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专题 08 一次函数与几何综合的五种考法
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，直线 和直线 都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点
分别为A、C，且 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点E在x轴上， 为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2) 、 、 、 ．
【分析】（1）根据直线 可求出与 轴交点 ，由 可求出点点
坐标为 ，由待定系数法即可求出直线CB的解析式．
（2）先根据 、 两点的坐标求出 ，然后等腰三角形的腰长分类讨论：当
时，当 时，当 时，分别求出点E坐标．
【详解】（1）解：当 时， ，
即点 坐标为： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴即点 坐标为： ，
∴设直线 解析式为 ，得：
，解得： ，
∴直线 解析式为 ．（2）∵直线 交 轴于点 ，
∴点 坐标为 ，
又∵点 坐标为 ，
∴ ，如图：
当 时， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ；
当 时，点 与点 是关于 轴对称， 点的坐标为 ，
当 时，设点 坐标为 ，
则 ，解得：
点的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 、 、 、 ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点
的坐标特征，等腰三角形的判定，难点在第三问，分类讨论思想的运用是解题的关键．
【变式训练1】如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 是射线 上
的动点，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，垂足为点 ，连接 ．
(1)当点 在线段 上时，
①求证： ；
②若点 为 的中点，求 的面积．(2)在点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 成为等腰三角形？若存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2) 或 ．
【分析】（1）①根据一次函数解析式得出 ，根据垂直关系以及等角的余角
相等，得出 ，进而证明 ；
②由①知： ，则 ，直线 的解析式为： ，同理可得：
直线 的解析式为： ，联立 得出 ，进而根据三角形面积
公式即可求解；
（2）分当点 在线段 上时，当点 在 的延长线上时，根据等腰三角形的定义，即
可求解．
【详解】（1）①证明：当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解： ，点 是 的中点，
，
由①知： ，
，，
设直线 的解析式为： ，
，
，
同理可得：直线 的解析式为： ，
由 得，
，
，
；
（2）解：如图1，
当点 在线段 上时，
若 ，由于 ，则有 ，
在 中， 是钝角，
，
即 不可能；
若 ，由于 ，则有 ，
过点C作 轴于点H，显然 ，
即 不可能，
当 是等腰三角形时，只有 ，，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
如图2，
当点 在 的延长线上时，
同理可得： ，
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定，坐标
与图形是解题的关键．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴
分别交于点 、 ，点 为 轴上一动点，连接 ．(1)求点 、 的坐标；
(2)当点 在 轴负半轴上，且 的面积为6时，求点 的坐标；
(3)是否存在点 使得 为等腰三角形?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在，点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）令 和 即可求得点的坐标
（2）由 为 的边 上的高，利用 的面积即可求得点 的坐标
（3）分三种情况讨论，即可求得点 的坐标
【详解】（1）在 中，
令 ，得 ，所以点 的坐标为 ；
令 ，得 ，所以点 的坐标为 ．
（2）设点 的坐标为 ，
易得 ， ．
因为 为 的边 上的高，
所以 ，
解得 ，
所以点 的坐标为 ．
（3）因为 ， ，
所以 ．
当 为等腰三角形时，需分以下三种情况：
①当 时，因为 ，
所以 ．
又因为 ，
所以此时点 的坐标为 或 ；
②当 时，因为 ，
所以 ，
所以此时点 的坐标为 ；③当 时，如图．
设 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以
解得 ，
所以此时点 的坐标为 ．
综上所述，存在点 使得 为等腰三角形，点 的坐标为 或 或
或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于综合题，解题的关键是根据等腰三角形的性质
求得点的坐标
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
(1)求点C的坐标：
(2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得 是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为 或(3)存在，满足条件的 点的坐标为 或
【分析】（1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标．
（2）先根据题意求出 ，设点 ，则 ，再根据三角形面积公式可求
的长，解得m的值，即可得出点D的坐标．
（3）假设存在，设点P的坐标为 ，分两种情况讨论：① ，②
，由直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）∵直线 与y轴交于点B，
令 得， ，
∴ ，
∴ ，
∵点C是OB的中点，
∴ ，
∴ ．
（2）∵直线 与x轴交于点A，
令 得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，则 ，
∴ ，解得 或 ，
∴点D的坐标为 或 ；
（3）假设存在，设点P的坐标为 ，
因为 确定，所以 是直角三角形需分2种情况分析：
①若 ，此时点P与原点O重合，坐标为 ；
②若 ，则 ，
∵ ， ， ， ；
∵ ， ， ，
∴ ，解得 ，此时点 的坐标为 ，
综上所述，满足条件的 点的坐标为 或 ．【点睛】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，直角三角形性质，勾股定理，
利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【变式训练1】如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ：
相交于点 ，与x轴交于点 ，直线 与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x
轴于点F．
①求线段 的长度；
②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【答案】(1)8， ，
(2)① ；②点E的坐标为 ；③点D的坐标为 或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①过点A作 轴于点H，作 轴于点G，根据勾股定理得到
，于是得到结论；
②利用勾股定理求出 ，可得 ，即可得答案；
③分两种情况讨论，当 时，求出 ，得 ，得
，得点D坐标；当 时，设 ，则 ，由勾股定
理得： ，求出 ，得点D坐标．
【详解】（1）解：把 代入 ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 ： ，把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：8， ， ；
（2）解：①∵直线 ： ，
∴点C的坐标为 ，
如下图，过点A作 轴于点H，作 轴于点G，则 ， ，
∵ 翻折得到
∴ ，
∴
②当E点落在y轴上时，
在 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ；
③如下图，当 时，由翻折得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ；
如下图，
当 时， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点D的坐标为 ，
综上，点D的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质
和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系 中，点O为坐标原点，直线 :
与直线 ： 交于点 ，与x轴分别交于点 和点C．点D为线段
上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F．
(1)直线 的函数表达式．
(2)当点D在线段 上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若 为直角三角形，求点D的坐标．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点A作 轴于M， 轴于N，则 ，由折叠得 ，
利用勾股定理列得 ，代入计算即可得到 的长，由此得到答案；
（3）分两种情况：①当 时，过A作 轴于G，得到 ，从而
得到答案；当 时，由折叠得 ， ，设 ，则
，利用勾股定理得到 ，求出m，再求OD即可得到答案．
【详解】（1）解：将 代入直线 中，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
将点A的坐标代入，得 ，∴ ，
将点A的坐标代入直线 中，解得 ，
∴直线 的解析式为：
（2）（3）过点A作 轴于M， 轴于N，则 ，
由折叠得 ，∴ ，∴ ，解得 （负值已舍去），
又E在y轴负半轴，∴ ；
（3）分两种情况：①当 时，如图，
由折叠得 ， ，
过A作AG⊥x轴于G， ，
， ，∴ ；
②当 时，如图，由折叠得 ， ，∴ ，
由A、B两点坐标可得： ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ，综上， 或 ．
【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直
角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，过点B作x轴的平行线l，点P
是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接 ．
(1)如图1，求出 的面积；
(2)如图2，已知点C是直线 上一点，若 是以 为直角边的等腰直角三角形，
求点C的坐标．
【答案】(1) 的面积为40
(2)点C的坐标为 或
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）当点 在直线 的上方时，证明 ，得到 且 ，即可求解；当点 在直线 的下方时，同理可解．
【详解】（1）∵点 ，点 ，
∴ ，
过点P作 于H，
∵直线 轴，点B在z轴上，
∴ ，
∴ ．
故答案为：40；
（2）设点 ，点 ，
当点 在直线 的上方时，如图，
过点 作直线 ，交 轴于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，、
为等腰直角三角形，则 ， ，
， ，
，
， ，
，
且 ，
则 且 ，解得： ，
即点 的坐标为 （不合题意的值已舍去）；
当点 在直线 的下方时，如图，
过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，
同理可得： ，
且 ，
或 ，
解得： 或 ，
即点 的坐标为 或 （舍去），
综上，点 的坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角
形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．
本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ： 与 轴、
轴的正半轴分别相交于点A、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D，
，(1)求直线 的解析式；
(2)求证： 是等腰直角三角形；
(3)将直线 沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ，
在直线 上存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P
的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或 或 或 或
【分析】（1）根据题意可得 ，再由 ，求出m的值，即可；
（2）先求出 ，再由两点坐标公式分别求出 的三边长，即可；
（3）分若以点P为直角顶点时；若以点 为直角顶点时；若以点 为直角顶点时，即可
求解．
【详解】（1）解：∵过点 作平行于 轴的直线交 于点D，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：对于直线 ： ，
当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，，
，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）解：设直线 交x轴于点F，则点 ，
∴ ，
设平移后直线的解析式为 ，
当 时， ，当 时， ，
∴点 ，
如图，若以点P为直角顶点时，过点P作 轴于点E，此时 ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
此时点P的坐标为 ；
如图，若以点P为直角顶点时，过点P作 轴于点E，此时 ， ，
， ，同理此时点P的坐标为 ；
如图，若以点 为直角顶点时，过点P作 轴于点G，则 ，
同理 ，
∴ ， ，
∴ 或0（舍去），
∴ ，
∴ ，
∴此时点P的坐标为 ；
如图，若以点 为直角顶点时，过点 作 轴于点M，则 ，
，
同理 ，∴ ， ，
∴ （舍去）；
如图，若以点 为直角顶点时，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
此时点P的坐标为 ；
如图，若以点 为直角顶点时，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴此时点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴
于点 ，点P是直线 右边第一象限内的动点．
(1)①A的坐标是_____________
②求直线 的表达式；
(2)点P是直线 上一动点，当 的面积与 的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当 为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)① ，②直线 的解析式是 ；(2) ；(3) ； ；
【分析】（1）把 代入 即可求点A的坐标；把B点的坐标代入 求得
即可求得结果；
（2）设点P的坐标为 ，先求出 ，再由 可得
，根据 求出a，即可求点P的坐标；
（3）当点P为顶点时，过点P作 轴，过点A作 垂直于 的延长线于点F，
证明 可得 ， ，根据四边形 是矩形可得
，最后根据点A、B的坐标可得即可求出结果；
当点B为顶点时，过点P作 轴，证明 可得 ， ，最后
根据点A、B的坐标可得即可求出结果；
当点A为顶点时，过点P作 轴，证明 可得 ， ，最
后根据点A、B的坐标可得即可求出结果．
【详解】（1）解： ∵直线 交y轴于点A，
∵当 时， ① ，
∴点 ，
故答案为： ；解：∵直线 交x轴于点 ，
②∴把点B代入 可得： ，
，
∴直线 的解析式是 ．
（2）解：如图直线 与y轴相交于点E，且直线 过点P，
∴点E的坐标为 ，
∵设点P的坐标为 ， ， ，
， ， ， ， ，
， ，
，
又 ，
，
，
∴ 点P的坐标为： ．
（3）解：如图1，当点P为顶点时，过点P作 轴，过点A作 垂直于 的延长
线于点F，
∵ 是等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
∴四边形 是矩形，
， ，
，
、 ，
， ，
，
， ，
，
∴点P的坐标为 ；
如图2，当点B为顶点时，过点P作 轴，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
、 ，
， ，
， ，
∴点P的坐标为 ；
如图3，当点A为顶点时，过点P作 轴，
是等腰直角三角形，
， ，
， ， ，在 和 中，
，
， ，
、 ，
， ，
， ，
∴点P的坐标为 ，
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三
角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．
类型四、全等问题
例．如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于A、B两点， 于点M，点P
为直线l上不与点A、B重合的一个动点．
(1)点A坐标为________，点B坐标为________，线段 的长为________；(2)当 的面积是4时，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与 全等，若存在，请直
接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
(3)存在，P点坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ，
【分析】（1）令 ，求出 ，令 ，求出 ，再利用等积法求 的长即可；
（2）设点 ，由 ，可求点 坐标为 或 ；
（3）当 时， ，则 ， 或 ， ；当 时，
，则 ， 或 ， ．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）设点 ，
，
，
点 的横坐标为2或 ，
点 坐标为 或 ；（3）存在点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 全等，理由如下：
①如图1，图2，当 时，
，
或 ，
， 或 ， ；
②如图3，图4，当 时，
，， 或 ， ；
综上所述： 点坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等
的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
【变式训练1】如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
于点C，点P在直线 上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求 的长；
(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，求点Q的坐标．
【答案】(1) ， ；(2)
(3)Q的坐标为 或 或
【分析】（1）将 和 分别代入 求解即可；
（2）首先根据点A和点B的坐标得到 ，然后利用勾股定理求出 ，
然后利用 代入求解即可；
（3）首先根据题意得到 是 的斜边，Q为直角顶点，然后设 ，则
，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）在 中，令 得 ，令 得 ，
∴ ， ；
（2）由（1）知 ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，
∴ 是 的斜边，Q为直角顶点，
设 ，则 ，
当 ，P在C下方时，如图：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 ，P在C上方时，如图：
∵ ，∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图：
则 ，
∴ ；
综上所述，Q的坐标为 或 或 ．
【点睛】此题考查了一次函数与三角形综合题，全等三角形的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握以上知识点．
【变式训练2】直线 ： 分别与 ， 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，
，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)求点 的坐标及直线 的函数表达式；
(2)在坐标系平面内，存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，画出
，并求出点 的坐标．
【答案】(1)点 的坐标为 ， ， ；(2)图见解析，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【分析】（1）将点点 ， 代入解析式得出 ，继而得出点 的坐标为 ， ，根
据 得出 ，即点 的坐标为 ， ，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）分在 轴上方： 和 如图 和点 在 轴上 如图② 两
种情况，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 ： 过点 ， ，
，
．
当 时， ，
点 的坐标为 ， ，
即 ．
： ： ，
．
点 在 轴正半轴，
点 的坐标为 ， ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 、 ， 代入 ，得：
，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
（2）分在 轴上方： 和 如图 和点 在 轴上 如图② 两
种情况考虑：
如图①：①当 时，
，．
，
， ，
，
点 的坐标为 ， ；
②当 时， ， ，
，
点 的坐标为 ， ．
如图②当 时， ，
，
点 的坐标为 ， ．
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形
结合是解题的关键．
【变式训练3】如图①，已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、C，以 为
边在第一象限内作长方形 ．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将 对折，使得点A与点C重合，折痕 交 于点 ，交 于点D，
求点D的坐标；(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得 与 全等？若存在，请求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用解析式中 ， ，求出点A、C的坐标，即可得到点B的坐标；
（2）根据折叠得到 ．设 ，则 ，由勾股定理得
，求出x即可．
（3）先求出直线 解析式，由 得 ，则点P在直线 上．
过P作 于点Q，在 中， ，由面
积法得到 ，
求出 ，代入 ，得到点P的坐标．
【详解】（1）解：令 中 ，得 ，解得 ；
令 ，得 ，
∴ ，
∵以 为边在第一象限内作长方形 ．
∴ 轴， 轴，
∴ ,
故答案为： ；
（2）由折叠知： ．
设 ，则 ，
根据题意得： ，
解得： ．
此时， ，
∴ ；
（3）存在点P，设直线 为 ，把 代入，得
，解得： ．
∴直线 解析式为 ．
由 得 ，则点P在直线 上．
过P作 于点Q，
在 中，
由 得： ，∴ ．∴ ，
把 代入 ，得 ．
此时 ．
【点睛】此题考查了一次函数图像的应用，勾股定理，等腰三角形的性质及全等三角形的
判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
类型五、角度之间关系
例．已知：直线 分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．(1)如图1，若直线 过 ，求 ．
(2)如图2，点 关于 轴的对称点为 ，将线段 沿 轴正半轴移动到 ，直线 交
直线 于点 ，直线 交 轴于点 ，求 的值．
(3)如图3，在（1）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在请
求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）分别令 求得点 的坐标，进而即可求解；
（2）分别令 求得点 的坐标，得出 ，设线段 沿 轴正半轴移动到
，移动了 个单位，得出直线 的解析式为 ，联立 ，得出
勾股定理求得 ，进而得出直线 的解析式为 ，求得
，即可求解；
（3）以 为直角边在 的右侧作等腰 ，连接 交 于点 ，过点 作
轴于点 ，过点 作 于点 ，根据已知得出 ，则
，即点 在 的垂直平分线上，证明 ，可得 ，进而得出
的解析式为 ，设 ，则 ，求得直线 的解析式为
，将点 代入求得 的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得
∴ ，即
当 时， ，则 ，
当 时， ，则
∴ ,
（2）∵ ，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
∴ ，
设线段 沿 轴正半轴移动到 ，移动了 个单位，
则 ，
设直线 的解析式为 ，
∴
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立
∴
∴ ，
∴
设直线 的解析式为 ，将点 代入，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
（3）解：如图所示，以 为直角边在 的右侧作等腰 ，连接 交 于点 ，
过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴
又∵
∴
∴ ，即点 在 的垂直平分线上，
∵ ，
∴ ，
又 ,
∴ ，
∴ , ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴ 的解析式为
设∵点 在 的垂直平分线上，
∴
设 的直线解析式为 ，
将点 ， 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为
将点 代入得，
∵ ,
∴
解得： （经检验，是原方程的解）
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数综合运用，平移的性质，勾股定理，熟练掌握一次函数的性
质是解题的关键．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴于
点D．直线 交x轴于点 ，点P为直线 上的动点．
(1)求直线 的关系式；
(2)连接 ，当线段 时，直线 上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出
周长的最小值；
(3)若 ，直接写出点P的纵坐标．【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）先求出点 ，设直线 的关系式为 ，把 代入，即可
求解；
（2）设 ，根据 ，可得 ，从而得到 ，
作P关于x轴的对称点S，连接 交x轴于R，延长 交直线 于K，过K作 ，
取 ，可得 ，再由 ，可得
，从而得到 ，进而得到P，T关于直线 对称，连接 交
于M，交x轴于N，则此时 周长的最小，最小值即为 的长，即可求解；
（3）分两种情况：当P在y轴左侧时，当P在y轴右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：在 中，令 得： ，
∴ ，
设直线 的关系式为 ，把 代入得：
，解得 ，
∴直线 的关系式为 ；
（2）解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （与B重合，舍去）或 ，
∴ ，
作P关于x轴的对称点S，连接 交x轴于R，延长 交直线 于K，过K作 ，取 ，如图：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴P，T关于直线 对称，
连接 交 于M，交x轴于N，则此时 周长的最小，最小值即为 的长，
在 中，令 得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 周长的最小值为 ；
（3）解：当P在y轴左侧时，过P作 轴于H，在H下方取 ，连接 ，
若此时 ，则 ，如图：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴P的纵坐标为 ；
当P在y轴右侧时，过P作 轴于F，如图：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴P的纵坐标为 ，
综上所述，P的纵坐标为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是
分类讨论思想的应用．
【变式训练2】如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于
y轴对称．(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于
点Q．
①若 的面积为 ，求点M的坐标．
②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使 ，若存在，请
求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)①点 的坐标为 ， 或 ， ；②点 的坐标为 ， 或 ， ．
【分析】（1）先确定出点 坐标和点 坐标，进而求出点 坐标，最后用待定系数法求出
直线 解析式；
（2）①先表示出 ，最后用三角形面积公式即可得出结论；
②分点 在 轴左侧和右侧，由对称得出 ， ，所以，当
即可，利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）对于 ，
由 得： ，
．
由 得： ，解得 ，
，
点 与点 关于 轴对称．
设直线 的函数解析式为 ，
，解得 ，直线 的函数解析式为 ；
（2）①设点 ，则点 ，点 ，
过点 作 与点 ，
则 ， ，
则 的面积 ，解得 ，
故点 的坐标为 ， 或 ， ；
②如图，当点 在 轴的左侧时，
点 与点 关于 轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，， ， ，
，解得 ，
， ，
当点 在 轴的右侧时，
同理可得 ， ，
综上，点 的坐标为 ， 或 ， ．
【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角
形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
课后训练
1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B．
(1)求点 A，B的坐标；
(2)若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积；
(3)在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)；
(2)1.25；
(3)y轴上存在点P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为(0，
2+ ）或(0，2− ）或(0，0.75）或(0，−2)．
【分析】（1）在y＝2x+2中，分别令x=0，y=0，求出对应的y和x，即可得到A、B的坐标；
（2）设C（0，m），根据勾股定理可以求出m的值，即可得到△ABC 的面积；
（3）分BA＝BP、PB＝PA、AB＝AP三种情况分别求出P点坐标．
【详解】（1）当y＝0时，2x+2＝0，x= -1，
∴点A的坐标为(−1，0)；
当x＝0时，y＝2x+2＝2，
∴点B的坐标为(0，2)．（2）设C（0，m），
∵AC⊥AB，
∴ 即 ，
∴4+1+1+m2=（2-m）2，
解之可得：m=-0.5，
∴S = ；
ABC
△
（3）由（1）可得AB= ，
∴可分三种情况考虑，如图所示．
当BA＝BP时，BP＝ ，
∴点P 的坐标为(0，2+ ），点P 的坐标为(0，2− ）；
1 2
当PB＝PA时，设OP＝x，则PB2＝PA2，
∴ (2−x)2=1+x2，解得：x＝0.75，
∴点P 的坐标为(0，0.75）；
3
当AB＝AP时，OP＝OB＝2，
∴点P
4
的坐标为(0，−2)．
综上所述：y轴上存在点P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐
标为(0，2+ ）或(0，2− ）或(0，0.75）或(0，−2)．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三
角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于点 、点 ，且a、
b满足
．(1)a＝ ；b＝ ．
(2)点P在直线 的右侧，且 ；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；
②若 为直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；② 或 ．
【分析】（1）根据 ，即可求解；
（2）①点P在x轴上，则 即可求解；
②由（1）知 ，则 ， 而 是直角三角形，
且 ，故只有 或 ，然后分类求解即可．
【详解】（1）解： ，
即： ，
故答案为： ；
（2）解：①由（1）知，
∵点P在直线 的右侧，P在x轴上，
，
故答案为： ；
②由（1）知 ，
，
，
当 时，过点P作 轴于H，，
又
，
，
故点P的坐标为 ；
当 时，
同理可得：点P的坐标为 ，
故点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质、
等腰直角三角形的性质等知识，其中（2）②要 注意分类讨论求解．
3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
与直线 相交点 ，点D是直线 与 轴的交点．
(1)填空： ______， ______；
(2)在射线 上有一动点E，过点E作EF平行于 轴交直线 于F，连接BE，当
时，求点E的坐标；
(3)点M为直线 上一点，且 ，求点M的坐标．
【答案】(1)1，(2) 或
(3)点M的坐标为 、
【分析】（1）将点C的坐标代入已知的直线 中，即可求得a值，则C点坐标变
成已知，再将C点的坐标代入直线 中，即可求得b值．
（2）点E在射线 上，可分为在y轴左侧与右侧两种情况分别讨论，利用三角形面积公
式列出方程，即可求出点E的横坐标m（详见解析）．
（3）点M分为在直线 左右两侧两种情况予以讨论，利用 角构造出等腰直角三角形，
接着构造出一对全等三角形可求得点P（详见解析）的坐标，再算出直线 与直线 的
交点M的坐标．
【详解】（1）∵点 在直线 上，
∴ ．
∴点C的坐标是 ．因为点C在直线 上，
∴ ．
解得： ．
故答案为： ．
（2）直线AB的解析式为 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 平行于 轴，
∴点F点E的横坐标相同，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，则有 ，整理得： ，解得 ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ；
当 时，则有 ，
整理得： ，解得 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点E的坐标为 ．
综上，点E的坐标为 或 ．
（3）①如图，当点M在射线 上时，过点C作 交直线 于点P，
∵ ，
∴ ，
过C作 轴垂线 ，分别过P，D作 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴点P坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线DP的解析式为 ，联立 ，解得 ，
点M的坐标 ；
②当点M在射线 上时，过点C作 交直线 于点H，过点H作 轴垂线 ，
分别过C，D作 于点G， 于点K，同①法得 ，如图，
∴ ， ，
∵ ， ，设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，可得直线DH的解析式为 ，
联立 ，解得 ，点M的坐标 ，
综合上所述，点M的坐标为 、 ．
【点睛】本题考查一次函数的相关知识点，涉及到求一次函数的解析式及其交点坐标、等
腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等，解题的关键是注意分类讨论，不要遗漏可能的情况．
4．如图1，已知直线 与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作
且 ，连接 ．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，过点C作直线 轴交 于点D，交y轴于点E
①求线段 的长；
②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与
全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（-4，1）
(2)① ；②（-1，2）或（ ，0）或（ ，2）
【分析】（1）证明△BCH≌△ABO（AAS），则CH=BO=1，BH=AO=3，OH=BH+BO=4，即
可求解；
（2）①由（1）知点C的坐标为（-4，1），CD x轴交AB于点D，则点D的纵坐标为
1，将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，即可求解；
②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图
2的三种情况，即可求解；
【详解】（1）解：在y=3x+3中，当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴AO=3，
在y=3x+3中，当y=0时，0=3x+3，x=-1，
∵点B的坐标为（-1，0），
∴BO=1，
如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠BHC=90°，∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBH+∠ABO=180°-∠ABC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
∵∠BHC=∠ABO=90°，BC=AB，
∴△BCH≌△ABO（AAS），
∴CH=BO=1，BH=AO=3，
∴OH=BH+BO=4，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-4，1）；
（2）解：①由（1）知点C的坐标为（-4，1），
∵CD x轴交AB于点D，∴点D的纵坐标为1，
将y=1代入y=3x+3得1=3x+3，
∴x＝ ，
∴点D的坐标为（ ，1），
∴CD＝ ；
②存在，理由：
以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况：当△ ≌△BDC时，
则点 和点B关于直线CE对称，
∴点 的坐标为：（-1，2）；
当△ ≌△BDC时，
则点 和点B关于CD的中垂线 对称，
∴点 （ ，0）即 （ ，0）；
当△ ≌△BDC时，
则点 和点 关于直线CE对称，
∴点 的坐标为：（ ，2）；
综上：M坐标为（-1，2）或（ ，0）或（ ，2）时，以点M，C，D为顶点的三角
形与 全等．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等等，其中（2）要
注意分类求解，避免遗漏．
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y＝2x＋4分别交x轴，y轴于
点B，A，点C在x轴的正半轴上，连接AC，若 ．(1)求点C的坐标；
(2)点D在第一象限直线 上，连接OD，CD，设点D的横坐标为t，△OCD的面
积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，连接AD，过点C作CE∥AD，交直线AB于点E，连接EO．若∠BEO
＝∠CEO，求S的值．
【答案】(1)C（4，0）
(2)
(3)S＝5或S＝9
【分析】（1）根据题意先求出点A，B的坐标，根据给出三角形的面积可求出OC的长，
进而得出点C的坐标；
（2）根据三角形的面积公式可直接表达S与t的解析式；
（3）分两种情况，当点E在x轴上方时，当点E在x轴下方时，分别作出图形，找到点
E，根据对称及平行可得出t的值，进而得出S的值．
【详解】（1）∵直线y＝2x+4分别交x轴，y轴于点B，A，
∴B（﹣2，0），A（0，4），
∴OA＝4，OB＝2，
∵S ABC •OA•BC＝12，
△
∴ 4•BC＝12，
∴BC＝6，
∴OC＝4，即C（4，0）．
（2）∵点D在第一象限直线y＝﹣x 上，点D的横坐标为t（0＜t ），
∴D（t，﹣t ）．
∴S ACD •OC•y
D
△
4（﹣t ）
＝﹣2t+11．
（3）分两种情况：
①当点E在x轴上方时，在x轴下方找点G，使OG＝OC，设点G的横坐标为m，则G（m，2m+4），
∴ ，
解得m＝0（舍）或m ，
∴G（ ， ）．
取CG的中点M，作直线OM，与直线AB交于点E，点E即为所求，显然OM⊥CG；
由对称性可知，∠GEO＝∠CEO，
∴M（ ， ）．
∴直线OM：y＝﹣3x．
令﹣3x＝2x+4，解得x ，
∴E（ ， ），
∴直线EC的解析式为：y x+2．
∵AD∥EC，
∴直线AD的解析式为：y x+4．
令 x+4＝﹣x ，解得x＝3，
即t＝3，
∴S＝﹣2×3+11＝5．
②当点E在x轴下方时，在x轴上方找点G，使 ，此时点 与点A重合，∴ （0，4）．
取 的中点 ，作直线 ，与直线AB交于点 ，点 即为所求，显然OM′⊥CG′；
由对称性可知，∠G′E′O＝∠C′E′O，
∴M′（2，2），
∴直线OM′：y＝x，
令x＝2x+4，解得x＝﹣4，
∴E′（﹣4，﹣4），
∴直线E′C的解析式为：y x﹣2，
∴直线AD的解析式为：y x+4，
令 x+4＝﹣x ，解得x＝1，
即t＝1，
∴S＝﹣2×1+11＝9．
综上，S的值为5或9．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，平行线的性质，
轴对称的性质等知识，关键是找到满足条件的点E．
