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专题 04 圆
思维导图
【类型覆盖】
类型一、三角形周长、面积、内切圆半径的关系
【解惑】已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【融会贯通】
1．如图， 是 的内切圆，与 ， ， 分别相切于点D，E，F．若 的半径为2，
， ， ，则 的面积为（ ）
A． B．24 C．26 D．52
2．如图，若 的内切圆 与 分别相切于点 ，且
，则 的半径 ．3．如图，在 中， ， 是它的内切圆，与 ， ， 分别切于点 ， ， ．
(1)若 ，则 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
类型二、三角形内切圆与外接圆综合
【解惑】已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，则这个三角形周长是（ ）
A．32 B．34 C．27 D．28
【融会贯通】
1．如图，点 为等边 的内心，连接 并延长交 的外接圆于点 ，已知外接圆的半径为 ，
则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，以 的斜边 为直径作 ， 为 的内心，点 为 上一个动点， 为 的中
点，若 ， ，则 的最大值为 ．3．如图，O是 ABC的外心，I是 ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
△ △
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
类型三、求其他不规则图形的面积
【解惑】如图，在 中， ， ， ．以A为圆心 为半径画圆，交 于点
，则阴影部分面积是（ ）
A． B．
C． D．
【融会贯通】
1．如图，正六边形 的边长为4，以A为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ，则
图中阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
2．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为
2，则阴影部分的面积是 ．
3．如图，正方形 内接于 ，在 上取一点E，连接 ， ．过点A作 ，交 于点
G，交 于点F，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
类型四、圆锥侧面积上最短路径问题
【解惑】已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，如果一只蚂蚁从圆锥的点 出发，沿表面爬到 的
中点 处，则最短路线长为（ ）A． B．❑√3 C． D．
【融会贯通】
1．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移
动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
2．如图所示，圆锥的母线长 ， 为母线 的中点， 为圆锥底面圆的直径，两条母线
、 形成的平面夹角 ．在圆锥的曲面上，从点 到点 的最短路径长是 ．
3．如图1，等腰三角形 中，当顶角 的大小确定时，它的对边（即底边 ）与邻边（即腰 或
）的比值也就确定了，我们把这个比值记作 ，即 ，当 时，
如 ．
(1) ， ， 的取值范围是 ；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径 ，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁
爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据： ， ）
类型五、动圆相切
【解惑】如图1，在矩形 中， ， ，点P从A开始沿折线 以
的速度移动，点Q从C开始沿 边以 的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一
点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
(1)t为何值时，四边形 为矩形？
(2)当P在 上运动时，t为何值时，直线 与以 为直径的圆相切？
(3)如图2，如果 和 的半径都是 ，那么t为何值时， 和 外切？
【融会贯通】
1．如图， ， ，点C在y轴的正半轴上， ， ． ．点P从
点 出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)以点P为圆心， 为半径的 随点P的运动而变化，当 与四边形 的边（或边所在的直线）
相切时，求t的值．2．在矩形 中， ， ，点P从点A出发，沿 边向点B以每秒 的速度移动，
同时点Q从点B出发沿 边向点C以每秒 的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，
设两点移动的时间为t秒 ，回答下列问题：
(1)如图1，当t为几秒时， 的面积等于 ？
(2)如图2，当 秒时，试判断 的形状，并说明理由；
(3)如图3，以Q为圆心， 为半径作 ．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使 正好与四边形 的一边（或边所在的直线）相切？若
存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若 与四边形 有三个公共点，请直接写出t的取值范围．
3．如图，点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，
CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间
为t秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当∠BCP=15°时，求t的值．
(3)以点P为圆心、PC长为半径的☉P随点P的运动而变化．若☉P与四边形ABCD的边（或边所在的直
线）相切，则t的值为____________类型六、圆的无刻度尺作图
【解惑】如图是由小正方形组成的网格． 经过格点 ． 是 上的点，仅用无刻度的直尺完成
画图．
(1)在图1中， 经过格点C，先画 的中点E，再在 上画点F，使 ；
(2)在图2中，先画出圆心O，再在 上画点H，使
【融会贯通】
1．如图是由小正方形组成的网格． 经过格点 ，与网格线交于点D．仅用无刻度的直尺完成画图．
(1)在图1中，先画圆心O，再过点B画 的切线 ；
(2)在图2中，先画弦 ，再在 上画点G，使 ．
2．已知 都是 上的点，仅用无刻度的直尺完成画图．(1)在图1中， 是 的直径， 的顶点 在 上，画 的中点 ；
(2)在图2中， 是 的直径， 的顶点 分别在 上，画 的中点 ；
(3)在图3中，四边形 是 的内接矩形， 是 的中点，画 平分 交 于点 ．
3．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 经过格点A，B，C，仅用无
刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图（1），先画出圆心O．再画一条弦 ，使 ；
(2)如图（2），先在圆上画点P，使 ，再在圆上画点Q，使 ．
类型七、圆的新定义
【解惑】【问题背景】
人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用19世纪数学家闵
可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为
“曼距” 的定义如下：坐标平面内的两点 ， ， ， 之间的距离为 ．例
如，在平面直角坐标系中，点 与点 之间的“曼距” ．
【初步理解】
（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110”的调度员收到信息，有一个突发事故发生在 处．
而在该地区附近有两辆警车， 车位于 处， 车位于 处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近
优先出警”的原则，应该派 车（填 或 前去处理事故．
（2）如图1，正方形 的中心位于坐标原点 ，四个顶点均位于坐标轴上，且 ．则下列说法：
①若点 是正方形 一边上的一点，则 ；②若点 是正方形 内的一点，则 ；③若点 是正方形 外的一点，则 ；④若点 是正方形 内的一点，则 ．
其中不正确的是 （填序号）．
【探究应用】
（3）如图2，某消防支队位于坐标原点 ， 轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南
岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过 ， ， 三点．今该消防支队要在湖岸边，
建一个训练基地（记为点 ，为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点
的位置应选在何处？请作答以下问题：
①圆弧所在的圆的圆心 的坐标为 ，该圆的半径大小为 ；
②请利用网格格点，在图2中，画出使 最小时点 的位置（不要求证明）；
③ 的最小值为 ．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于线段 ，给出如下定义：若将线段 沿着某条直线
对称可以得到 的弦 ， 分别为 ， 的对应点），则称线段 是 的以直线 为对称轴的
对称的“反射线段”，直线 称为“反射轴”．(1)如图1，线段 、 、 中是 的以直线 为对称轴的“反射线段”______；
(2)如图2，已知 点的坐标为 ， 点坐标为 ．若线段 是以直线 为对称轴的“反射线段”，画
出图形，反射轴 与 轴的交点 的坐标；
(3)已知点 、 是在以 为圆心，半径为 的圆上的两个动点，且满足 ，若 是 的
以直线 为对称轴的“反射线段”，当 点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴 与 轴的交点的纵坐
标的取值范围．
2．在平面直角坐标系 中，对于 与 ，给出如下定义：若 与 有且只有两个公共点，
其中一个公共点为点A，另一个公共点在边 上（不与点B，C重合），则称 为 的“点A关联
三角形”．
(1)如图， 的半径为1，点 ， 为 的“点A关联三角形”．
①在 ， 这两个点中，点A可以与点___________重合；
②点A的横坐标的最小值为___________；(2) 的半径为1，点 ，点B是y轴负半轴上的一个动点， 是等边三角形，且 为 的
“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
(3) 的半径为r，直线 与 在第一象限的交点为A，点 ，若平面直角坐标系 中存在点
B，使得 是等腰直角三角形，且 为 的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，给出如下定义：若 ，则称
点 为线段 的“亲近点”．
(1)当 时，
①在点 ， ， ， 中，线段 的“亲近点”是______；
②点 在直线 上，若点 为线段 的“亲近点”则点 的坐标为______；
(2)若直线 上总存在线段 的“亲近点”则 的取值范围是______．
类型八、秦九韶——海伦公式
【解惑】已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S
（其中a，b，c是三角形的三边长，p ，S为三角形的面积），并给
出了证明
例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：
∵a＝3，b＝4，c＝5∴p 6
∴S 6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九
韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【融会贯通】
1．阅读下列材料并回答问题：
材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积为
． ①
古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一
书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．
我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：
． ②
下面我们对公式②进行变形：．
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．
（1）求△ABC的面积；
（2）求⊙O的半径．
2．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务．
在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在 中，三边分别为 是的内切圆，
切点分别为 ．求 的半径．
思路分析：如图1．连接 ，则存 ， ，设
．
于是有 ，
∴ ．（其中S表示 的面积，p表示 的周长的一半）
用语言叙述：三角形的内切圆的半径 ．
若已知 的三边长 ，如何求 的面积 呢？我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长
求它的面积的秦九韶公式：若
则秦九韶公式为 ．
例如：在 中，若 ，利用秦九韶公式求 的面积 ．
解： ，
……
任务：
(1)请完成材料中利用秦九韶公式求 面积的剩余步骤，并求出 的内切圆的半径．
(2)如图2，在 中， 为它的内切圆，则 的长为______．
3．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式
（其中a，b，c是三角形的三边长， ，S为三角形的面积），并给
出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶
公式等方法解决．
如图，在 中， ， ， ．(1)用海伦公式求 的面积；
(2)求 的内切圆半径r．
类型九、阿基米德折弦定理
【解惑】阅读材料，解答问题：
关于圆的引理
古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》
中记载的一个命题：
如图1，AB是 的弦，点C在 上， 于点D，在弦AB上取点E，使 ，点F是 上
的一点，且 连接 ，则 ．
小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：
证明：如图2，连接 ，
∵ 于点D， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ （依据1）， ．
∵ 四边形 内接于 ，
∴ ．（依据2）
……(1)上述证明过程中的依据1为_________，依据2为_________；
(2)将上述证明过程补充完整．
【融会贯通】
1．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前 ～公元前 年，
古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛
顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（ 年～ 年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题
就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如图1， 和 是 的两条弦（即折线
是固的一条折弦）， ， 是弧 的中
点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦
的中点，即 ．
这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”
证明 的部分证明过程．
证明：如图2．作 射线 ，垂足为 ，连
接 ， ， ．
∵ 是弧 的中点，
∴ ．…
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边 内接于 ， 为 上一点， ， 于点 ，
，则折弦 的长是______．2．阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子，在后世的译文中保
存了阿基米德折弦定理的内容．前苏联在1964年根据阿尔·比鲁尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第
一题就是阿基米德的折弦定理．
【定理内容】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折
弦的中点．
【定理模型】如图①，已知AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是 的一条折弦）， ，M是
的中点，那么从M向弦BC作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程：
如图②，延长DB至点F，使 ，连接MF，AB，MC，MA，AC，…
【定理证明】按照上面思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】如图③， 内接于 ，已知 ，D为 上一点，连接AD，DC，
， ，求 的周长．
3．阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德（ ，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、
高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研
究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长
弦上的射影，就是折弦的中点．
(1)定理认识：如图所示， ， 是圆O的两条弦（折弦），M是 的中点， ，垂足为D，
求证：____________________．
(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以
达到“截长补短”效果．同学1：在 上截取 ，同学2：过点M作 的垂线交 的延长线于点
E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作 的平行弦交 于点N．请你
参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．
类型十、古拉美古塔定理
【解惑】阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的
算术运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古
塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图1，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线
，垂足为点 ，并且交直线 于点 ，则 ．
证明：∵ ， ，
∴
∴ ， ．∴ ．
∵ ，
∴ ．（依据）
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
……
任务：
（1）上述证明过程中的依据是______；
（2）将上述证明过程补充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线
交 于点 ，交 于点 ．若 ，则 ．请证明该命题．
【融会贯通】
1．阅读下列材料，完成相应的任务
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运
算规则、二次方程等方面均有建树，特别是在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献．他曾经提出
了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”．该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，直线ME⊥BC，垂
足为E，并且交直线AD于点F，则AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°
∴∠CBD＝∠CME
∵______，∠CME＝∠AMF
∴∠CAD＝∠AMF
∴AF＝MF
…
任务：
（1）材料中划横线部分短缺的条件为：______；
（2）下面是“布拉美古塔定理”的逆命题，请证明该命题的正确性：已知：如图，四边形ABCD内接于
⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，FA=FD．求证：FE⊥BC．
2．阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括
他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点 ，
于点 ，延长 交 于点 ．
求证： ．
证明： ， ，
， ，
．
……
任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知 中， ， ，
， 分别交 于点 ， ，连接 ， 交于点 ．过点 作 ，分别交 ， 于点
， ．若 ，求 的长．
3．阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括
他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点P， 于点M，延长 交
于点N．
求证： ．
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
……任务：
(1)请完成该证明的剩余部分；
(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知 中，
分别交 于点D，E，连接 交于点P．过点P作 ，
分别交 于点M，N．若 ，求 的长．
【一览众山小】
1．如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 都在 上，则原点O到
上一点的最短距离为( )
A． B． C．2 D．
2．如图，在 中， ， ，现以三角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边
所在的直线交于点D，E（D，E不与 的顶点重合），则 的长为（ ）A． 或 B． 或 C． 或2π D． 或
3．已知 是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则 的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
4．如图， 为 的直径，弦 于点 ，直线 切 于点 ，延长 交 于点 ，若 ，
，则 的长度为 ．
5．抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图 ， 分别与
相切于点 ， ，延长 ， 交于点 ．若 ， 的半径为 ，则图中 的长为
．（结果保留 ）
6．如图，已知 的直径 ，点 是弦 上一点，连接 ， ， ，则弦
的长为 ．7．如图，四边形 是 的内接四边形，连接 ，E为 延长线上一点，且 平分 ．
(1)如图①，若 ，求证： 为等边三角形；
(2)如图②，若 ，求 的半径．
8．如图， 的半径为1，A， ， ， 是 上的四个点， ．
(1)判断 的形状： ；
(2)试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)记 的面积分别为 ，若 ，求 的长．
9．在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以 为弦的圆弧上（点B、C
除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决：
①该弧所在的圆的半径长为_____；
② 面积的最大值为_____．
(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们
记为P，请你利用图1证明 ；
(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 的边长 ， ，
点M在直线 的左侧，且 ．
① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段 长的最小值；
② 过点M作 ，垂足为H，若 不小于 ，则 长的范围是．
10．【认识】
如果一个圆与矩形一边相切（切点不与顶点重合）且经过矩形的两个顶点，那么这个圆叫做矩形的“友好
圆”，矩形是圆的“友好矩形”．
【理解】
（1）如图①，四边形 是矩形，则它有___________个“友好圆”；如图②，已知 ，则它有
___________个“友好矩形”（从1、2、4、“无数”这四个选项中选填一个）；
【思考】
（2）如图③，矩形 中， ， ， 是矩形 中经过点C、B的“友好圆”，求
的半径．
【探究】
（3）如图④，已知矩形 ，用无刻度的直尺和圆规作出过点B、C的“友好圆”．（保留作图痕迹，
不写步骤）
