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第 2 章相交线与平行线（压轴 30 题专练）
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE
交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG
交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共12小题）
2．（2021春•高青县期末）如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为 ．
3．（2021春•满洲里市期末）如图，已知AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，
则∠ADC＝ ．
4．已知∠AOB＝35°，以O为顶点作射线OC，OD．若∠AOC＝2∠AOB，OD⊥OB，则∠COD
的度数为 ．
5．已知∠AOB＝22.5°，分别以射线OA，OB为始边，在∠AOB的外部作∠AOC＝∠AOB，
∠BOD＝2∠AOB，则OC与OD的位置关系是 ．
6．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．7．（2021春•姑苏区期中）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM
上，记∠ABM＝ （0°＜ ＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR ，如
1
图3，将纸条展开
α
后再折
α
叠，使BM与BR
1
重合，得折痕BR
2
，将纸条展开后继续折叠，使
BM与BR 重合，得折痕BR …依此类推，第n次折叠后，∠AR N＝ （用含a和n的代
2 3 n
数式表示）
8．（2020秋•龙岗区期末）如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E ，
1
第二次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
1 1 2
第三次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E ，
2 2 3
…，
第n次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠DCE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
．
若∠E ＝1度，那∠BEC等于 度．
n
9．如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝ 度，∠3+∠4+∠5＝ 度．
10．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕
点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时
间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边
（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ．11．（2021春•钦州期末）如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操
作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E ，第二次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的
1 1 1
平分线，交点为E ，第三次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E ，…第n
2 2 2 3
（n≥2）次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠CDE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
，若∠E
n
＝ 度，则
∠BED＝ 度．
α
12．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和
∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝ ．
13．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线l ∥l ，且l 和l 、l 分别交于A、B两点，点P
1 2 3 1 2
在AB上．
（1）∠1、∠2、∠3之间的关系为 ；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 ；
（3）如果点P（点P和A、B不重合）在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为
．三．解答题（共17小题）
14．（2021春•烟台期末）如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至
F．
（1）∠AOD和∠BOC ；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）
（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？
（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．
15．（2021春•常州期末）【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB
＝ °；
（2）如图2，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，且 + ＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，
则∠AFB＝ ；（用 、 表示）
α β α β
（3）如图3，∠ADC＝ ，∠BCD＝ ，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时， 、
α β
应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
α β α β【挑战】
如果将（2）中的条件 + ＞180°改为 + ＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又
可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
α β α β
16．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行
线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，
当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在
EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q ，
1 1 1 2
∠BEQ ，与∠DFQ 的角平分线交于点Q ；此次类推，则∠EPF与∠EQ F满足怎样的数量
2 2 3 2018关系？（直接写出结果）
17．（2021秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，
∠COF＝37°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转
动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发
分钟．18．（2021秋•宝安区期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个
直角三角尺AOB的直角顶点O放在互相垂直的两条直线PQ、MN的垂足O处，并使两条直角
边落在直线PQ、MN上，将△AOB绕着点O顺时针旋转 （0°＜ ＜180°）．
（1）如图2，若 ＝26°，则∠BOP＝ ，∠AOM+∠BOQ＝ ；
α α
（2）若射线OC是∠BOM的角平分线，且∠POC＝ °
α
①若△AOB旋转到图3的位置，∠BON的度数为多少？（用含的代数式表示）
β
②△AOB在旋转过程中，若∠AOC＝2∠AOM，求此时 的值．
β19．（2021秋•平昌县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求
证：CF平分∠BCD．
（3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上
取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求 的值．20．（2021秋•丰泽区期末）已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在
直线AB、CD之间，连接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如图①．
（1）若∠PMA＝ 、∠PQC＝ ，求∠NPQ的度数（用含 ， 的式子表示）；
（2）过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，如图
α β α β
②，请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接EN，如图③，若∠NEF＝ ∠PMA，求证：NE平分∠PNQ．21．（2021秋•鲤城区校级期末）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形
直尺DEFG的EF边上．
（1）填空：∠1＝ °，∠2＝ °；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，
①请直接写出∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的 倍，求n的值．
（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直
线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的
那两条垂线；如果不存在，请说明理由．22．（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
【基础尝试】
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
【画图探究】
（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的
关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
【拓展运用】
（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．23．（2020春•玄武区期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应
相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝ ．
（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．
α
（2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ ．探索 与
α
的数量关系，并说明理由．
α β α β
（3）如图③，若 ＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线
EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n
α γ γ
（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出 的
度数．（可用含有m的代数式表示）
γ
24．（2021秋•南京期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOB＝80°，则∠BOC＝ °，∠AOD＝ °；
（2）如图②，若∠AOB＝140°，求∠AOD的度数；（3）若∠AOB＝n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范
围．
25．（2021秋•东洲区期末）如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分
∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是 ．
（2）若∠AOC＝72°，求∠DOE的度数；
（3）当∠AOC＝x时，请直接写出∠DOE的度数．
26．（2021秋•淅川县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧
以O为顶点作∠DOE＝90°．
（1）若∠AOE＝48°，那么∠BOD＝ ；∠AOE与∠DOB的关系是 ．
（2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．27．（2021春•大连期末）如图，点D是∠BAC外一点，过点D作DE∥AB交AC于点F，以DE
为边作∠EDG．
（1）若DG∥AC，则∠BAC与∠EDG的数量关系是 ；
（2）若DG与直线AC交于点P（点P不与点A、F重合），用等式表示∠BAC，∠EDG，
∠APD三者之间的数量关系，画出相应的图形，并给出其中一种情况的证明．
28．（2021春•桂林期末）已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b
上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E．（1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作
EG∥AB）；
（2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当
∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数．
（3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于
点F，设∠ABC＝ ，∠ADC＝ ，用含有 ， 的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果
即可）
α β α β
29．（2021春•黄冈期末）已知：AB∥CD．
（1）如图①，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明∠AEC＝∠A+∠C．
（2）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为 ．（请直接写出答案）
30．（2021春•红谷滩区校级期末）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度
数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，
HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
