文档内容
专题 04 实际问题与二次函数重难点题型专训
（1个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）
题型一 利用二次函数求图形问题
题型二 利用二次函数求图形运动问题
题型三 利用二次函数求拱桥问题
题型四 利用二次函数求销售问题
题型五 利用二次函数求投球问题
题型六 利用二次函数求喷水问题
题型七 利用二次函数求增长率问题
题型八 二次函数综合应用--面积问题
题型九 二次函数综合应用--线段周长问题
题型十 二次函数综合应用--角度问题
题型十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题
题型十二 二次函数综合应用--特殊四边形
拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）
拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等）
拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题
知识点一：二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系
(即函数关系)。
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。
6.写出答案。
【即时训练】
1．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之
间的函数关系式．
2．（24-25九年级上·全国·期中）某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多
少时利润最大？求最大利润．
【经典例题一 利用二次函数求图形问题】
【例1】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知矩形周长为 ，设这个矩形的一边长为 ，面积
为
(1)求 与 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，求 的值．
1．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）小明受二次函数 的图象启发，为某葡萄酒大赛设
计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若 ， ，则杯子的高CE为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
2．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）有6 长的铝合金材料，做成“日”字形窗框（不考虑材
料加工时的损耗），如图所示，则做成的窗框的最大采光面积是 ．3．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图1，现有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长
度为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 为 ，面积为
(1)请你用含x的代数式表示花圃面积S，并确定x的取值范围；
(2)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 边上用其他材料造了宽为 的两个小门，此时花圃
的面积刚好为 ，求此时花圃的宽 的长．
4．（25-26九年级上·山西·阶段练习）在一次劳动课中，老师准备了一些长为 、宽为 的长方形
硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如
图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为 的正方形，再在中间裁掉一块正方形 ，再分
别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 ．
(1)求制作的无盖纸盒的底面的边 的长；
(2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位： ）与x（单位： ）之间的函数关系式，并求出当x的值为5
时，单个无盖纸盒的体积y的值．【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】
【例2】（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，在 中， ，动点
P以 的速度从A向B移动（不与B重合），动点Q以 的速度从B向C移动，（不与C重合），
若P、Q同时出发，试问经过几秒后，四边形 的面积最小？并求出最小值.
1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）如图，在 中， ， ，正方形 的
边 与 在同一条直线上， ，将 沿 平移，当点 与点 重合时，停止平移．设点 平
移的距离为 与正方形 重合部分的面积为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ）
A． B．C． D．
2．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线 与函数 的图象在第一象限交点的横坐标
为4，点 在抛物线上，点 在正比例函数的图象上，当 时， 的最大值为
．
3．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在 中， ， ，点P从点
A出发，以 的速度沿折线 运动，同时点Q从点B出发，以 的速度沿线段 运动．
当点P到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为 ， 的面积为 ．
(1)请直接写出 与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出 的函数图象，并写出这个函数的一条性质；
(3)若 与x的函数图象与直线 有两个交点，则n的取值范围是______．4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在 中， ， ．点P以1cm/s的
速度从点A出发沿 匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（ ）的速度从点B出发沿 匀速运动到
C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s）， 的面积为S（ ）．当点Q
在 上运动时，S与t的函数图象如图2所示．
(1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象；
(2)求出当时间t在什么范围内变化时， 的面积为S（ ）的值不小于 ．
【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】
【例3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平
面直角坐标系，其中 是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度 是 时，求这时水面宽度 ．1．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，如果水
面下降 ，那么水面宽度增加（ ）m．
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·福建·阶段练习）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所
示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点 ， ， ， ）
四个大字，要求 与地面平行，且 ，抛物线最高点的五角星（点 ）到 的距离为 ，
， ，如图2所示，则点 到 的距离为 ．
3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度 为
，水位上升 ，就达到警戒水位，这时水面宽度 为 ．
(1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式；
(2)若洪水到来时，水位以每天 的速度上升，求水过警戒水位 后几天淹到桥的拱顶；
(3)在正常水位的基础上，当水位上升 时，桥下水面的宽度为 ，求出用n表示为l的函数解析式．4．（2025·陕西·模拟预测）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 ，左、右门洞 ， 均
呈抛物线型，水平横梁 ， 的最高点 到 的距离 ， ， 关于 所在直线对称．
， ， 为框架，点 ， 在 上，点 ， 分别在 ， 上， ， ，
．以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)已知抛物线 的函数表达式为 ， ，求 的长．
【经典例题四 利用二次函数求销售问题】
【例4】（24-25九年级上·四川泸州·期末）古蔺县某乡镇在乡村振兴实施过程中，帮助农户承包了荒山种
植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元每个，投入市场销售时，如果按每个10元出售，
那么每天可销售100个，经调查市场行情，发现该蜜柚销售单价每提高1元，其销售量相应减少10个．将
销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价
为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布
降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（ ）A． B．
C． D．
2．（2025·山西运城·模拟预测）一种商品在原售价的基础上涨价销售，每件的利润y（元）与每件上涨的
价格x（元）的函数关系如图1，日销售数量z（件）与每件上涨的价格x（元）的函数关系如图2．则日销
售的最大利润为 元．
3．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天
销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？
(3)若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
4．（25-26九年级上·天津·阶段练习）（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”
的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11
月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
（2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价
措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天
就可多售出2件．①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润
最大值．
【经典例题五 利用二次函数求投球问题】
【例5】（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）对于一个竖直向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，
大致满足这样的关系式： ，其中 是物体距离地面的高度， 是初速度， 是抛出后
所经历的时间．如果将一个小球从地面以 的初速度竖直向上抛出，小球何时能达到10m高？
1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时
间 （单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 ；
②小球运动的高度可以是25m；
③小球运动 时的高度大于运动 时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，
发现实心球飞行高度 （米）与水平距离 （米）之间的关系式为 ，由此可知小童此次
实心球训练的成绩为 米．3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一名运动员第一次在距离篮圈中心 （水平距离）远处跳起投
篮，篮球在空中运行的路线为一条抛物线 球出手点 距离地面 ，在与运动员水平距离为 的空中到
达最大高度 ，篮圈中心点 距离地面约 ，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运行路线所在抛物线的解析式．
(2)该运动员此次投篮篮球未经过篮圈中心，请你通过计算说明理由．
(3)该运动员在相同位置再次运球准备投篮时，吸引到对方防守人员前来拦截，该运动员立即运球后撤、跳
起投篮，篮球经过篮圈中心 若该运动员在第二次投篮时的出球高度、角度和力度都与第一次一样，求他
后撤的距离．（结果保留根号）
4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）发石车，古称“砲”，是中国古代战争中极具代表性的远程攻
击武器，它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学
视角下，发石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，我们可通过建立平面直角坐标
系，结合抛物线性质分析其运动规律．
如图1所示，某发石车置于山坡底部的 处，现以 为原点，水平方向为 轴、竖直方向为 轴，建立如
图2所示的平面直角坐标系．已知石块从 点发射后，运动轨迹为抛物线的一部分，当石块距离发射点
的水平距离为6米时，达到最大飞行高度12米；山坡上有一点A，A与 的水平距离为9米，且 到地面
（ 轴）的竖直距离为6米；在点 处建有一堵防御墙 ，防御墙的竖直高度为5米．请解决以下问题：
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙 ；(3)在竖直方向上，石块飞行时与坡面 的最大距离是_______________米．
【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】
【例6】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装
置 ，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线
表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是
，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．
1．（24-25九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影
部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示 ），
假山轮廓所在的抛物线的解析式为 ，其中 垂直于水平地面 ，在点B处
安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线 ，落水点恰好为点C．下列说法不一
定正确的是（ ）
A．假山上的点B到水平地面的距离为B．水平方向上 的长度为
C．
D．抛物线 与 的对称轴相同
2．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上
高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱
的最高点为P， ， ，水嘴高 ，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离 是
m．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）某市为保障绿化带新植苗木的生长需求，利用洒水车给绿化带洒水，已知
洒水车的喷水口A距离地面的高度为 ，从A口喷出的水流可近似看作抛物线的一部分，当喷出的水流
距喷水口A水平距离为 时，此时水流到地面的高度最大为 ．已知绿化带顶部B的平均高度为 ，
从A口喷出的水流恰好落在绿化带顶部B处，如图，线段 表示水平地面，以 所在直线为x轴，垂直
于 且过点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求喷水口喷出的水流所在抛物线的函数表达式；
(2)已知该绿化带的宽度 为 （ 轴），为使整个绿化带能得到充分浇灌，需对洒水车进行改
装，将喷水口调整为上下移动式，假设洒水车喷出的水流的形状、方向均不变，要使改动后水流能落在绿
化带外侧点C处，求喷水口移动的距离．
4．（2025·河南信阳·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范
围，他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为 ，到地面的竖直高度记为 ，得到测量数据如下：
根据以上数据，完成下列问题．
(1)测量数据中，哪一组是错误的？（ ）
A． B． C． D． E．
(2)以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点重新标出，并用平滑的曲线画出
函数图象；
求图象所在抛物线的函数表达式．
(3)若测得此圆形草坪的直径为 ，试通过计算说明草坪边缘处是否能恰好喷洒到水．若不能，则可以在
不改变抛物线顶点位置的情况下，将喷水口向上调整多高来实现？
【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】
【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为 元，如果每
次涨价的百分率都是 ，求 关于 的函数关系式．
1．（24-25九年级上·全国·课后作业）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次
降价，设平均每次降价的百分率为 ，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（ ）
A． B． C． D．2．（24-25九年级上·全国·单元测试）某厂加工一种产品，现在的年产量是 万件，计划今后两年增加产
量．如果每年的增长率都为 ，那么两年后这种产品的年产量 （万件）与 之间的函数表达式为
（要求化成一般式）．
3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也
逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，
该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低
2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都
比2月增加了 a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
4．（24-25九年级上·山东济南·期中）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现
低碳生活成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，经分析前5个月二氧化碳排放量 （吨 与
月份 （月 之间的函数关系是 ．
(1)随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利
润 （万元）与月份 （月 的函数关系如图所示，那么哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润
是多少万元？
(2)受国家政策的鼓励，该企业决定从6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降 ，与
此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加 ，要使今年6、7月
份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求 的值（精确到个位）．（参考数据： ，
， ， ）．【经典例题八 二次函数综合应用--面积问题】
【例8】（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数 的图像经过点
，与y轴交于点C，求：
(1)该二次函数的解析式；
(2)点C的坐标及 的面积．
1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知抛物线 与 的形状相同，顶点分别为 和
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与
轴交于点 ．（1）这条抛物线所对应的函数的表达式为 ；
（2）点 为抛物线上一点，且以 为顶点的三角形的面积等于以 为顶点的三角形的面积，
则点 的坐标为 ．
3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，已知抛物线经过 三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线顶点为 ，求 的面积．
4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的
外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在 轴上，坐标原点 为伞骨 ，
的交点．点 为抛物线的顶点，点 在抛物线上， 关于 轴对称．点 、 的坐标分别是
．
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
(3)如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ，将抛物线向左平移 个单位，
得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．若 ，求 的值．【经典例题九 二次函数综合应用--线段周长问题】
【例9】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点
B，线段 在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当四边形 的周长最小时，
点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线
和抛物线 于A、B两点，过点A作 轴交抛物线 于点C，过点B作
轴交抛物线 于点D．则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．42．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线 与x轴分别交于A，B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接 ，则 的周长最
小为 ，此时点M的坐标是 ．
3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 与正
比例函数 的图象都经过点 ，点 为二次函数图象上点 与点 之间的一点，过点 作 轴的
垂线，交 于点 ，交 轴于点 ．若点 为该二次函数的顶点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)求线段 长度的最大值．
4．（25-26九年级上·金山南通·阶段练习）已知二次函数 图象与y轴交于点 ，与x
轴交于点B和 （点B在点C的左侧），点P是该图象位于第一象限的一动点．(1)求该二次函数的表达式；
(2)过点P作 轴，交 于点H，当点P在何处时， 的值最大，最大值是多少？
【经典例题十 二次函数综合应用--角度问题】
【例10】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数 的图象交 轴于 ， 两点，图象
上的一点 使 ，则点 的坐标是
A． B． C． D．
1．（2025·辽宁阜新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 交
轴于点 ，过 作 轴，交抛物线于点 ，点 为 上方抛物线上一点，连接 ，作 于点
．若 ，则点 的坐标为 ．2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点
和点B，与y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ，求点M的横坐标．
3．（24-25九年级上·广东江门·期中）图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，
同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之
停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点
F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)求出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）；
(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此
时t的值与F的坐标；若不存在，请说明理由．4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ， （点 在
点 的左侧），与 轴交于点 ， ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 为直线 下方抛物线上一点，连接 并交 于点 ，若 分 的面积为 两部分，
请求出点 的坐标；
(3)在 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出点 ．的坐标；若不存在，请
说明理由．
【经典例题十一 二次函数综合应用--特殊三角形问题】
【例11】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线 与过点 且平行于x轴的直线相
交于点A，B，与y轴交于点C．若 为直角，求a的值．1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于点 ，
与y轴的正半轴交于点C，顶点为P．下列结论：① ；② ；③ ；
④抛物线上有两点 ，当 时，则m的取值范围是 ；⑤当 是直角
三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点
P的坐标 ．
3．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点
和点 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点P在抛物线对称轴上，当 是以 为底的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上存在点Q，使得 ，直接写出Q的坐标______．
4．（24-25九年级上·广西·期末）如图，已知抛物线 与x轴相交于 两点，
与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线 的上方，试求 面积的最大值；
(3)点E是线段 上异于B，C的动点，过点E的直线 轴于点N，交抛物线于点M．当 为直
角三角形时，求点M的坐标．
【经典例题十二 二次函数综合应用--特殊四边形】
【例12】（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过
正方形 的顶点A，B，C．且B点为其顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为A点，则平移后抛物
线的解析式为（ ）A． B．
C． D．
1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过正
方形 的三个顶点 、 、 ，则 的值是多少？（ ）
A． B． C． D． 或
2．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知二次函数 图象与x轴交于点A，与y轴交
于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标
．
3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点
，且 ．(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点 在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图（1），直线 与 、 轴分别交于点 、点
，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ．
(1)求该抛物线的解析式与点 的坐标；
(2)当 时，在抛物线上求一点 ，使 的面积有最大值；
(3)连接 ，点 在 轴上，点 在对称轴上，是否存在点 ， ，使以 、 、 、 为顶点的四边
形是平行四边形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．【拓展训练一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】
1．（2025·山西运城·模拟预测）“六一”儿童节期间，某超市以 元/个的价格购入一批儿童礼品．在销
售前，销售经理进行了市场调研．
调研数据：下表是日销售数量y（个）与销售单价x（元）的部分调研数据：
销售单价x/元 … …
日销售数量
… …
y/个
建立模型：（1）根据调研数据可知y是x的_________（填“一次”“二次”或“反比例”）函数，y关于
x的函数表达式为_________．
问题解决：（2）儿童礼品的销售单价定为多少元时，日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）若该超市决定每销售一个儿童礼品就向儿童福利院捐赠m元，捐赠后，该儿童礼品日销售最大利润
为 元，求m的值．
2．（2025·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价
为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y
件，售价为x元/件.
(1)当售价在40—50 元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
(2)当售价在50—70 元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y 与x的关系式；
(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，2020年是脱贫攻坚决胜年．某地实施产业扶贫种植某种
水果，其成本经过测算为20元 ，投放市场后，经过市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销
售单价p（元 ）与时间 t（天）之间的函数图象如图，且其日销售量 与时间t（天）的关系是
天数为整数．
(1)试求销售单价p（元 ）与时间t（天）之间的函数关系式；
(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)在实际销售的前30天中，公司决定每销售 水果就捐赠n元利润 给“精准扶贫“对象．现发
现：在前30天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
【拓展训练二 二次函数中角度计算问题（45°等）】
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知抛物线 上有两点 ，且满足
；(1)求m的取值范围；
(2)连接 ，求 与x轴相交所形成的锐角的度数；
(3)作点A关于y轴的对称点 ，以 为顶点的抛物线p经过原点，当直线 与y轴交于点 时，
试求出抛物线p与直线 的交点坐标．
2．（2025·山东德州·模拟预测）马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切
点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P（异于A、B），通过计算∠APB的度数，她惊奇的发
现∠APB的度数的 ，正好都和她今天作业中的一条抛物线与x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的
那条抛物线还经过点C（10，17）．聪明的你：
（1）请你求出∠APB的度数；
（2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水
平路面．现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点 处安装一个装饰灯，图中 与抛物线围成的区域是灯的光照范围， 的度数可以调节．以 所在直线为 轴，以过点 垂直于 轴的直线为 轴，建
立平面直角坐标系．已知此拱门的最高点与 的距离是2米，点 到 的距离为1米，点 与拱门最
高点的水平距离也是1米，点 均在此抛物线型拱门上．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)根据设计要求，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 的一边需要与 轴平行．问，
是否存在满足要求的点 和点 ？若存在，请求出点 的坐标及此时 的度数；若不存在，请说明
理由．
【拓展训练三 铅垂高、水平宽求面积最值问题】
1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）综合与实践．
矩形种植园最大面积探究
实践基地有一长为12米的墙
，研究小组想利用墙和长为40米
的篱笆，在前面的空地上围出一个
情境
面积最大的矩形种植园．假设矩形
一边 ，矩形种植园的面积
为S．
要探究面积S的最大值，首先应将
另一边 用含x的代数式表示，
分析 从而得到S关于x的函数表达式，
同时求出自变量的取值范围，再结
合函数性质求出最值．方案1：将墙 的一部分用来替
代篱笆按图1的方式围成矩形种植
园（边 为墙 的一部分）．
探究
方案2：将墙 的全部用来替代
篱笆按图2的方式围成矩形种植园
（墙 为边 的一部分）．
解决问题：
按照方案1
任务一
①求S与x之间的函数关系式； ②求矩形 的面积S的最大
值．
计算方案2围成的最大面积，比较哪种方案能使围成的矩形花园的面积
任务二
最大？最大是多少？请说明理由．
2．（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段练习）【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平
方式，再制用“ ”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛
的应用．
例如：求 的最小值．
解： ， ， ，所以当 时，
即当 时， 有最小值，最小值为1．
(1)【类比探究】
当 为何值时， 有最小值，最小值为多少？
(2)【举一反三】
若代数式 ；当 时， 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
(3)【拓展应用】如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度58米的棚栏（图中实线部分）
围成一个长方形场地 ，中间用棚栏隔开，且 边上留两个1米宽的小门，设 长为 米，当 为
何值时，长方形场地 的面积最大？最大值是多少？3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】
爱思考的小丽发现某隧道截面由抛物线的一部分 和矩形 构成（如图1，所示）．矩形的一边
为 米，另一边 为3米．以 所在的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角
坐标系 ，规定一个单位长度代表 米． 是抛物线的顶点．
【深入探究】
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
【拓展延伸】
在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3所示，点 ， 在 轴上，
与矩形 的一边平行且相等．栅栏总长 为图中线段 ， ， ， 长度之和．
（2）现修建一个“ ”型栅栏，如图2，点 ， 在抛物线 上．设点 的横坐标为 ，
求栅栏总长 与 之间的函数表达式和 的最大值．
（3）现修建一个如图3所示的“ ”型栅栏，栅栏总长为20米，求出此时矩形 面积的最大值，
及取最大值时点 的横坐标的取值范围（ 在 右侧）．1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图：某广场有一喷水池，水从地面喷出，水在空中划出的曲线是
抛物线 （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶
一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为 万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天
后销售额累计达 万元，若把增长率记作 ，则 关于 的函数关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线 与y轴交于点A，过点A作 轴交抛物
线于点B，连接 ．动点P在线段 上，连接 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，在 中， ， ，动点 从点
开始沿边 向点 移动，动点 从点 开始沿边 向点 移动，两点同时出发，到达各自的终点后停
止．设点 运动的时间为 （单位： ）， 的面积为 （单位： ）， 与 的函数图象如图2所
示，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）已知二次函数 的图像如图所示，对称轴为
直线 ，该图像与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，则 的
值为（ ）
A． B． C．3 D．4
6．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品
分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是 元，降价后的价格是y元，则y与x的
函数关系式为 ．
7．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为 ，跨度为 ，现把
它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ．8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮
球出手后距离地面的高度y（单位：m）与篮球距离出手点的水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是
．篮球出手点距离地面的高度为 m．
9．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知二次函数 的图象向右平移 个单位得到抛物线
的图象，则阴影部分的面积为 ．
10．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，边长为1的正方形 顶点 ；抛物线
过点 ，若顶点在正方形 内部（包括在正方形的边上），则 的取值范围是
．11．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）用一根长为20cm的铁丝，把它弯成一个矩形 ，其中
，矩形面积为 ．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少？
12．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220
元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住
的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于300元，设每个房间的房
价增加 元（ 为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为 ，直接写出 与 的函数关系式（无需写自变量 的取值范围）；
(2)设宾馆一天的利润为 元，求 与 的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
13．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点
， ， ，点P是线段 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的面积有最大值，求 点坐标．
14．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当
水面下降1m时，水面宽度增加多少？
(1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________．
(2)依据你的建系方案：
①设出抛物线解析式为___________________．
②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可）
(3)直接写出：当水面下降 时，水面宽度增加多少？
15．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 的两直角边 、 分别在x轴的负半轴和y
轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为 和 ，抛物线 经过点B，
且顶点在直线 上．
(1)求抛物线对应的函数关系式；
(2)若 是由 沿x轴向右平移得到的，当四边形 是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
(3)若M点是 所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作 平行于y轴交 于点N．设点M的横
坐标为t， 的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l的最大值．
