文档内容
专题04 实际问题与二次函数
6大高频考点概览
考点01 图形问题
考点02 拱桥问题
考点03 投球问题
考点04 销售问题
考点05 面积问题
考点06 其它问题
考点01 图形问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
．设矩形菜园的边 的长为 m，面积为S ，其中 ．有下列结论：
① 与 之间的函数关系为 ；
② 的取值范围为 ；
③ 的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为 ；
④矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、非选择题
2．（24-25九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，
设矩形 菜园的面积为 （单位：米 ）， 的长为 （单位：米）则 关于 的函数关系式是
．3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线 ， 互相垂直， ．当 ，
的长是多少时，四边形 面积最大？
4．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架 ，铁
丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架 的面积为144平方厘米，则 的长为多少厘米？
(2)当 的长为多少厘米时，矩形 面积最大？
5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为 的栅栏，围成一块一边靠墙
的矩形试验田，墙长为 ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为
（单位： ），面积为S（单位： ）．
(1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ．
6．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为 米，该窗口的
透光面积为 平方米（计算透光面积时材料忽略不计）．
(1)求 关于 的函数表达式．
(2)当 取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？
7．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用 长的篱笆材料围成一个矩形树苗
培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为 ，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱
笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在 边上开两扇宽为 的门（门不用篱笆材料）．设
垂直于墙的边 的长为 ．
(1) ________ ．（用含有 的代数式表示）
(2)求矩形 的面积 与 的长 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(3)当 取何值时，矩形 的面积为 ？
8．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角
（两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 两边），设 ，矩
形 的面积为 ．
(1)写出 与 的函数关系式（不需写出 的取值范围）；
(2)若花园的面积为 ，求 的值；
(3)若在 处有一棵树与墙 的距离分别是 和 ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积 的最大值．
考点02 拱桥问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过
卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥
拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主
桥拱所在抛物线可以表示 ，则主桥拱最高点P与其在水中倒影 之间的距离为
（ ）
A．24米 B．22米 C．12米 D．11米
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国
十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 ，正常水位时水面宽
为16m，当水位上升3m时，水面宽 为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位 时，水面宽为
，当水位上升 到达 处，此时水面宽为 ．若水位继续以 的速度上升，求从 处淹到拱桥顶还需要多少小时．
4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知
该拱门接触地面的跨度为 ，拱门顶端最高处的高度为 ，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴
建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求拱门所在抛物线的函数表达式；
(2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为 的支柱，支柱的顶端恰好在
抛物线上，求这两根支柱之间的距离．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横
断面为抛物线，抛物线的最高点 离地面 的距离为 米，宽度 为 米．
(1)以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为 米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽
米、高 米的车辆？请通过计算说明．
6．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部 宽为 ，顶部 距
地面的高度为 ．(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 ，装货宽度为 ，那么这辆汽车能否顺利
通过大门？
7．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形 构成，矩形的长 为
，宽 为 ，隧道顶端D到路面的距离为 ，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像
头到 的水平距离为 ，求摄像头到地面的竖直距离．
8．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图1是抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函
数的表达式为 ，在正常水位时，水面宽 米，当水位上升3米后，则水面宽 米考点03 投球问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）具
有 的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球从飞出到落地要用
B．小球的飞行高度为 时，小球飞行的时间是
C．小球的飞行高度可以达到
D．小球飞行 时飞行高度为 ，并将继续上升
二、非选择题
2．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方 的A处射门，已知
球门高 为 ，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为 时，球达
到最高点，此时球的竖直高度为 ．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门；
(3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了 米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均
保持不变，结果恰好在点O正上方 处进球，求n的值．
3．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿
抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部 处，山坡
上有一点 ，距离点 的水平距离为30米，垂直高度3米， 是高度为4米的防御墙．(1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出 的取值范围；
(2)计算说明石块能否飞越防御墙 ．
4．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起
跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，
着陆坡上的基准点 为飞行距离计分的参照点，落地点超过 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥
会跳台滑雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点 到起跳台的水平距离为 ，高度为 为定
值）．设运动员从起跳点 起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为： ．
(1)求c的值；
(2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝ ，b＝ ，求基准点K的高度h；
(3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，并说
明理由．
5．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小
球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）
之间具有函数关系 ，则小球飞出 s时，达到最大高度．考点04 销售问题
地 城
一、非选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）某商场销售一批小商品，每天可以售出20件，每件的利润为50元．经
市场调查发现，如果每件小商品每降价1元，商场每天可以多售出2件．设每件小商品降价x元 ．
(1)每件小商品的利润为______元，商场每天可以售出______件．（用含x的式子表示）
(2)若该商场每天的利润为1600元，求x的值．
(3)该商场每天的最大利润______元，此时x的值为______．
2．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：
每周销售量 （件）与销售单价 （元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且 ） 部分数
据如下表所示：
销售单价 （元/件） 120 130 135
销售量 （件） 80 60 50
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求每周销售这种T恤衫获得的利润 （元）的最大值；
(3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？
3．（24-25九年级上·全国·期末）某商场以每件50元的价格购进某款玩具，若以每件80元的价格出售，
每日可售出200件．现商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该玩具每件的售价每降价1
元，日销售量就会增加20件．设该款玩具每件的售价为 元，日销售量为y件．
(1)日销售量y关于每件售价x的函数解析式为__________．
(2)该商场如何定价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少元？
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个 元，市
场调查发现，该种健身球每天的销售量 （个）与销售单价 （元）有如下关系：
，设这种健身球每天的销售利润为 元．
(1)如果销售单价定为 元，那么健身球每天的销售量是______个；
(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？5．（24-25九年级上·广东河源·期末）已知某商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为100元/件，售
价为每件240元．该商场在试销中发现，如果以定价售出，那么每天可售出200件；如果售价每降低1元，
那么销售量就可以增加10件．
(1)当售价为每件多少元时，商场每天销售该电子产品获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)若商场想每天获得60000元的利润，同时又要减少库存，则该电子产品的售价应定为每件多少元？
6．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，
每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯
降价 元（ 为正整数），每月的销量为 件．
(1)写出 与 之间的函数关系式和自变量 的取值范围；
(2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？
7．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为 元的台灯以 元售出．每月能售出 个．按
商场管理规定，售价在 元至 元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨 元，其销售
量就减少 个．
(1)为了实现每月 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？
解：假设售价为 元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含 的代数式表
示，并完成解答)
(2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因．
考点05 面积问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为
．设矩形菜园的边 的长为 m，面积为S ，其中 ．有下列结论：
① 与 之间的函数关系为 ；
② 的取值范围为 ；
③ 的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为 ；④矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、非选择题
2．（24-25九年级上·全国·期末）已知直线 与抛物线 交于点 ， ，抛物
线的顶点为点 ，对称轴与直线 交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点 为直线 上方对称轴左侧抛物线上一点，当 的面积最大时，求 的坐标．
3．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 、 ，与y轴交
于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为 ，且点P不与点C重合．
(1)写出点C的坐标为______；线段 的长为______．
(2)写出 的面积 ______．
(3)抛物线上存在点P，使 的面积等于 的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
4．（24-25九年级上·四川泸州·期末）飞机着陆后滑行的距离 （单位： ）关于滑行的时间 （单位：
）的函数解析式是 ．
(1)求飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行距离为 时，滑行的时间是多少？
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，某农林试验基地准备用 长的篱笆材料围成一个矩形树苗
培植基地，矩形树苗基地一面靠墙（墙的最大长度为 ，此面不需要篱笆），在矩形基地中间有一道篱
笆（垂直于墙且厚度忽略不计），为了方便出入，在 边上开两扇宽为 的门（门不用篱笆材料）．设
垂直于墙的边 的长为 ．(1) ________ ．（用含有 的代数式表示）
(2)求矩形 的面积 与 的长 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
(3)当 取何值时，矩形 的面积为 ？
6．（24-25九年级上·北京门头沟·期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角
（两边足够长），用 长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 两边），设 ，矩
形 的面积为 ．
(1)写出 与 的函数关系式（不需写出 的取值范围）；
(2)若花园的面积为 ，求 的值；
(3)若在 处有一棵树与墙 的距离分别是 和 ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的
粗细），求花园面积 的最大值．
7．（24-25九年级上·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点
A．已知点A的横坐标为 ，其中 ．点B的坐标为 ．(1)当 时，线段 的长为______；
(2)当抛物线经过点B时，求m的值；
(3)该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低
点的纵坐标之差为 时，求m的值；
(4)作点A关于y轴的对称点C，连结 与y轴交于点D，若抛物线与 交于E（不与点A重合）．当
的面积与 的面积比为 时，直接写出m的值．
8．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架 ，铁
丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架 的面积为144平方厘米，则 的长为多少厘米？
(2)当 的长为多少厘米时，矩形 面积最大？
考点06 其它问题
地 城
一、选择题
1．（24-25九年级上·天津南开·期末）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶
端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地
处离池中心3m，则水管的长为（ ）A． m B．2m C． m D．1m
2．（24-25九年级上·全国·期末）随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出
的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器 喷水时的截面示意图，喷水口 点离地高度为 ，喷出的水
柱在离喷水口水平距离为 处达到最高，高度为 ，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界 点处．
喷灌器 与围墙的距离 为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
3．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）水幕电影是通过高压水泵和特制水幕发生器，将水自下而上
高速喷出，雾化后形成水幕，然后由专用放映机将特制的录影带．投射在水幕上．如图，水嘴喷出的水柱
的最高点为P， ， ，水嘴高 ，则水柱落在地点C到水嘴所在墙的距离 是
m．
4．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研
究：发现水柱距地面的高度 与水柱距喷水头的水平距离 之间近似满足函数关系
的图象，已知水柱在距喷水头 水平距离 处达到最高，最高点距离地面 ．身高 的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头 水平距离 的位置，她的头顶 碰到水柱．（填
“能”或“不能”）
5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）某圆形喷水池中心O有一雕塑 ，从A点向四周喷水，喷出的水
柱为抛物线，且形状相同．如图，建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水
柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 ，则两个水柱的最高点M，N之间的距离为
m．
6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研
究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如
图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 其中 是水柱距喷水头的水平距离，
是水柱距地面的高度，则抛物线的表达式为
7．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水
管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线 的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管 的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为 米的景观射灯 ，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯
与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水
柱形状和对称轴不变，求水管 要升高多少米？
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）青岛世园会音乐喷泉位于李沧区百果山森林公园内的天水湖，是中
国最大的音乐喷泉之一，伴随或激昂或舒缓的音乐，水柱编织出了各种美妙图案，最高可达80余米，吸
引了众多游客前来观赏．若把音乐喷泉形状看作抛物线，设其出水口为原点，音乐变化时，抛物线的顶点
都在过原点的直线变动，从而产生不同的抛物线型水线如图1．
(1)如图2，若某条抛物线型水线的顶点在直线 上，且喷出的水线最大高度达 ，求此时的抛物线解
析式；
(2)如图3，若三条抛物线型水线 、 和 的顶点都在直线 上，水线 最大高度达到 ，
且落地点 恰好达到离出水口 的岸边，另一条水线 的落地点 离出水口 ，要求水线
的落地点 在 、 之间（不包含 、 ），求 的取值范围．
