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专题04 圆
（30个高频易错题型讲练 共60题 新教材）
【原卷版】
易错题型1 利用垂径定理求同心圆问题............................................................................................................................2
易错题型2 利用垂径定理求解其他问题............................................................................................................................3
易错题型3 求圆弧的度数........................................................................................................................................................3
易错题型4 同弧或等弧所对的圆周角相等.......................................................................................................................4
易错题型5 半圆(直径)所对的圆周角是直角...................................................................................................................5
易错题型6 90度的圆周角所对的弦是直径......................................................................................................................5
易错题型7 求四边形外接圆的直径.....................................................................................................................................6
易错题型8 点与圆上一点的最值问题.................................................................................................................................7
易错题型9 确定圆心(尺规作图)..........................................................................................................................................7
易错题型10 画圆(尺规作图).................................................................................................................................................8
易错题型11 已知直线和圆的位置关系求半径的取值..................................................................................................9
易错题型12 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离....................................................................................9
易错题型13 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离..............................................................................................9
易错题型14 求直线平移到与圆相切时运动的距离.....................................................................................................10
易错题型15 切线的应用........................................................................................................................................................10
易错题型16 切线的性质和判定的综合应用...................................................................................................................11
易错题型17 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系.......................................................................................11
易错题型18 圆外切四边形模型..........................................................................................................................................12
易错题型19 三角形内心有关应用.....................................................................................................................................12
易错题型20 三角形内切圆与外接圆综合.......................................................................................................................13
易错题型21 过圆外一点作圆的切线(尺规作图).........................................................................................................13
易错题型22 圆内知识综合(圆的综合问题)...................................................................................................................14
易错题型23 圆与三角形的综合(圆的综合问题).........................................................................................................15
易错题型24 圆与四边形的综合(圆的综合问题............................................................................................................16
易错题型25 圆与函数的综合(圆的综合问题)..............................................................................................................16
易错题型26 已知正多边形的中心角求边数...................................................................................................................17易错题型27 正多边形和圆的综合.....................................................................................................................................18
易错题型28 尺规作图——正多边形.................................................................................................................................18
易错题型29 求图形旋转后扫过的面积............................................................................................................................19
易错题型30 圆锥侧面上最短路径问题............................................................................................................................20
易错题型1 利用垂径定理求同心圆问题
1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和❑√34的两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点，若CD=8，则AB的大小为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D
两点．
(1)求证：AC=BD．
(2)若AC=2,BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r．
易错题型2 利用垂径定理求解其他问题
3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列命题中正确的是（ ）A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．圆心角相等，则所对的弧也相等
C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等
4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、
A、B、C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，画出过A、B、C三点
的圆，圆心为点P．
(1)B，C两点的坐标分别为B（___________），C（___________）；
(2)圆心P的坐标为（___________）；
(3)求出圆P的半径．
易错题型3 求圆弧的度数
5．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的
圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=35°，求D´E的度数；
(2)若BC=6,AC=8，求BD的长．
6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，在△ABC中∠C=90°，以点C为圆心，BC为半径的圆
交AB于点D，交AC于点E．(1)若∠A=28°，求D´E的度数；
(2)若BC=3，AC=4，求BD的长．
易错题型4 同弧或等弧所对的圆周角相等
7．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，C是A´D的中点，连接CA，CD，CO．
(1)求证：OC∥DB；
(2)若⊙O的半径是5，DB=8，求AC的长．
8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，
点A是劣弧B´E的中点．若∠D=92°，则∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．44° C．45° D．46°
易错题型5 半圆(直径)所对的圆周角是直角
9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，AB=10cm，BC=6cm，若点P是直径AB上一动点，当△PBC是等腰三角形时，AP= cm．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，点B是⊙O上一点，AD为⊙O的直径，点C在⊙O上
且平分A´D．
(1)连接BC，∠ABC= _____°．
(2)若AC=5❑√2，BD=6，求AB的长．
易错题型6 90度的圆周角所对的弦是直径
11．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形
零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图1，将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”
形图案，AB=3，AD=6．(1)请直接写出△ACF的形状；
(2)在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转．
①如图2，当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，求△CMF的面积；
②如图3，连接AE，取AE的中点H，连接DH，求线段DH长度的最大值和最小值．
易错题型7 求四边形外接圆的直径
13．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC=CD=5，
AD=5❑√5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F．
(1)若BF⊥AD，求证：∠ABF=∠ACB；
(2)求四边形ABCD的面积；
14．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点，且AB=4❑√3，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°，则线
段OP的取范围 ．
易错题型8 点与圆上一点的最值问题
15．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为(−2,0)，
(3,0)，(4,4)，以点C为圆心，2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线
段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
16．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半
径作⊙A．若动点E在⊙A上，动点P在BC上，则PE+PD的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
易错题型9 确定圆心(尺规作图)
17．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，AB，CD是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点P，
且PB=PD．(1)用直尺和圆规作出该圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：PA=PC．
18．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形纸条测量
马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、
C、D四点．
(1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心O；
(2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利
用图2解答）．
易错题型10 画圆(尺规作图)
19．（25-26九年级上·广东汕头·月考）实践与操作：
已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
20．（25-26九年级上·浙江·课后作业）设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形．
(1)到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．
(2)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．易错题型11 已知直线和圆的位置关系求半径的取值
21．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5cm．以点O为圆心，
rcm为半径画圆．当⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3cm时，则r的取值范围是 ．
22．（2025九年级上·山东·专题练习）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的
取值范围是（ ）
A．r<6 B．r=6 C．r>6 D．r≥6
易错题型12 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
23．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O半径为6cm，则圆心O到直
线l的距离可以是（ ）
A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm
24．（24-25九年级上·全国·随堂练习）设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a
至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ．
易错题型13 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
25．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右
侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终
在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切．
26．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的
坐标为(−3,0)，将OP沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5易错题型14 求直线平移到与圆相切时运动的距离
27．（25-26九年级上·全国·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线y=−x+b与
⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A．0≤b≤2❑√2 B．−2❑√2≤b≤2❑√2 C．−2❑√3<b<2❑√3 D．−2❑√2<b<2❑√2
28．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线
1
段AB的中点C的运动轨迹为W，当l:y= x+b的图象与W只有1个交点时，b= ．
2
易错题型15 切线的应用
29．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+❑√2与抛物线
相交于 ， 两点，点 为 轴上一动点，当 最大时，点 的坐标为
y=x2 +(1−3❑√2)x+❑√2 M N P x ∠MPN P
．
30．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，以C为圆心，以r为半
径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ．
易错题型16 切线的性质和判定的综合应用
31．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点A作PO的垂线AB，垂足为点D，交⊙O于点B．求证：PB与⊙O相切．
32．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，点B、C、D在⊙O上，且
PA=PB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若∠B+∠D=230°，则∠P= ．
易错题型17 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
33．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘．
(1)求作：⊙O，使点O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AC=4，BC=3，求则⊙O的半径长为______．
34．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)尺规作图：作⊙O，使得⊙O经过点C，并且与边AB、BC都相切；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若AC=3，BC=4，则⊙O的半径为 ．
易错题型18 圆外切四边形模型
35．（2023·湖北武汉·二模）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边AD、CD分别与⊙O切于点E、F，
点M、N分别在线段 DE、DF上，且MN与⊙O相切．若△MBN的面积为6，则⊙O的半径为
（ ）
A．2❑√3 B．❑√10 C．2❑√2 D．❑√6
36．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，AB=9，CD=15．则四
边形ABCD的周长为 ．
易错题型19 三角形内心有关应用
37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，OB=2，OC=4，
则△OBC的面积是（ ）A．4❑√3 B．2❑√3 C．2 D．4
38．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆
相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则
∠BEC=120°；③DB＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是 ．
易错题型20 三角形内切圆与外接圆综合
39．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径r与外接圆的半径R的比值叫做该三角
形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
6 12 1 1
A． B． C． D．
25 25 2 4
40．（2025·河北张家口·二模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，Rt△MNP的直角顶点M落在线
段BD上，直角边MN经过点A，直角边MP与直线BC交于点E，连接AE．设点O为△AME的内心，当
点O在△ABD的内部（包括边界）时，DM的取值范围是 ．
易错题型21 过圆外一点作圆的切线(尺规作图)
41．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图：
(1)如图，点Q在直线AB上，点C在直线AB外，作⊙O经过Q，C两点且与AB相切．(2)已知⊙O．求作一点P，过点P作出⊙O的两条切线分别为PA，PB点为A，B．且使∠APB=45°．
42．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）我们知道，过圆外一点可以作两条直线与圆相切．如图，点P
为⊙O外一点．
(1)请过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B；（尺规作图，保留作图痕迹）
(2)求证：PA，PB是⊙O的切线．
易错题型22 圆内知识综合(圆的综合问题)
43．（2025·广东深圳·三模）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有
圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公
分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．这两种方式皆是将2张桌子的
一边完全贴合进行拼接A、B两点为图2中距离最远的两个桌角，C、D两点为图3中距离最远的两个桌角，
且CD与2张桌子的接缝EF相交于G点，G为EF中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：(1)GF的长度为多少公分？
(2)判断CD与AB的长度何者较大？请说明理由．
44．（2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形ABC， ∠C=90°，AC=BC=❑√2，分别以
A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若CD的长度为2，则AD的长为 ．
易错题型23 圆与三角形的综合(圆的综合问题)
45．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为⊙O上一点，
A´C=C´E，CD⊥OB，垂足为D．
(1)连结CO，判断CO与AE的位置关系．并证明；
(2)若AE=4，BD=1，求⊙O的半径．
46．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，
AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠AOB=45°，求CB的长．易错题型24 圆与四边形的综合(圆的综合问题
47．（2025·河南新乡·三模）如图，四边形ABCD中，BC=CD，且∠BAC=∠DAC=45°，连接
AC，BD．若AC=4，则四边形ABCD的面积为 ，BD的最小值为 ．
48．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运
动，若⊙O的面积为6π ，MN＝1，则△AMN的周长的最小值是 ．
易错题型25 圆与函数的综合(圆的综合问题)
49．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2，0)，以点A
为圆心，OA为半径的⊙A，交x轴于点P，点B是⊙A上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q，连接
PQ．
(1)当点Q刚好落在y轴上时，点B的坐标为_________；
❑√15
(2)点B在运动过程中，若线段PQ与反比例函数y= (x>0)有交点，求交点横坐标x的取值范围；
x
(3)若由点Q所组成的图形与直线y=kx−6k(k≠0)有且仅有一个交点时，请直接写出k的值．50．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式
之一，若 ，则 ．
P (x ,y )，P (x ,y ) P P =❑√(x −x ) 2 +(y −y ) 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
【理解】请用所学知识解决问题：已知⊙O的半径为3．
(1)如图1，P(x,y)为圆上任意一点，请探究x，y的关系式；
(2)如图2，已知Q(a,b)，QA为⊙O切线，B(2,−1)，且QA=QB，求b与a的函数关系式；
【运用】如图3，点P在圆心为C(0,1)，半径为1的圆上运动，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,−4)，
求当△PAB面积最大值时P点的坐标．
易错题型26 已知正多边形的中心角求边数
51．（2025九年级上·全国·专题练习）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
52．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正n边形A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 中，∠1=15°，
1 2 3 n
则n的值是 ．易错题型27 正多边形和圆的综合
53．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，OA=AB，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则
这个多边形是正 边形．
54．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在A´B上，连结
CP,CE，则∠CPE的度数为 ．
易错题型28 尺规作图——正多边形
55．（2024·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙O经过格点A．
（1）⊙O的周长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙O的内接等边△ABC，并简要说明点B，C的位
置是如何找到的（不要求证明） ．56．（2024·陕西·模拟预测）如图，已知⊙O，点A在圆上，请以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
（保留作图痕迹，不写作法）
易错题型29 求图形旋转后扫过的面积
57．（25-26九年级上·浙江温州·期中）在5×5的方格纸中，按要求画出格点三角形(顶点均在格点上的
三角形).
(1)将图中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C；(2)求线段CB所扫过的区域面积．
58．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)△A B C 与△ABC关于原点O对称，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转90°，在网格中画出旋转后对应的△AB C ，并求出此过程中线段AC扫
2 2
过的面积．
易错题型30 圆锥侧面上最短路径问题
59．（2025·河北沧州·模拟预测）已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑
上装饰一条灯带，灯带自B处开始绕侧面一周又回到点B，若这个圆锥形建筑物的底面周长为40πcm，母
线AB的长为60cm，则这条灯带的最短长度是（ ）
A．40cm B．60cm C．30❑√3cm D．60❑√3cm
60．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为n°、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为
r，点A与点A′重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，AB=6cm，R=6cm，C是PB中点，现要从点A到点 C
再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
