4
故A∩B=R，
故选：D.
4
2． “对任意实数x∈(0,+∞)都有x+ ≥a”是“a<4”的（ ）．
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B4
【解析】由题意，当x∈(0,+∞)时，a≤x+ 恒成立，
x
4
设f(x)=x+ ，x>0，
x
√ 4 4
则f(x)≥2 x⋅ =4，当且仅当x= ,x=2时等号成立，
x x
所以f(x) =4，
min
4
故命题“对任意实数x∈(0,+∞)都有x+ ≥a”⇔a≤4.
x
又a≤4⇒a<4，且a<4⇒a≤4，
4
故“对任意实数x∈(0,+∞)都有x+ ≥a”是“a<4”的必要不充分条件.
x
故选：B.
3．设等比数列{a }的前n项和为S ，则“数列{S }为递增数列”是“a >a >a ”的（ ）
n n n 3 2 1
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令等比数列{a }的公比为q，由a >a >a ，得a q2>a q>a ，则a <0,0<q<1或a >0,q>1，
n 3 2 1 1 1 1 1 1
由数列{S }为递增数列，得a =S −S >0，即∀n∈N∗，a qn>0，因此a >0,q>0，
n n+1 n+1 n 1 1
所以“数列{S }为递增数列”是“a >a >a ”的既不充分也不必要条件.
n 3 2 1
故选：D
4．（2024·福建·模拟预测）设集合A=¿，若A∩B=∅，则a的取值范围为（ ）
A．(−∞, 5] B．[5, +∞) C．(−∞, 5) D．(5, +∞)
【答案】A
【解析】由题可知，x2−(a+1)x+a<0⇒(x−a)(x−1)<0
当a=1时，(x−a)(x−1)<0无解，得B=∅，此时A∩B=∅；
当a<1时，解(x−a)(x−1)<0，得a<x<1，此时B=(a,1)，A∩B=∅；
当a>1时，解(x−a)(x−1)<0，得1<x<a，此时B=(1,a)，要使A∩B=∅，则1<a≤5；
综上所述，a≤5.故选：A
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知向量集合M={⃗a|⃗a=(3,4)+λ(1,2),λ∈R}，
N={⃗a|⃗a=(4,5)+λ(−2,−2),λ∈R}，则M∩N=（ ）
A．{(4,5)} B．{(3,4),(4,5)} C．{(3,4)} D．∅
【答案】C
{⃗|⃗ }
【解析】设M= a a=(3,4)+λ (1,2),λ∈R ={(3+λ ，4+2λ )} ，
1 1 1
{⃗|⃗ }
N= a a=(4,5)+λ (−2,−2),λ ∈R ={(4−2λ ,5−2λ )} ，
2 2 2 2
令¿，解得¿.
故M∩N={(3,4)}.
故选：C.
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A=¿，B={(x,y)|(x−a) 2+ y2=r2 }，则：“A∩B中元素个
数为1或2”是“r2=4a−4且a>1”的（ ）条件.
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】D
【解析】曲线y2=4x与曲线(x−a) 2+ y2=r2有一个或两个公共点，
则对于a>1，r显然存在不限于r2=4a−4的无数组其他解（如：a=2,r取一个充分大的数），故充分性不
成立；
联立：y2=4x与(x−a) 2+ y2=4a−4（a>1），
化简得：x2+(4−2a)x+(a−2) 2=0①，
即[x−(a−2)] 2=0，解得x=a−2，
又x≥0，即a−2≥0，解得a≥2.
所以当且仅当a≥2时，必要性成立，故必要性也不成立；
所以“A∩B中元素个数为1或2”是“r2=4a−4且a>1”的既不充分也不必要条件.故选：D.
7．（2024·北京海淀·二模）设{a }是公比为q(q≠−1)的无穷等比数列，S 为其前n项和，a >0，则“
n n 1
q>0”是“S 存在最小值”的（ ）
n
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若q>0，由a >0，则S −S =a =a qn>0，
1 n+1 n n+1 1
故S 必有最小值S =a ，故“q>0”是“S 存在最小值”的充分条件；
n 1 1 n
[ ( 1) n]
1× 1− −
当a =1，q=− 1 时，有S = 2 = 2 − 2 ⋅ ( − 1) n ，
1 2 n ( 1) 3 3 2
1− −
2
2 2 ( 1) 2 1
则S 有最小值S = − ⋅ − = ，
n 2 3 3 2 2
故“q>0”不是“S 存在最小值”的必要条件；
n
即“q>0”是“S 存在最小值”的充分而不必要条件.
n
故选：A.
8．（2024·河南周口·模拟预测）已知集合M={x|3x−x2≥0}，N={x|(x−a) 2≤4}，若(∁ M)∪N=R，
R
则实数a的取值范围为（ ）
A．[1,2] B．(1,2)
C．(−∞,−2]∪[5,+∞) D．(−∞,−2)∪(5,+∞)
【答案】A
【解析】集合M={x|3x−x2≥0}={x|0≤x≤3}，
N={x|(x−a) 2≤4}={x|a−2≤x≤a+2}，
∁ M =¿或x>3}，因为(∁ M) ∪N=R，
R R
所以¿，解得：1≤a≤2.
故实数a的取值范围为[1,2].故选：A.
a+b
9．（多选题）（2024·新疆乌鲁木齐·三模）S={x||x|<1}，运算“⊕”为a⊕b= ，则（ ）
1+ab
A．(−a)⊕a=0 B．a⊕b=b⊕a
C．(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c) D．若a,b∈S，则a⊕b∈S
【答案】ABCD
(−a)+a
【解析】对于A，(−a)⊕a= =0，故A正确；
1+(−a)×a
b+a a+b
对于B，b⊕a= = =a⊕b，故B正确；
1+ba 1+ab
a+b a+b+c+abc
+c
1+ab 1+ab a+b+c+abc
对于C，(a⊕b)⊕c= = = ，
a+b 1+ab+ac+bc 1+ab+ac+bc
1+ ×c
1+ab 1+ab
b+c a+abc+b+c
a+
1+bc 1+bc a+abc+b+c
a⊕(b⊕c)= = = ，
b+c 1+bc+ab+ac 1+bc+ab+ac
1+a×
1+bc 1+bc
所以(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)，故C正确；
对于D，若a,b∈S，则|a|<1，|b|<1，
| a+b |
要证a⊕b∈S，只需要证 <1，即证|a+b|<|1+ab|，
1+ab
即证(a+b) 2<(1+ab) 2，即证1+a2b2−a2−b2>0，即证(1−a2)(1−b2)>0，
因为|a|<1，|b|<1，所以上式成立，所以a⊕b∈S，故D正确.
故选：ABCD.
10．（多选题）（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（
）A．M={0,2,4,6},N={4}
B．M={x|x2<1},N={x|x>−1}
{ 1 }
C．M={x|y=logx},N= y|y=ex+
ex
D．M={(x,y)|x2= y2},N={(x,y)|y=x}}
【答案】ACD
【解析】由题意可知：集合N是集合M的真子集，
对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确；
对于选项B：因为M={x|x2<1}={x|−1<x<1}，
可知集合M是集合N的真子集，故B错误；
对于选项C：因为M={x|y=logx}={x|x>0}，
且ex>0，则y=ex+ 1 ≥2 √ ex ⋅ 1 =2，当且仅当ex= 1 ，即x=0时，等号成立，
ex ex ex
{ 1 }
可得N= y|y=ex+ ={y|y≥2}，
ex
可知集合N是集合M的真子集，故C正确；
对于选项D：因为M={(x,y)|x2= y2}={(x,y)|y=x}}∪{(x,y)|y=−x}}，
可知集合N是集合M的真子集，故D正确；
故选：ACD.
11．（多选题）（2024·安徽安庆·三模）已知集合A={x∈Z|x2−2x−8<0}，集合
B={x|9x>3m,m∈R,x∈R}，若A∩B有且仅有3个不同元素，则实数m的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【解析】由x2−2x−8<0，解得−2<x<4，
故A={x∈Z|x2−2x−8<0}={−1,0,1,2,3}，m
由9x>3m，可得x> ，
2
{ m }
B={x|9x>3m,m∈R,x∈R}= x|x> ,m∈R,x∈R ，
2
m
要使A∩B有且仅有3个不同元素，则0≤ <1，解得0≤m<2，
2
故选：AB．
12．（2024·福建宁德·模拟预测）已知命题p:2<x<3，命题q:|2x−a|<2，若命题¬q是命题¬p的充分
不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[4,6]
a−2 a+2
【解析】由|2x−a|<2，可得 <x< ，
2 2
由于命题¬q是命题¬p的充分不必要条，故命题p是命题q的充分不必要条件，
故¿¿
所以¿（等号不能同时成立），可得4≤a≤6，
即实数a的取值范围是[4,6]．
故答案为：[4,6]．
13．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知f (x)=|log x|，a>1，记集合A={x∈R|f (x)≤1}，
a
B={x∈R|f (f (x)+b)≤1}，若A=B，则实数a的取值范围为 ．
[√5+1 )
【答案】 ,+∞
2
【解析】
如图，作出函数f (x)=|log x|,a>1的简图.
a
1 1
由f (x)≤1可得|log x|≤1，因a>1，解得 ≤x≤a，即A=[ ,a]，
a a a1 1
由f (f (x)+b)≤1可得 ≤f (x)+b≤a，即 −b≤f (x)≤a−b,
a a
1
因A=B，结合图象，可得：¿，消去b可得， −(a−1)≤0，
a
1+√5
因a>1，即得，a2−a−1≥0，解得a≥
.
2
[√5+1 )
故答案为： ,+∞
2
14．（2024·高三·河北·开学考试）已知P,M,N是三个集合，且满足P={1,2,3,4,5},M⊆P,N⊆P，则
满足条件的有序集合对(M,N)的总数是 .（用数字作答）
【答案】1024
【解析】集合P={1,2,3,4,5}的子集共有25=32个，
因为M⊆P,N⊆P，
所以集合M有32种情况，集合N有32种情况，
所以满足条件的有序集合对(M,N)的总数是C1 ×C1 =32×32=1024.
32 32
故答案为：1024.
