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专题 08 一元二次方程应用的四种考法
类型一、销售利润问题
例．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出
200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【答案】(1)①30元或80元②八折
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元
【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x元，利用销售量 每件利润 元列出方程求解即可；②为了
让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（2）设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为 ，代入根的判别式得 ，方程无解，
故不能达到要求．
【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：
．
解得： ．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为： 元， ．
答：该店应按原售价的八折出售．
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价y元．根据题意，得：
0,整理得： ，
∵ ，∴原方程没有实数根，
即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
【变式训练1】某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均
每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间
存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；
若不能，请说明理由．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200；
(2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.
(3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得
解得
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x＝7, x＝13；
1 2当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x＝x＝10；
1 2
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练
掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
【变式训练2】某服装店以每件30元的价格购进一批 恤，如果以每件40元的价格出售，那么一个月内
能售出300件，根据以往的销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设这种 恤的销售单
价提高 元．
(1)该服装店希望一个月内销售这种 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，则这种 恤的销售单价
应提高多少元？
(2)当销售单价提高多少元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)提高2元．
(2)当销售单价提高10元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大，最大利润是4000元．
【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设销售利润为 元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设销售单价提高x元，
由题意，得 ，
解得 ，
∵要尽可能减少库存，
∴ 不符合题意，故舍去，答：这种 恤的销售单价应提高2元；
（2）解：设该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润为 元，
由题意，得 ，
∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值为4000，
答：当销售单价提高10元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大，最大利润是4000元．
【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润一单件利润×销售量列出二
次函数解析式．
【变式训练3】嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息
解决表中的两个问题．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称 遇数临风 活动时间
班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市
实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
青菜的进价为2元/千克．
调研信息
青菜售价为 元/千克时，每天可销售 千克．
每千克每涨价 元，每天少销售5千克．
某天超市正好销售 千克的青菜，则获利多少
问题1
元？
解决问题
问题2
若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的售价为多少元/千克？
【答案】某天超市正好销售 千克的青菜，则获利 元；若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜
的售价为3元/千克或4元/千克
【分析】问题1：设售价为 元/千克， ，计算得 即可得；问题2：设青菜的售
价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利 元， ，计算得 ， ，
即可得．
【详解】解：问题1：设售价为 元/千克，，
， ， ，
则获利： （元），
答：某天超市正好销售 千克的青菜，则获利 元；
问题2：设青菜的售价为x元/千克，超市会一天销售青菜获利 元，
，
，
， ，
答：若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识
点．
类型二、几何图形运动问题
例．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点， ， ，动点P，Q分别从点A，C同
时出发，点P以 的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以 的速度向点D移动，设移动的
时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接 ．
①当 为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当 时， 最小， 的最小距离为
(2)①当 为等腰三角形时，t的值为 或 或 ；②不存在一个时刻，使得
，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意，得出 ， ，再根据线段之间数量关系，得出
，再根据垂线段最短，得出当 时， 最小，此时四边形 是矩形，再根据矩
形的性质，得出 ，然后代入数据，得出 ，解出即可得出答案；
（2）①过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，根据矩形的性质，得出
， ，再根据线段之间数量关系，得出 ，再根据勾股定
理，得出 ， ，然后分三种情况：当 时，当 时，当
时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当 时，根据勾股定理，得出 ，进而得出 ，
整理得出 ，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得： ， ，
∵ ， ，
∴ ，
当 时， 最小，此时四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴当 时， 最小， 的最小距离为 ；
（2）解：①如图，过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理，可得： ， ，
当 时，
可得： ，
整理可得： ，
解得： ；
当 时，
可得： ，
整理可得： ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
当 时， 为 的中点，
∴ ，
解得： ，综上可得：当 为等腰三角形时，t的值为 或 或 ；
②不存在一个时刻，使得 ，理由如下：
当 时，
可得： ，
即 ，
整理可得： ，
∵ ，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得 ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一
元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
【变式训练1】如图，已知，在直角梯形 中， ， ， ， ，
，动点 从 开始沿 边向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿 边向 以
的速度运动， 、 分别从点 、 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t秒．
(1) 为何值时， ？为什么？
(2)当 cm时，求t的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）当 时，可得四边形 是平行四边形，必有 ，列出等式计算即可，
（2）分两种情况，在 利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）解：（1）由题意知， ， ， ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即当 时， ．
（2）如图1，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， （不合图，舍去）；
如图2，
过 作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不合图，舍去）， ；
综上所述，满足条件的t的值为6或7．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰梯形等知识，解题
关键是正确理解题意，列出方程．
【变式训练2】如图，在矩形 中， ，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点
P以 的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以 的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q
也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接 ， ．
(1)用含t的式子表示线段的长： __________； __________．
(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 ？
(3)当t为何值时，四边形 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 、 出发0.6和5.4秒时， ， 间的距离是(3) 、 出发3秒时四边形 为矩形
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）可通过构建直角三角形来求解．过 作 于 ，如果设出发 秒后， ．那么可根据
路程 速度 时间，用未知数表示出 的值，然后在直角三角形 中，求出未知数的值．
（3）利用矩形的性质得出当 时，四边形 为矩形求出即可
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为 ， ；
（2）解：设出发 秒后 、 两点间的距离是 ．
则 ， ，作 于 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
解得： 或 ，
答： 、 出发0.6和5.4秒时， ， 间的距离是 ；（3）解：四边形 的形状有可能为矩形；理由如下：
当四边形 为矩形，则 ，
即 ，
解得： ．
答：当 、 出发3秒时四边形 为矩形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方
程是解题的关键．
【变式训练3】如图， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 分别从点
同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点Q以 的速度向 移动．
(1) 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？
(2) 两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是 ？
(3) 两点从出发开始到几秒时，点 组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1) 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为
(2) 两点从出发开始到 秒或 秒时，点P和点Q的距离是
(3)经过 秒或 秒或 秒或 秒时，点 组成的三角形是等腰三角形【分析】（1）设 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 ，根据梯形面积公式列方
程求解即可；
（2）过点 作 于点 ，设 两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是 ，根据勾
股定理列方程求解即可；
（3）根据等腰三角形不同的腰进行分类讨论，求解即可．
【详解】（1）解：设 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 ，
根据题意得： ， ，
则 ，
解得： ，
答： 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 ；
（2）解：过点 作 于点 ，
设 两点从出发开始到 秒时，点P和点Q的距离是 ，
根据题意可得： ， ，
根据勾股定理得： ，
整理得： ，
解得： 或 ，答： 两点从出发开始到 秒或 秒时，点P和点Q的距离是 ；
（3）解：过点 作 于点 ， 于点 ，
设运动时间为 ，
则 ，
分三种情况：
当 时， ，
∵ ，
∴ ；
当 时，在直角 中，
由勾股定理得： ，
解得： ；
当 时，在直角 中，
由勾股定理可得 ，
解得： （舍去）；
综上所述：经过 秒或 秒或 秒或 秒时，点 组成的三角形是等腰三
角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的
关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程．类型三、工程问题
例．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．
该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设
备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工
程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了
9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，
同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了
小时，求m的值．
【答案】(1)300；(2)5
【分析】（1）设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题意列
出方程，即可求解；
（2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时，根据题意可得小型设备的使用时间为
小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备的使用时间为 小时，根据
题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题
意得：
，
解得： ，
答：小型设备的使用时间为300小时；
（2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时，根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备
的使用时间为 小时，
∴ ，
整理得： ，
解得： （舍去）．
即m的值为5．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解
题的关键．
【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决
定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，
甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一
次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之
和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子
由题意得： 解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子由题意得：
整理得：
解得： ， ，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关
键．
【变式训练2】2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以
应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，
若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将
减小50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越
大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析．
【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方
程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即
可得到结论；
②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万
个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．
【详解】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x =0.2=20%，x =-2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，
解得：m =4，m =25，
1 2
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端
向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．
甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米；(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，即可得出关于a的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
（2）依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时，总成本为： （万元），
∵ ，
∴ 符合题意；
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各
数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
类型四、行程问题
例．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离 处的B
地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1) ； ；(2)
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，
按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为 ，则小明的速度为 ，
依据题意列方程得， ，
，
，
经检验， 是原式方程的解．
．
小红的速度为 ，小明的速度为 ．
故答案为： ； ．
（2）解： 小明的速度为 ，
小明从A地道B地需要的时间为： ．
小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，
．
设B地到C地的距离为 ，依据题意列方程得，
，
，
，
，
或 （舍去）．
A地到C地所需要时间为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
【变式训练1】小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了
小明的速度 以及球的速度 随时间 的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．
（提示：当速度均匀变化时，平均速度 ，距离 ）
(1)当 时，求 关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球
次数共有____次，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)7，理由见解析
【分析】（1）设 关于t的函数关系式为 ，根据经过点 利用待定系数法即可得到答
案；
（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度为 ，利用小明在4s时
第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据题意找到速度、时间、路程的变化规律，即可得到答案．
【详解】（1）解：设 关于t的函数关系式为 ，把点 代入得，
，解得 ，
∴ 关于t的函数关系式为 ；
（2）解：对于球来说， ，
小明前a秒的平均速度为 ，a秒后速度为 ，
由小明在4s时第一次追上球可得， ，
解得 ，
即图中a的值为 ；
（3）小明第一次踢球已经带球跑了16米，还需要跑 米，由（1）知， ，假设每次
踢球t从0开始计算，因为球在草地上滚动时，速度变化情况相同，则第二次踢球后变化规律为 ，
， ，则 ，
，
第二次踢后，则 ， （舍去）， ，此时又经过了 米， ，
第三次踢后，变化规律为 ，
， ，则 ，
，
第三次追上，则 ， （舍去）， ，此时又经过了 米，
，又开始下一个循环，
故第四次踢球所需时间为 ，经过24米，
故第五次踢球所需时间为 ，经过48米，
故第六次踢球所需时间为 ，经过24米，
故第七次踢球所需时间为 ，经过48米，
∵ ， ，
∴带球走过200米，在第七次踢球时实现，故小明小明踢球次数共有七次，
故答案为：7
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂题意，准确计算
是解题的关键．
【变式训练2】“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重
庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，
全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 小时，求m的值．
【答案】（1）1600；（2）20．
【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行
时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得
出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出： 进而求出即可．
【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有： ，
解得： ，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出： ，解得： ， （不合题意舍去），
答：m的值为20．
课后作业
1．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，“天上王母蟠桃，人间合川枇杷”．五月正是枇杷大量上市
时，某超市以相同的进价购进两批枇杷，第一批400千克，以每千克20元出售；第二批300千克，以每千
克16元出售，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元．
(1)求枇杷的进价是每千克多少元？
(2)枇杷很受欢迎，该超市以比前两次每千克少2元的进价购进第三批枇杷600千克，计划两天售完，第一
天将枇杷涨价到每千克20元出售，结果仅售出200千克，第二天超市决定在第一天售价的基础上降价促销，
若在第一天售价的基础上每降2元，第二天的销量在第一天的基础上增加20千克，到了晚上关店时还剩部
分枇杷没售完，超市老板便把剩余枇杷免费分享给员工，第三批枇杷的利润恰好为4040元，求第二天枇
杷的售价为每千克多少元？
【答案】(1)枇杷的进价是每千克8元
(2)第二天枇杷的售价为每千克14元
【分析】（1）设枇杷的进价是每千克x元，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元，列出方程，解方程
即可；
（2）设第二天枇杷降价y元，根据第三批枇杷的利润恰好为4040元列出方程，解方程，求出x的值，然
后再求出第二天枇杷的售价即可．
【详解】（1）解：设枇杷的进价是每千克x元，根据题意得：
，
解得： ，
答：枇杷的进价是每千克8元；
（2）解：设第二天枇杷降价y元，根据题意得：
，
解得： ， （舍去），
（元），
答：第二天枇杷的售价为每千克14元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程．
2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒
1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，
再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜
8）
(1)当t＝1时，试求PE的长；
(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；
(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得出
EM是 ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM= BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM-AP=3，再
△
由勾股定理求出PE即可；
（2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为BC
的中点，得出EQ是 ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ= AB=4，求出PF=4，AP=2，即可求
△
出BF的长；
（3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当2＜
t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程，解方
程即可．
【详解】（1）作 于交 于点M，如图1所示：∵四边形 是正方形，E是对角线 的中点，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴
（2）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
当点F恰好落在线段 上时， ，
∴ ，
∴Q为 的中点，
∴ 是 的中位线， ，
∴ ，
∴ ，
∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿 方向运动到点C，
∴ ，
∴
∴
（3）当 为菱形时， ，分四种情况：①当 时，作 于M， 于N，如图2所示：
∵ ，
∴ ，
解得： （舍去），或 （舍去）；
②当 时，
同①得： ，
解得： （舍去），或
∴
③当 时，作 于M， 于N，如图3所示：
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），∴
④当 时，
同③得： ，
解得： （舍去）或 （舍去）；
综上所述：在整个运动过程中，当 为菱形时，t的值为 或 ．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定
理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，
运用勾股定理得出方程才能得出结果．
3．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度 米 秒 与时间 秒 之间满足一次函
数关系，其图象如图所示；
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间 该运动状
态下的平均速度 ， 表示这段时间起始时刻的速度， 表示这段时间结束时刻的速度 ．若该车
刹车后 秒内向前滑行了 米，求 的值．
【答案】(1)
(2)该车刹车后 秒内向前滑行了 米
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出 ，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，，
解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）解：依题意， ， ， ，
则
依题意， ，
即
解得： 或 （舍去）
答：该车刹车后 秒内向前滑行了 米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数
解析式是解题的关键．
4． 年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020
年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场
监督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，
市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨
了 ，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买 千克的精品瘦肉花了324元．
(1)求a的值；
(2)双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150
千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1元，
其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽可能让消费者
得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？
【答案】(1)a的值为25；
(2)精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【分析】（1）根据题意可得2020年1月18号猪肉的价格为 元/千克，再根据购买 千克的
精品瘦肉花了324元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出2020年1月18号猪肉的价格，再根据总利润 每千克猪肉的利润 猪肉重量列出
方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得 ，
∴a的值为25；
（2）解：设精品瘦肉的售价应为x元，
2020年1月18号的价格为 元/千克，
根据题意得： ，
整理得：
解得 或 ，
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴x取68，
答：精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关
系列出方程是解题的关键．
5．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18
元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元.
(1)求樱桃的进价是每千克多少元？
(2)该水果店以相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千
克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上
每降价0.5元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加5千克.到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售
第三批樱桃获得的利润为880元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
【答案】(1)10元
(2)18元或16元
【分析】（1）设樱桃的进价是每千克 元，根据第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每
千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元列出方程．
（2）设第二天樱桃的售价是每千克 元，根据题意列出方程得到答案．
【详解】（1）解：设樱桃的进价是每千克 元，
依题意得 ，
解得 ，答：樱桃的进价是每千克 元；
（2）解：设第二天樱桃的售价是每千克 元，则第二天的销量为
依题意得
整理得
即
解得
故第二天樱桃的售价是每千克18元或16元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．
