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专题 08 一次函数与几何综合的五种考法
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，直线 和直线 都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点
分别为A、C，且 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)点E在x轴上， 为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
【变式训练1】如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，点 是射线 上
的动点，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ，垂足为点 ，连接 ．
(1)当点 在线段 上时，
①求证： ；
②若点 为 的中点，求 的面积．
(2)在点 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 成为等腰三角形？若存在，求点
的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴
分别交于点 、 ，点 为 轴上一动点，连接 ．
(1)求点 、 的坐标；
(2)当点 在 轴负半轴上，且 的面积为6时，求点 的坐标；
(3)是否存在点 使得 为等腰三角形?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
(1)求点C的坐标：
(2)在x轴上找一点D，使得 ，求点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得 是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在同一平面直角坐标系中，直线 ： 与直线 ：
相交于点 ，与x轴交于点 ，直线 与x轴交于点C．
(1)填空： ， ， ；
(2)如图2，点D为线段 上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x
轴于点F．
①求线段 的长度；
②当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
③若 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系 中，点O为坐标原点，直线 :
与直线 ： 交于点 ，与x轴分别交于点 和点C．点D为线段
上一动点，将 沿直线 翻折得到 ，线段 交x轴于点F．
(1)直线 的函数表达式．
(2)当点D在线段 上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．
(3)若 为直角三角形，求点D的坐标．类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，过点B作x轴的平行线l，点P
是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接 ．
(1)如图1，求出 的面积；
(2)如图2，已知点C是直线 上一点，若 是以 为直角边的等腰直角三角形，
求点C的坐标．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ： 与 轴、
轴的正半轴分别相交于点A、B，过点 作平行于 轴的直线交 于点D，
，
(1)求直线 的解析式；
(2)求证： 是等腰直角三角形；
(3)将直线 沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点 ，
在直线 上存在点P，使得 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P
的坐标．【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴
于点 ，点P是直线 右边第一象限内的动点．
(1)①A的坐标是_____________
②求直线 的表达式；
(2)点P是直线 上一动点，当 的面积与 的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当 为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
类型四、全等问题
例．如图，直线l： 与x轴、y轴分别交于A、B两点， 于点M，点P
为直线l上不与点A、B重合的一个动点．
(1)点A坐标为________，点B坐标为________，线段 的长为________；
(2)当 的面积是4时，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．
【变式训练1】如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
于点C，点P在直线 上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求 的长；
(3)若以O，P，Q为顶点的三角形与 全等，求点Q的坐标．
【变式训练2】直线 ： 分别与 ， 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，
，过点 的直线交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)求点 的坐标及直线 的函数表达式；
(2)在坐标系平面内，存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与 全等，画出
，并求出点 的坐标．【变式训练3】如图①，已知直线 与x轴、y轴分别交于点A、C，以 为
边在第一象限内作长方形 ．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)如图②，将 对折，使得点A与点C重合，折痕 交 于点 ，交 于点D，
求点D的坐标；
(3)在第一象限内，是否存在点P（点B除外），使得 与 全等？若存在，请求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五、角度之间关系
例．已知：直线 分别与x轴负半轴、y轴正半轴交于点A、B．
(1)如图1，若直线 过 ，求 ．
(2)如图2，点 关于 轴的对称点为 ，将线段 沿 轴正半轴移动到 ，直线 交
直线 于点 ，直线 交 轴于点 ，求 的值．
(3)如图3，在（1）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使得 ，若存在请求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线 交y轴于点A，交x轴于
点D．直线 交x轴于点 ，点P为直线 上的动点．
(1)求直线 的关系式；
(2)连接 ，当线段 时，直线 上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出
周长的最小值；
(3)若 ，直接写出点P的纵坐标．
【变式训练2】如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于
y轴对称．
(1)求直线BC的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于
点Q．
①若 的面积为 ，求点M的坐标．②连接BM，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使 ，若存在，请
求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
课后训练
1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 B．
(1)求点 A，B的坐标；
(2)若直线 AC⊥AB交y 轴负半轴于点 C，求△ABC 的面积；
(3)在y轴上是否存在点 P，使以 A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，
请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于点 、点 ，且a、
b满足
．
(1)a＝ ；b＝ ．
(2)点P在直线 的右侧，且 ；
①若点P在x轴上，则点P的坐标为 ；
②若 为直角三角形，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
与直线 相交点 ，点D是直线 与 轴的交点．
(1)填空： ______， ______；
(2)在射线 上有一动点E，过点E作EF平行于 轴交直线 于F，连接BE，当
时，求点E的坐标；
(3)点M为直线 上一点，且 ，求点M的坐标．
4．如图1，已知直线 与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作
且 ，连接 ．
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，过点C作直线 轴交 于点D，交y轴于点E
①求线段 的长；
②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与
全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y＝2x＋4分别交x轴，y轴于
点B，A，点C在x轴的正半轴上，连接AC，若 ．
(1)求点C的坐标；
(2)点D在第一象限直线 上，连接OD，CD，设点D的横坐标为t，△OCD的面
积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，连接AD，过点C作CE∥AD，交直线AB于点E，连接EO．若∠BEO
＝∠CEO，求S的值．
