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第一次月考压轴题专练
一、单选题
1．（2023下·安徽宿州·七年级安徽省泗县中学校联考阶段练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学
家欧拉就引进了求和符号“ ”．如：记 ；
．已知： ，则 的值是
（ ）
A．40 B． C． D．
2．（2022上·福建泉州·七年级校考阶段练习）如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图
1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆
盖的部分用阴影表示，若长方形中边 、 的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为 ，图2中
阴影部分面积为 ．当 时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（
）
①若 ，则 ；
②若 ，则有 是正数；
③ 、 、 三点在数轴上对应的数分别是 、6、 ，若相邻两点的距离相等，则 ；④ 有最小值；⑤ ， ，则 的值为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）若有两个整式
， ．下列结论中，正确的有
（ ）
①当 为关于 的三次三项式时，则 ；
②当多项式 乘积不含 时，则 ；
③ ；
④当 能被 整除时， ；
⑤若 或 时，无论 和 取何值， 值总相等，则 ．
A．①②④ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤
5．（2022上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于五个整式， ： ； ： ； ：
； ： ； ： 有以下几个结论：
①若 为正整数，则多项式 的值一定是正数；
②存在有理数 ， ，使得 的值为 ；
③若关于 的多项式 （ 为常数）不含 的一次项，则该多项式 的值一定大于 ．
上述结论中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2023下·山东济南·七年级统考期末）设 ， ， ．若 ，则
的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2023上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知 ，且 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022上·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）有依次排列的2个整式： ， ，对
任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串： ， ， ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得
到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后整式串为： ， ， ， ， ；
②第二次操作后，当 时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有19个整式；
④第2022次操作后，所有的整式的和为 ．下列结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
二、填空题
9．（2022上·江西新余·八年级统考阶段练习） 为非零自然数，若 为两个连续自然数之积，
则 的值是 ．
10．（2023下·江苏镇江·七年级统考阶段练习）现有若干张卡片，分别写有1， ，4， ，16，
，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为 ，其中三数之和的最大值记为A，
最小值记为B，则 的值等于 ．
11．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知 ，则 的值为 ．
12．（2023下·浙江温州·七年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）如图，正方形 和三角形
重叠部分是长方形 ，四边形 和 均为正方形．若长方形 面积为4， ，
， ，连接 ， ，则阴影部分的面积为 ．
13．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）对于一个三位数，其十位数字等于个位数字与
百位数字的差的两倍，则我们称这样的数为“倍差数”，则最小的“倍差数”为 若一个数 能够写
成 （ ， 均为正整数，且 ），则我们称这样的数为“不完全平方差数”，记
．例如 ，所以 或 ．若一个小于 的三位
数 （其中 ， ，且 ， ， 均为整数）既是一个“不完全平方差数”，也是一个“倍差数”，则满足条件的 的最大值为 ．
14．（2022下·重庆·七年级重庆南开中学校考期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试
验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一
小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余
下试验田面积的 种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的 ，且第二小组种植三种
蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的 ，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为
．
15．（2023下·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）对整式 进行如下操作：将 与另一个整式
相加，使得 与 的和等于 ，表示为 ，称为第一次操作；将第一次操作的
结果 与另一个整式 相减，使得 与 的差等于 ，表示为 ，称为第二次操作；
将第二次的操作结果 与另一个整式 相加，使得 与 的和等于 ，表示为
，称为第三次操作；将第三次操作的结果 与另一个整式 相减，使得 与 的
差等于 ，表示为 ，称为第四次操作，以此类推，下列四种说法：① ；
② ；③ ；④当 为奇数时，第 次操作结果 ；
当 为偶数时，第 次操作结果 ；四个结论中正确的有 ．
三、解答题
16．（2022上·湖北荆州·八年级统考期末）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．
(1) ______ ；若 ，则 ______ ；
(2)已知 ， ， ，若 ，求 的值；
(3)若 ， ，令 ．
①求 的值；
②求 的值．
17．（2023下·四川达州·七年级校考阶段练习）探索：
；
；
；
；
…
(1)第五个等式是 ；
(2)求 的值；
(3)判断 的值的个位数字是几．
18．（2022上·山西长治·八年级统考期末）阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，
在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了 （n为非负数）展开式的各项系数的规律．
根据上述规律，完成下列问题：
(1)直接写出 _________．
(2) 的展开式中a项的系数是__________．(3)利用上述规律求 的值，写出过程．
19．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）（1）已知 ，求 的值．
（2）已知将 乘开的结果不含 和 项．求m、n的值；
（3）小明在做一道计算题目 的时候是这样分析的：这个算式里面每个
括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的
差，于是添了 ，并做了如下的计算：
请按照小明的方法，计算 ．
20．（2023下·江苏·七年级统考阶段练习）阅读：在计算 的过程中，我们
可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问
题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】① ；
② ；
③ ；
……
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： _______；
(3)计算： ______；
(4)若 ，求 的值．
21．（2022上·山东德州·八年级校考阶段练习）已知．
(1)根据以上式子计算：
① ；
② （n为正整数）；
③ ．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
① _______；
② _______；
③ ________．
22．（2022上·河南南阳·八年级校考阶段练习）对于任意四个有理数 ，可以组成两个有理数对
与 ，我们规定： ．例如： ．
(1)若 是一个完全平方式，求常数 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，将长方形 及长方形 按照如图方式放置，其中点 分别在边
上，连接 ，若 ， ， ， ，求图中阴影部分的面积．
23．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考阶段练习）在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研
究代数式的变形问题．借助直观、形象的几何图形，加深对照式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内
在联系．如图1，现有边长分别为a，b的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为a．宽为b的长方形Ⅲ号卡片足够
多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题：(1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是______；
(2)若想用几何图形表示等式 ，图3给出了所拼接的几何图形的一部分，请你补
全图形；
(3)若用图1中的卡片拼得一个面积为 的长方形，求共用了多少张卡片？
(4)设 ， ，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），
若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量．
24．（2023下·广东佛山·七年级统考阶段练习）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是
指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到
代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如， 是
“完美数”．理由：因为 ，所以 是“完美数”．
【解决问题】
(1)数61 “完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究问题】
(2)已知 ，则 ；
(3)已知 （ 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件的
值；
【拓展结论】
(4)已知 、 满足 ，求 的最小值．
25．（2022上·四川巴中·八年级统考期中）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均
分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
(2)观察图2你能写出下列三个代数式 之间的等量关系 ．
(3)运用你所得到的公式，计算若 ，求：
① 的值．
② 的值．
(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式 的最小值．
26．（2023下·吉林·八年级校考阶段练习）【观察】如图①是一个长为 、宽为b的长方形，沿图中虚线
用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出 ，
， 之间的等量关系____________________________；
【应用】若 ， ，则 _______________；
【拓展】如图③，正方形 的边长为x， ， ，长方形 的面积是200，四边形
和四边形 都是正方形，四边形 是长方形，求图中阴影部分的面积．
27．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）如图1是长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出 之间的等量关系：__________；
(2)根据（1）中的结论，若 ，求 的值；
(3)请求解下面实际问题：
如图3，已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且 ，长方形
的面积是 ，分别以 、 为边长作正方形 和正方形 ，求阴影部分的面积．
28．（2022上·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）（1）若 满足 ，求 的值；
（2）将正方形 和正方形 按如图所示摆放，点 在 边上， 与 交于点 ，且 ，
，长方形 的面积为24，以 为边作正方形 ．设 ，
用含 的代数式直接表示 和 的长；
求图中阴影部分的面积．
29．（2022上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式
子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变
形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 ，所以5是“完美数”．
【解决问题】
(1)已知29是“完美数”，请将它写成 （a、b是整数）的形式 ；
(2)若 可配方成 （m、n为常数），则mn＝ ；
【探究问题】
(3)已知 ，则 ；
(4)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个
k值，并说明理由．
【拓展结论】
(5)已知实数x、y满足 ，求 的最值．
30．（2023上·河南南阳·八年级校联考阶段练习）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，
可以得到一个数学等式，例如图1可以得到 ．
请解答下列问题：
(1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________．
(2)若 ，用上面得到的数学等式求 的值．
(3)小明同学用图3中的 张边长为 的正方形， 张边长为 的正方形， 张长、宽分别为 、 的长方形
拼出一个面积为 的长方形，求 的值．
