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专题 08 一元二次方程应用的四种考法
类型一、销售利润问题
例．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出
200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
【变式训练1】某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均
每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间
存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；
若不能，请说明理由．
【变式训练2】某服装店以每件30元的价格购进一批 恤，如果以每件40元的价格出售，那么一个月内能售出300件，根据以往的销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设这种 恤的销售单
价提高 元．
(1)该服装店希望一个月内销售这种 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，则这种 恤的销售单价
应提高多少元？
(2)当销售单价提高多少元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【变式训练3】嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息
解决表中的两个问题．
嘉海学校社会实践记录表
团队名称 遇数临风 活动时间
班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市
实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠．
青菜的进价为2元/千克．
调研信息
青菜售价为 元/千克时，每天可销售 千克．
每千克每涨价 元，每天少销售5千克．
某天超市正好销售 千克的青菜，则获利多少
问题1
元？
解决问题
问题2
若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的售价为多少元/千克？
类型二、几何图形运动问题
例．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点， ， ，动点P，Q分别从点A，C同
时出发，点P以 的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以 的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接 ．
①当 为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，已知，在直角梯形 中， ， ， ， ，
，动点 从 开始沿 边向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿 边向 以
的速度运动， 、 分别从点 、 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，
设运动时间为t秒．
(1) 为何值时， ？为什么？
(2)当 cm时，求t的值．【变式训练2】如图，在矩形 中， ，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点
P以 的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以 的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q
也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接 ， ．
(1)用含t的式子表示线段的长： __________； __________．
(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 ？
(3)当t为何值时，四边形 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
【变式训练3】如图， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 分别从点
同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点Q以 的速度向 移动．(1) 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？
(2) 两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是 ？
(3) 两点从出发开始到几秒时，点 组成的三角形是等腰三角形？
类型三、工程问题
例．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．
该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设
备每小时铺设路面60米．
(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工
程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？
(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了
9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，
同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了
小时，求m的值．
【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决
定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，
甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【变式训练2】2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以
应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，
若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将
减小50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越
大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端
向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．
甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多 万元．求a的值．
类型四、行程问题
例．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离 处的B
地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
【变式训练1】小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，
又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了
小明的速度 以及球的速度 随时间 的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．
（提示：当速度均匀变化时，平均速度 ，距离 ）(1)当 时，求 关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球
次数共有____次，并简要说明理由．
【变式训练2】“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重
庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，
全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 小时，求m的值．
课后作业
1．“五月枇杷黄似橘，谁思荔枝同此时”，“天上王母蟠桃，人间合川枇杷”．五月正是枇杷大量上市
时，某超市以相同的进价购进两批枇杷，第一批400千克，以每千克20元出售；第二批300千克，以每千克16元出售，两批枇杷全部售完，超市共获利7200元．
(1)求枇杷的进价是每千克多少元？
(2)枇杷很受欢迎，该超市以比前两次每千克少2元的进价购进第三批枇杷600千克，计划两天售完，第一
天将枇杷涨价到每千克20元出售，结果仅售出200千克，第二天超市决定在第一天售价的基础上降价促销，
若在第一天售价的基础上每降2元，第二天的销量在第一天的基础上增加20千克，到了晚上关店时还剩部
分枇杷没售完，超市老板便把剩余枇杷免费分享给员工，第三批枇杷的利润恰好为4040元，求第二天枇
杷的售价为每千克多少元？
2．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒
1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，
再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜
8）
(1)当t＝1时，试求PE的长；
(2)当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；
(3)在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值．3．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度 米 秒 与时间 秒 之间满足一次函
数关系，其图象如图所示；
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间 该运动状
态下的平均速度 ， 表示这段时间起始时刻的速度， 表示这段时间结束时刻的速度 ．若该车
刹车后 秒内向前滑行了 米，求 的值．
4． 年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020
年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场
监督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，
市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨
了 ，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买 千克的精品瘦肉花了324元．
(1)求a的值；
(2)双福镇永辉超市将进价为52元/千克的精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150
千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1元，
其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽可能让消费者
得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？5．某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18
元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元.
(1)求樱桃的进价是每千克多少元？
(2)该水果店以相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千
克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上
每降价0.5元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加5千克.到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售
第三批樱桃获得的利润为880元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
