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第一次月考压轴题专练
一、单选题
1．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，在等边 中， 于D，E是线段 上
一点，F是边 上一点，且满足 ，G是 的中点，连接 ，则下列四个结论：① ；
② ；③ ；④ ；⑤当 时， ，其中正确的个
数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为 的直角三角形的性质，根据题意
逐一判断即可，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，故①符合题意；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ， 故②符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， 故③符合题意；
∵ ， 是 的中点，
故④符合题意；
，
∴ ，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又∵
∴ ，
∴ ，故⑤符合题意．
故选： ．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形 中， ，
于点 ， 的平分线分别交 ， 于点 ， ， 为 的中点， 的延长线交
于点 ，连接 ．下列结论： ； ； 是等腰三角形； ．
其中结论正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】先求出 ， ， ，证 即可判断 ；证
推出 ，即可判断 ，通过证明 、 、 、 四点共圆得到 ，
结合三角形外角的性质即可判断 ；根据三角形外角的性质求出 ，结合三角形内角和定理可得
，据此判断 ．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中，，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ 、 、 、 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故 正确，
即正确的有 个，
故选： ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中
线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解题的关键．
3．（2023上·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在 中， ， 于 ，
的平分线 交 于点 ，交 于 ， 于 ， 的延长线交 于点 ，下列五个
结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤连接 ，若 ，则 ，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】证明 ，可得 ，故①正确；由 ，可得 ，再证明
为等腰三角形，从而得到 ，进而得到 ，易知 ，故②正确；结合
可得 ，进而证明 ，故③正确；根据题意无法确定 、 的大
小关系，则无法得到 ，故④错误；结合三角形中线的性质可得 ， ，
进而可得 ，故⑤正确．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
根据题意无法确定的大小 、 的大小关系，
∴无法得到 ，故④错误；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形
中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
4．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）如图，在等边 中， 于点D，延长 到
点E，使 ，F是 的中点，连接 并延长交 于点G， 的垂直平分线分别交 ，
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！于点M，点N，连接 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质和 ，可得 ，即 ，再根据三角形外角的性
质可得 ，再利用三角形内角和定理求得 ，即可判断①；设 ，根据直角三角
形的性质可得 ，从而可得 ， ，利用勾股定理求得 ，
，从而求得 ，即可判断②；如图，过点N作 于点H，连接 ，根据角平
分线的性质和线段垂直平分线的性质可得 ， ，从而证得 ，可
得 ，即可判断③；根据角的和差及等腰三角形的性质可判断④；利用勾股定理求得
，即可判断⑤．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，点F是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，故①正确；
∵ ， ，
设 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
如图，过点N作 于点H，连接 ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ 平分 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
由②可得， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故④错误；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故⑤错误；
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性
质、勾股定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关
键．5．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图， 中， ，点M，N分别在 ， 上，
将 沿直线 翻折，点A的对应点D恰好落在 边上（不含端点B，C），下列结论：①直线
垂直平分 ；② ；③ ；④若M是 中点，则 ．其中一定正确的是
（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】①根据将 沿直线 翻折，点A的对应点D恰好落在 边上（不含端点B，C），证明直
线 垂直平分 ，故①正确；
②证明 与 不一定相等，得到 与 不一定相等，故②错误；
③先由①得，直线 垂直平分 ，则 ， ，再根据”等边对等角“证明
， ，则 ，再根据 是 的一个外角，
是 的一个外角，证明 ， ，进一步证
明 ，根据 ，得到 ，则 ，然后根据
，证明 ，从而得到 ，故③正确；
④先根据 是 的中点，证明 ，再由①得，直线 垂直平分 ，则 ，再证明
，最后证明 ，即 ，故④正确．
【详解】解：①∵将 沿直线 翻折，点A的对应点D恰好落在 边上（不含端点B，C），
∴直线 垂直平分 ，
故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ 与 不一定相等，
∴ 与 不一定相等，
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ 与 不一定相等，
故②错误；
③由①得，直线 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∵ 是 的一个外角， 是 的一个外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴
即 ，
又∵ (已证)，
∴ ，
故③正确；
④∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
综上所述，一定正确的有①③④，故选：D．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性
质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证．
6．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的
坐标为 ，点P为线段 外一动点且 ，以 为边作等边 ，则当线段 的长取到最大
值时，点P的横坐标为（ ）
A．1.5 B．2 C．3 D．1
【答案】A
【分析】以 为边作等边 ，连接 ，然后证明 得 ，从而可判断当
N，A，B三点共线时， 最大，即 最大，然后利用等边三角形的性质解答即可．
【详解】如图1，以 为边作等边 ，连接 ，
由题意 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当N，A，B三点共线时， 最大，即 最大，
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！如图2，过P作 轴，垂足为T，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的横坐标为1.5．
当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的
性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键．
7．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 与边
的垂直平分线 相交于 ， 交 的延长线于 ， 于 ，下列结论：① ；
② ；③ 平分 ；④ ；正确的是（ ）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知 ，故此可知 ，
，从而可证明②正确；若 平分 ，则 ，与 矛盾，可得③错误；连
接 、 ，然后证明 ，从而得到 ， ，从而证明④．
【详解】解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴①正确；
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴②正确；
∵ ，
∴若 平分 ，则 ，与 矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接 、 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中， ， 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直
角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
8．（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，沿过点 的直线折
叠这个三角形，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，若 ，则 （ ）
A．. B．. C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，由折叠可
得 ， ， ， ， ，根据角平分线的性
质可得 ，再根据 ， ， ，推导出
，利用三角形面积得到 ，即可求解，由三角形面积得到 是解题的关键．【详解】解：如图，过点 作 于点 ， 的延长线于点 ，
由折叠得到， ， ， ， ， ，
∴ 平分 ，
∵ ，
∴ ， ,
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴
故选： ．
二、填空题
9．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）在 中， ，如果
将 折叠，使点B与点A重合，且折痕交边 于点M，交边 于点N．如果 是直角三角形，
16
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！那么 的面积是 ．
【答案】1或
【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角
形面积等知识．分两种情况：当 时，根据 及将 折叠，使
点B与点A重合，可得 ，可得到 的面积；当 时，过A作 于H，设
，则 ，可得 ， ，又 ，
可得 ，再利用勾股定理可得 ，可得到 的面积．
【详解】解：当 时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵将 折叠，使点B与点A重合，
∴ ，
∴ 的面积是： ；
当 时，
如图，过A作 于H，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 折叠，使点B与点A重合，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，在 中， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积是： ．．
故答案为：1或 ．
10．（2024上·陕西西安·八年级西安市航天中学校联考阶段练习）已知 和 均为等腰直角三角
形， ， ，点 为 的中点，已知 为直线 上的一个动点，连接 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短，勾股定理，设点
是 的中点，连接 ，先证得 ，得出 ，根据点到直线的距离可知当
时， 最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得 时的 的值，即可求得线段 的最小值，
解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，利用垂线段最短解决最值问题．
【详解】解：设点 是 的中点，连接 ，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在直线 上运动，
当 时， 最小，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，∴ ，
∴线段 的最小值是为 ，
故答案为： ．
11．（2024上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，等腰 ， ， ，
是动点， ， 分别在线段 上．当 周长最小时，则四边形 面积最大值为
．
【答案】
【分析】本题考查等腰直角三角形判定及性质，勾股定理，三角形面积公式．根据题意以点 为圆心4为
半径作弧交 于 两点，此时 周长最小， ，再过点 作 ，利用等腰三
角形判定得出 为等腰直角三角形，求出 的长，再利用三角形面积公式即可得出本题答案．
【详解】解：如图，以点 为圆心4为半径作弧交 于 两点，过点 作 ，
∴此时 周长最小， ，
∵等腰 ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中应用勾股定理得： ，
∴四边形 面积最大值为： ，
故答案为： ．
12．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图，已知直线 分别交 轴、
轴于点 、 两点， ， 、 分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且
．当 的值最小时，则 点的坐标为 .
【答案】
【分析】先求出直线 与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理得到 ，由等腰三角形三线合一
的性质，得出 ，如图，取点 ，连接 、 、 ，得到 ， ，进而
得出 ， ，证明 ，得到 ，即当点 、 、 三点共线
时， 有最小值，最小值为 的长，利用待定系数法求出直线 的解析式，其与 轴的交点即为
点 的坐标．【详解】解： 直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点，
令 ，则 ；令 ，则 ，解得： ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
如图，取点 ，连接 、 、 ，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
当点 、 、 三点共线时， 有最小值，最小值为 的长，
设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
点的坐标为 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，勾股定理，等腰
三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识，
作辅助线构造全等三角形是解题关键．
13．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图， 是边长为6的等边三角形，直线 于
，点 是直线 上一动点，以 为边在 的右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含 的直角三角形．根据题意确定
点 的运动轨迹是解题的关键．
如图，连接 ，证明 ，则 ，可知点 在与 夹角为 的直线上运动，如图，直线 即为点 的运动轨迹，作 于 ， 即为 的最小值，
由 ，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， 是等边三角形， ，
∴ ， ，
，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在与 夹角为 的直线上运动，如图，直线 即为点 的运动轨迹，作 于 ， 即
为 的最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
14．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）在等腰 中， ， 是 的中点，
于 ，交 于 ．则 ．
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】
【分析】如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，证明 ，
，由 ，推出 ， ，推
出 ，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵在等腰 中， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ 是 的中点，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，直角三角形两
锐角互余，等积变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角
形解决问题．
15．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在 中，
，若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】延长 到F，使得 ，连接 ．证明 ，得到 ，
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！．再证明 ， ，从而得到 ，
，根据 ，即可求出 ．
【详解】解：如图，延长 到F，使得 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角定理，直角三角
形的两锐角互余等知识，综合性强，难度较大．熟知相关知识，正确添加辅助线，构造全等三角形，进行
角的代换证明 是等腰三角形是解题关键．
16．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形 中， ，
对角线 平分 ，那么 为 度．【答案】59
【分析】延长 ，过点D作 ， ，根据条件证明 可得
，过点D作 ，证明 ， ，运用三角形内
角和即可求解．
【详解】解：延长 ，过点D作 ， ，如图，
∴ ，
∵对角线 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
过点D作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关
键．
17．（2022上·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图， 中， ， 的角
平分线 ， 相交于点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ，则下列结论：①
；② ；③ ；④连接 ， ．其中正确的是 ．
（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得 ，再根据角平分线的定义可得
，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明 ，可判断结论
②；证明 ，可判断结论③；连接 ， ，证明 ，结合全等的性质可得
， ， ，最后根据 进行恒等变换后即可判断结论④．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
又∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ，
， ，
∴ ，故结论①正确；
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ， ，故结论②正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故结论③正确；
连接 ， ，
∵ ， ， ，
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，
平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）四边形 的对角线 和 交于E， ，
， ， ，则 的长是 ．【答案】2
【分析】作 于H， 于G， 在 上取点F，使 ，连接 ，设 ，先
根据三角形的内角和定理和外角性质求得 ，进而 ， ，利
用含30度角的直角三角形的性质求得 ， ，再根据线段垂直平分线的性质、三角形的外角性
质以及等腰三角形的判定与性质得到 ， ， ，则 ，
，进而利用 可求解．
【详解】解：作 于H， 于G， 在 上取点F，使 ，连接 ，则
，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，则 ，
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、含30度角的直角三角形的
性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键．
19．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点D是
边上一点，连接 并延长至点E，使得点D恰好是线段 的中点，连接 ，若 ，则
线段 所长为 ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．
过点A作 于点F，过点D作 于点G，过点E作 于点H．根据等腰三角形的性
质可得 ， ，又 ，得到 ，从而根据角平分线
的性质得到 ．根据勾股定理在 中求得 ，利用 的面积可求
出 ．通过“ ”证得 ，得到 ， ，进而求得，根据勾股定理在 中即可求出 的长．
【详解】过点A作 于点F，过点D作 于点G，过点E作 于点H，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
或 ，
∴
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ．
故答案为：
三、解答题
20．（2024上·浙江金华·八年级校考阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图 ，在四边形
中， ，垂足为 ，若 ， ， ，则 的长为 ．
他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为 ，垂足为 ，那么在四
边形 中有四个直角三角形，利用勾股定理可得 ，
， ”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来 与
之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．
(1)请你直接写出 的长．
(2)如图 ，分别在 的边 和边 上向外作等腰 和等腰 ，连接 ．
若 ， ，连接 ，交 于点 ，当 时，求 的长；
如图 ，若 ， ， ，当 时，求 的面积．
【答案】(1) ；(2)① ；② ．
【分析】（ ）由 与 垂直，得到四个直角三角形，利用勾股定理可得 ，代入
已知即可求解；
（ ） 根据 可证明 ，得 ，进而得到 ，即可求出 的长；
连接 交 于点 ，延长 ，作 的延长线于点 ，同 可证 ，则
， ，求出 的长，即可求出 的面积；
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积，掌握等腰直角
三角形性质和勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形 中， ，垂足为 ，
∴ ， ， ， 都为直角三角形，
∵ ， ， ，
根据勾股定理得： ， ，
， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 如图 ，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
由（ ）可得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
连接 交 于点 ，延长 ，作 的延长线于点 ，如图 ，
同 可证 ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
21．（2023下·山西运城·八年级校联考阶段练习）综合与探究
【解决问题】
（1）如图1， 和 都是等边三角形（ ），将 绕着点 顺时针旋转，连接 、
．
①如图2，当点 在 的延长线上时， _________ ；
②如图3，当点 恰好在边 上时， _________ ；
③如图4，当点 在 的延长线上时，求证： ．
【拓展应用】
（2）如图5，在等边 中， 是 外一点，连接 、 、 ，若 ， ，
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，求 的面积．
【答案】（1）① ；② ；③见解析；（2） ．
【分析】（1）①由“ ”可证 ，可得 ，即可求解；
②由①可得 ，由 是等边三角形，可得 ， ，
又因为 ，即可求解；
③由“ ”可证 ，可得 ，可得结论；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由勾股定理可求 ，由面
积和差关系可求解．
【详解】解：（1）① 和 都是等边三角形，
， ， ，
， ，
，
，
，
②由①可知 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
③证明： 都是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
（2）如图，以 为边作等边 ，连接 ，， 是等边三角形，
，
，
，
．
．
，
．
为直角三角形
，
∴根据勾股定理得 ，
．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
．
在等边 中， ，
，
∴根据勾股定理可得 ，
，
，
．
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，
添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在 中， ，过点C作射线 ，使
（点 与点B在直线 的异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线
段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式
子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点M，
根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质即
可得出 ；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到 ，
，根据角的和差得到 ，再利用 证明 ，根据全等三角形
性质及线段和差即可得到 ．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、
垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关
键．
23．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知点 、点 ．
(1)求直线 所对应的函数表达式；
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)在直线 上有点P，点P到x轴的距离等于4，求点P的坐标；
(3)在x 轴上是否存在点P，使三角形 为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，说明理
由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）待定系数法求直线 所对应的函数表达式即可；
（2）由点P到x轴的距离等于4，可得点P的坐标的纵坐标满足 ，即 ，分当 时，当
时，两种情况计算求解即可；
（3）设 ，由题意知，分当 为底，当 为腰两种情况求解：①当 为底时，如图 ，则
，即 ，计算求解即可；②当 为腰， 为顶点时，如图 ，则根据
，计算求解即可；当 为腰， 为顶点时，如图 ，则根据 ，计算求解即
可．
【详解】（1）解：设直线 所对应的函数表达式为 ，
将点 、点 代入得， ，解得， ，
∴直线 所对应的函数表达式为 ；
（2）解：∵点P到x轴的距离等于4，
∴点P的坐标的纵坐标满足 ，
解得， ，当 时， ，解得， ，即 ；
当 时， ，解得， ，即 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ；
（3）解：设 ，由题意知，分当 为底，当 为腰两种情况求解：
①当 为底时，如图 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
②当 为腰， 为顶点时，如图 ，则 ，
由勾股定理得， ，
当 时， ，解得， ，即 ；
当 时， ，解得， ，即 ；
当 为腰， 为顶点时，如图 ，则 ，
∴ ，即 ；
综上所述，存在，P点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，勾股定理等
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，勾股定理，并分
类讨论是解题的关键．
24．（2024上·陕西西安·八年级西安市航天中学校联考阶段练习）如图 ，分别过线段 的端点 、 作
直线 、 ，且 、 、 的角平分线交于点 ，过点 的直线 分别交 、
于点 、 ．
(1)在图 中，当直线 时，线段 、 、 之间的数量关系是________；
(2)当直线 绕点 旋转到与 不垂直时，在如图 两种情况下：
图 中，线段 、 、 之间的数量关系是________；
图 中，线段 、 、 之间是否有 中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
【答案】(1) ；
(2) ； ，理由见解析．
【分析】（ ）如图 ，延长 交 于点 ，由角平分线的定义及平行线的性质可得到 为等腰三
角形， ，利用三线合一得到 ，进而可证明 ，得到
，即可得到 ；
（ ） 如图 ，延长 交 于点 ，同理（ ）即可求解； ．如图 ，延长 交
于点 ，同理 即可求解；
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握这些性
质定理是解题的关键．【详解】（1）解：如图 ，延长 交 于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： ．
理由：如图 ，延长 交 于点 ，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
．
理由：如图 ，延长 交 于点 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
25．（2023上·湖北黄石·八年级统考阶段练习）如图， 是等边三角形，以直线 为 轴建立平面直
角坐标系，若 且 、 满足 ， 为 轴上一动点，以 为边作等边 ，
交 轴于 ．
(1)如图 ，求 点坐标；
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)如图 ， 为 正半轴上一点， 在第二象限， 的延长线交 轴于 ，当 点在 轴正半轴上运动
时， 点坐标是否变化，若不变，求 点的坐标，若变化，说明理由；
(3)如图 ， 在 轴负半轴上，以 为边向右构造等边 ， 交 轴于 点，如果 点在 轴负
半轴上运动时，仍保持 为等边三角形，连 ，试求 ， ， 三者的数量关系，并证明你的
结论．
【答案】(1)
(2)点 的坐标不发生变化，
(3)
【分析】 利用被开方数的非负性和平方数的非负性，求得a和b，结合等边三角形的性质即可求得；
根据等边三角形的性质证明 ，则有 ，在 中得到 ，利用
，可得点M的坐标；
取 的中点 ，连接 和 ．由 知 ，根据直角三角形斜边中线定理可得 、
、 、 四点共圆，进一步有 ，结合等边三角形的性质可证 ，即可证得
．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
， ，
，
，
．（2）点 的坐标不发生变化．
理由：如图 中，
、 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
，
在 中， ， ， ，
，
，
．
（3）结论： ．
理由：如图 中，取 的中点 ，连接 、 ．
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由 知 ，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
、 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
．
即 ．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、被开方数的非负性、平方数的非负性、全等三角形的判定和性
质、含 角的直角三角形性质和直角三角形斜边中线定理．解题的关键利用等边三角形的性质证明全等
三角形，并证得共圆．
26．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）在 中， ，点 为直线 上一点，
， ，连接 交 于 ．
(1)如图1， ， 为 中点，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，延长 至点 使得 ，过点 作 延长线于点 ，若 ， ，
求证： ；
(3)如图3， ， ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ，当 最小时，直接写出线段 的长．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）证明 ，从而得出 ，进而求得 ，从而得出 ；
（2）可证明 ，从而 ， ，进而证明 ，从而 ，进
而证明 ，从而得出结论；
（3）取 的中点 ，连接 并延长交 于 ，过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 于
点 ，设 交 于点 ，可证得 ，得出 ，进而可得
， ，所以当 时， 最小，作 ，交 的
延长线于 ，连接 ，利用勾股定理和面积法可得出 ， ，利用含 角的直角三角形性
质即可求得答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 中，
，
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！又 ，
，
；
（2）如图1，
延长 至点 ，使得 ，连接 ， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
又 ， ，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
；（3）如图3，取 的中点 ，连接 并延长交 于 ，过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，设 交 于点 ，
可得： ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
当 时， 最小，
作 ，交 的延长线于 ，连接 ，
在 中， ，
在 中，
，
，
，
，
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
， ，
，
点 是 的中点，
是 的中位线，
即 是 的中点，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： 负值舍去 ，
，
，
， ， ，
，
，
中， ，
，
、 关于直线 对称，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，含
度角的直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
27．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题背景如图1，在等腰 和等腰 中， ， ， ，求证：
．
尝试应用
如图2，在等腰 中， ， ，点E是 边上一点，点F是 上一点，若
， ， 面积为14，求 的长．
拓展创新
M是平面内一点， ， ，若 ， ， ，请你直接写出 的
长______．
【答案】问题情景：证明见解析；尝试应用： ；拓展创新：
【分析】问题背景：利用边角边公理证明 即可得出结论；
尝试应用：过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，通过证明 ，得到 ，
利用三角形是面积公式，列出关于 的方程，解方程即可得出结论；
拓展创新：分两种情况：①当点M在直线 左侧时，②当点M在直线 右侧时，分别求解即可.
【详解】问题背景：
证明： ，
．
在 和 中，
，
．
．
尝试应用：
解：过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，如图，
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，
．
，
．
在 和 中，
，
．
， ．
，
．
于点 ，
面积为14，
．
．
解得： ， （不合题意，舍去）．
．
拓展创新：
解：分两种情况：①当点M在直线 左侧时，作 ，且使 ，连接 ， ，如图，
则 为等腰直角三角形．
．，
．
即： ．
在 和 中，
，
．
．
，
．
，
．
，
．
．
②当点M在直线 右侧时，作 ，且使 ，连接 交直线 于N，连接 ，如图，
同理 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵
∴
∴
∴
∴B、M、H在同一直线上，即点M、N重合，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，
综上， 的长为 或1.
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，
依据题目特点构造全等三角形是解题的关键．
28．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点
从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动.设点 的运动时间为 秒.
(1)求斜边 上的高线长；
(2) 当 在 上时， 的长为__________， 的取值范围是__________.（用含 的代数式表示）；
若点 在 的角平分线上，则 的值为__________；
(3)在整个运动过程中，当 是等腰三角形时 的值为__________.
【答案】(1)斜边 上的高线长为 ；
(2) ， ； ；
(3) 是等腰三角形时 的值为 或 或 ．
【分析】（ ）过点 作 于点 ，利用面积法求解；
（ ） 根据点 的运动路径及速度可解； 过点 作 于 ，利用角平分线的性质可知 ，再证 ，推出 ，最后利用勾股定理解 即可；
（ ）分 和 两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可；
本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的
关键．
【详解】（1）在 中， ， ， ，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，
，即 ，
∴斜边 上的高线长为 ；
（2） ∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！点 在 的角平分线上时，过点 作 于 ，如图所示，
∵ 平分 ， ， ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，由（ ）知 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴点 在 的角平分线上时，
故答案为： ；
（3） 是以 为一腰的等腰三角形时，有两种情况：
当 时，如图所示，则 ，
∴ ；
当 时，过点 作 于点 ，如图所示，
由（ ）知 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
是以 为底的等腰三角形时， 的值为 ，
综上， 是等腰三角形时 的值为 或 或 ．
29．（2024上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校联考阶段练习）小明在对本学期所学内容进行回顾与整
理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系：
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等
面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的
高．请你结合图1进行证明．
已知：如图 中， ，P是底边 上的任一点（不与B、C重合）， 于 ，
于 ， 于 ．
求证： ；
(2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得 ，
， ， ，则阴影部分的面积为______平方米；
(3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在 中， ， ，
E，P分别是 上任意一点，若 ， ，则 的最小值是______；
(4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形 中， ，
延长 到点 ，使 ，连接 ．若动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着
向终点 运动，连接 ，设点 运动的时间为 秒，请直接写出 ______时，使 为等腰三角形．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)144；
(3) ；
(4) 秒或4秒或 秒．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、勾股定理与逆定理等知识点，解题的
关键是：
（1）利用等面积法证明即可；
（2）先根据勾股定理逆定理证明 是直角三角形，过点 作 于点 ，根据勾股定理、三线合一的性质求出 ，然后根据 求解即可；
（3）过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，证明 是 的垂直平分线，则
，此时 的值最小，最小值为线段 的长，然后根据等面积法求解即可；
（4）分 或 或 三种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
于D， 于 ， 于F，
， ， ，
又 ，
，
，
．
（2）解：在 中， ， ， ，
， ，
，
是直角三角形， ；
过点 作 于点 ，
，
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
，
在 中， ，
，
，
，
．
故四边形展区（阴影部分）的面积是 ．
（3）解：过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
， ，
，
是 的垂直平分线，
，
，
此时 的值最小，最小值为线段 的长，
在 中， ，
的面积 ，
，
，
故答案为： ．（4）解：根据题意，得
若 为等腰三角形
则 或 或 ，
当 时，
， ，
，
，
．
当 时，
，
，
，
当 时，
，
，
在 中， ．
，
．
，
，
．
综上所述：当 秒或4秒或 秒时， 为等腰三角形．
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30．（2024上·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）学习了三角形全等的判定方法（即“ ”
“ ”“ ”“ ” 和直角三角形全等的判定方法（即“ ” 后，我们继续对“两个三
角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示：在 和 中， ， ， ，然后对 是
直角、钝角、锐角三种情况探究．
【深入探究】
(1)如图1，在 和 中， ， ， ，根据 ，可以知道
．
(2)如图2，在 和 中，， ， ， ，且 ， 都是钝角．求证：
．
(3)在 和 中， ， ， ，且 ， 都是锐角．请你用尺规在图3中
作出 ，使 和 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
(4)对于（3）， 还要满足什么条件，就可以使 ？请直接填写结论：在 和 中，
， ， ，且 ， 都是锐角，若 ，则 ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)见解析；
(4) 或 ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法
是解题的关键．
（1）直接利用 定理得出 ；（2）首先得出 ，则 ，进而得出 ，再求出 ；
（3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
（4）利用（3）中方法可得出当 时，则 ．
【详解】（1）解：如图①，
，
在 和 中，
，
．
故答案为： ．
（2）证明：如图②，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 交 的延长线于 ，
，且 、 都是钝角，
，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
在 和 中，
，
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！．
（3）解：如图③中，在 和 ， ， ， ，
和 不全等；
（4）解：由图③可知， ，
，
当 时， 就唯一确定了，则 ．
当 ， 时，即 ，
在 和 中，
，
．
故答案为： 或 ．
31．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题
时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的
线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解
决．
(1)如图1，在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围；
(2)如图2，在 中，点D是 的中点，点M在 边上，点N在 边上，若 ．
求证： ；(3)如图3， 和 均为等腰直角三角形，且 ，连接 ， ，点D为
边的中点，连接 ．请直接写出 与 的数量关系和位置关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，由 证明 得出 ，在
中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 、 ，同（1）得： ，由全等三角形的性质
得出 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系即可得出结
论；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，同（1）得： ，由全等三角形的性质得出
， ，证出 ，证明 得出 ， ，则
．延长 交 于 ，证出 ，得出 ，即可．
【详解】（1）解：延长 至 ，使 ，连接 ，如图1，
是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
，即 ，
72
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（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 、 ，如图2：
同（1）得： ，
，
， ，
，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
；
（3）解： ， ，理由如下：
延长 至 ，使 ，连接 ，如图3，
同（1）得： ，
， ，
，
，
即 ，
，
，
和 是等腰直角三角形，， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
．
延长 交 于 ，
，
，
，
，
，
即 ， ．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分
线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长
中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
32．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图1，长方形 ， ，
点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段 延长线上一动点，连接 交
于点G．设 ， ，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)有学生认为：“ 的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由．
(3)是否存在x的值，使得 ？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)同意，理由见详解
(3)存在，
【分析】（1）设 与 的函数表达式为 ，根据图像经过 ， 得到关于 、 二元
一次方程组，求解即可，再求出当 时的 的值即可得出自变量的取值范围；
（2）根据勾股定理定理表示出 、 、 再根据勾股定理的逆定理即可得出 的度数；
（3）设存在 的值，使得 ，根据等边对等角及平行线的性质可得 ，证明
，继而得到 ，在 中利用勾股定理得到关于 的方程，求解即可．
【详解】（1）解：设 与 的函数表达式为
，图象经过
解得∶ ，
与 的函数表达式为 ，
当 时，得∶ ，
解得∶ ，
与 之间的函数关系式
；
（2）同意，理由如下∶
四边形 是长方形， ，在 中，
在 中．
在 中，
的度数不会随着点 的运动而发生变化，
（3）设存在 的值，使得 ，
由（1）知∶ ，
在 和 中，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！在 中， ，
解得∶ ，
存在 ，使得 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标
轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何
图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．
33．（2021上·江苏南通·八年级统考期中）【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P
为直线 的一点，连接 ， ，若 ，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
(1)【理解运用】如图2，在 中，D为 上一点，点D，E关于直线 对称，连接 并延长至点
F，判断点B是否为点D，F关于直线 的“等角点”，并说明理由；
(2)【拓展提升】
如图2，在（1）的条件下，若 ， ，点Q是射线 上一点，且点D，Q关于直线 的
“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出 的度数；(3)【拓展提升】
如图3，在 中， ， 的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边 ，
点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接 ， ，当 时， 的值为 ．
【答案】(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；
(2)
(3)
【分析】（1）D、E关于 对称，得出 ，角的等量替换可得 即可证明．
（2） ，求出 ，根据等角点求出 ，再求出 ；
（3）连接 ，直线l垂直平分 ，求出 ，点P为点O，B关于直线“等角点”， 证得
O、P、C共线，作 于D， 平分 ， 平分 ，即可证得．
【详解】（1）点B是点D，F关于直线 的“等角点”，理由如下：
∵D、E关于 对称，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点B是点D，F关于直线 的“等角点”；
（2）如图2，
∵ ，
，
∴ ．
∵点D，Q关于直线 ， 的“等角点”分别为点B和点C，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3，
连接 ，
∵直线l垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵点P为点O，B关于直线“等角点”，
∴ ，
∴ ，
∴O、P、C共线，
∴ ，
作 于D，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了角平分线、垂直平分线、角和线段的等量代换，解题的关键是熟知角平分线、垂直平
分线、角和线段的等量代换的知识并会作辅助线．
34．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图1，已知在 中， ，边 在 轴上，点 在 轴上， ， 的坐标为 ，点 是 轴上一个动点，它的坐标是 ， ，直线
交直线 于点 ．
图1 图2
(1)求直线 的表达式；
(2)若 ，点 为直线 上一点，且 平分 ，求 的坐标；
(3)如图 ，连接 ，以 为直角边作等腰直角 （ 、 、 三点按照逆时针顺序排列），使得
， ．
①试说明在点 的运动过程中， 的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点 从 运动到 的过程中，点 的运动路径长为__________．
【答案】(1)
(2) ；
(3)①见解析，②
【分析】（1）先分别求出 、 两点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明 得 ，再求出直线 、 的解析式，联立求得 ，根据中点即可求
解；
（3）①作 ， ，垂足为 、 ，分点 在 上方和点 在 下方两种情况证明 在经
过点 且平行于 轴的直线上运动，从而可得 ，即可得解；②当 与点 重合
时，点 与点 重合，点 与点 重合，证四边形 是平行四边形，得 ，当 与点 重
合时， 、 、 三点重合，由①得 ，利用全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵ ， 的坐标为 ， ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的坐标为 ， 的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
∵直线 的解析式为： 过 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：
又
，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
是 的中点，
设直线 的解析式为： ，
∵直线 的解析式为： 过 和 ，∴ ，
解得 ，
∴ 表达式为： ，
设直线 为： ，
∵直线 为： 过 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 表达式为：
联立
解得 ，
，
设
，
解得 ，
∴ ；
（3）解：①作 ， ，垂足为 、 ，
82
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（Ⅰ）当 在 上方时，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
， ，
， ，
∴ ，
，
轴，
（Ⅱ）当 在 下方
同理证得∴ 在经过点 且平行于 轴的直线上运动
∴ ；
②当 与点 重合时，点 与点 重合，点 与点 重合，
由①得 ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
当 与点 重合时， 、 、 三点重合，
由①得 ，
∴ ，
∴点M的运动路径长为 ．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的交点，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判
定及性质，坐标与图形，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握一次函数的解析式，一次函数的交点，全等
三角形的判定及性质以及平行四边形的判定及性质是解题的关键．
35．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）平面直角坐标系中，直线 ，分别交x轴，y轴于点
A，点C；点B在y轴负半轴上．且 ，点 在直线 上，点P是x轴上的一个动点，设
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！点P的横坐标为t．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)连接 、 ，若 的面积等于 面积的 ，试求出点P坐标；
(3)以 为斜边作等腰直角三角形 ，是否存在t的值，使点E落在线段 或 上？直接写出所有满
足t的值 ．
(4)直接写出 的最小值为 ．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或
(3) 或0或4
(4)
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）先求于 面积，从而求出 的面积，然后根据 求解即可；
（3）分E在线段 或 上两种情况讨论即可；
（4）过P作 于点Q，易求 ，则当C、P、Q三点共线，且 时 最
小，然后根据等积法求解即可．【详解】（1）解：当 时， ，解得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数表达式 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的函数表达式 ；
（2）解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∴
当 时，代入 得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又若 的面积等于 面积的 ，
∴ ，
86
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）解：当点E在线段 上，
过E作 轴，过D作 于G，过P作 于H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
又 ， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），∴
∵ ，
∴ ，
解得： ；
当点E在线段 上，
过D作 轴于G，
同理可证 ，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，此时 ，
∴ ，
∴ ；
当 时， ，此时 ，
∴ ，
∴ ．
88
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！综上， 或0或4；
（4）解：过P作 于点Q，如图所示：
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
则当C、P、Q三点共线，且 时， 最小，即 最小，
设 边 上的高为h，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分
类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
90
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