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第一章 丰富的图形世界压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．如图1是一个正方体的展开图，该正方体按如图2所示的位置摆放，此时这个正方体朝
下的一面的字是（ ）
A．中 B．国 C．梦 D．强
【答案】B
【分析】动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解．
【详解】解：由图1可得，“中”和第三行的“国”相对；第二行“国”和“强”相对；
“梦”和“梦”相对；
由图2可得，此时小正方体朝下面的字即为“中”的相对面对应的字，即为“国”．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题．
2．下列四个图形中是如图所示的展开图的立体图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由展开图可知含小黑正方形的面不能与含大黑正方形的面相邻，所以A，C不是展
开图所对应的立体图；折叠后三个小黑正方形在同一面，这样D不符合；在A图中，正好
是大黑正方形在上面，那么含小黑正方形就在底面，B符合；
故选B．
3．如果一个物体有七个顶点七个面，那么这个物体一定是（ ）A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．七棱锥
【答案】C
【详解】试题分析：一个物体有七个顶点，棱柱的顶点个数都是偶数且为底面多边形边数
的2倍，而棱锥的顶点个数就是底面多边形边数加1.有7个顶点则是棱锥，且为六棱锥．
故选C.
4．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与 重合的数字
是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【分析】当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，
1与13重合、2与4重合、5与7重合、10与12重合，右面一个正方形折成正方体的盖，
此时8与2、4的重合，9与1、13的重合．
【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，与4重合的数字是2、8.
故选：D．
【点睛】本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力．
5．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（ ）
A．7个 或8个 B．8个或9个
C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个
【答案】D
【详解】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点
个数分别为：7个、8个、9个或10个.
故选D.
6．下列说法中正确的是（ ）．
A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是②
C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形
D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上
（2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点
（3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形
【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误；
B、如图所示：
C、如图所示：
故选：C．
【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的的立方图纸，解决这种题目的
方法是要多做、多画．
7．如图所示图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意带“田”字的不是正方体的平
面展开图．
【详解】解：A、B、D都是正方体的展开图，故选项错误；
C、带“田”字格，由正方体的展开图的特征可知，不是正方体的展开图．
故选：C．
8．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．长方体
【答案】D
【分析】根据圆锥、圆柱、球体、长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何
体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【详解】A、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，椭圆，抛物线，双曲线
的一支，三角形，故A选项错误；
B、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形只能是圆，椭圆，长方形，故B选项错误；
C、用一个平面去截一个球体，得到的图形可能是圆，故C选项错误；
D、用一个平面去截一个长方体，得到的图形可能是五边形，长方形，三角形，故D选项
正确．
故选D．
【点睛】此题考查立体图形，会识别图形的形状，学生有空间立体感很关键，培养学生的
空间想象能力.
9．如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“ ”，若沿图中的粗线将其剪
开展成平面图形，这个平面图形是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据无盖可知底面M没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形位于
底面与侧面的从左边数第2个正方形下边，然后根据选项选择即可．
【详解】∵正方体纸盒无盖，
∴底面M没有对面，
∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，
∴底面与侧面的从左边数第2个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一
定相隔一个正方形可知，只有A选项图形符合．
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题．
评卷人 得分
二、填空题
10．一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个数之和相等，如
图所示，能看到的数为7，10，11，则这六个整数的和为 .
【答案】57
【分析】根据六个面上的数是连续整数可得另外三个面上的数有两个是8，9，再根据已知
数有10，11可知另一个数不可能是6，只能是12，然后求解即可．
【详解】解：∵六个面上分别写着六个连续的整数，∴看不见的三个面上的数必定有8，9，
若另一个面上数是6，则10与7是相对面，与题不符，
所以，另一面上的数是12，
此时7与12相对，
8与11相对，
9与10相对，
所以，这六个整数的和为3×（10+9）=57．
故答案是：57．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题，难点在于确定出看不见的三个面中有一个是12．
11．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1 和6，2和5，3 和4）放置于水平桌面上，
如图 1．在图 2 中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成
一次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成3次变换后，
骰子朝上一面的点数是 ；连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的点数
是 ．
【答案】 3 6
【详解】试题分析：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以2015÷3=671......2，所以连
续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是3，连续完成2015次变换后，骰子朝上一面的
点数是6．故答案为3，6．
考点：规律型．
12．如图，一圆柱体的底面周长为 ，高 为 ， 是直径，一只蚂蚁从点 出
发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短路程是 ．
【答案】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知AC长即昆虫爬行的最短路程，再利
用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
此时考虑从 线路这一情况，
， ，
所以这一线路的路程为 ，
故蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 的最短路程是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的
关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
13．一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成
块蛋糕，十刀最多可切成 块（要求：竖切，不移动蛋糕）．
【答案】 16 56
【详解】当切1刀时，块数为1+1=2块；
当切2刀时，块数为1+1+2=4块；
当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；
…
当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+ .
n=5代入公式得16,
n=10,代入公式得56.
点睛：找规律题需要记忆常见数列
1，2，3，4……n.
1，3，5，7……2n-1.
2，4，6，8……2n.
2，4，8，16，32……2n.
1，4，9，16，25……n2.2，6，12，20……n(n+1).
学会常见数列的变形，才能具体问题找到规律.
14．已知一圆锥的侧面展开图的面积为15πcm2，母线长为5 cm，则圆锥的高为
cm．
【答案】4
【详解】试题分析：圆锥的侧面展开图为扇形，母线就是扇形的半径，由扇形的面积公式
S= ，可以得到扇形的弧长 = =6 ,扇形的弧长也就是圆锥的底面圆的周长，所以
由圆的周长公式C= 可以求出底面圆的半径r=3cm,因此底面半径和母线和圆锥的高构成
了一个直角三角形，其中斜边为母线，所以圆锥的高由勾股定理可以求得h=
=4cm,故答案为4
点睛：本题主要考查考生空间想象能力，以及对扇形的面积公式S= 的掌握，运用．知
道圆锥侧面展开图是扇形，并且扇形的弧长即为圆锥底面周长．由此求得底面半径，底面
半径，高及母线构成直角三角形，此为难点及易考点．
15．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、
第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ．
【答案】路
【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和
“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和
“路”是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、
“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．
所以答案是路．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
16．如图1，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体．(1)设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为S′，那么S′与S的大小关系是(
)
A．S′＞S B．S′＝S C．S′＜S D．不确定
(2)小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为c，图2中几何体各棱的长度之和为c′，
那么c′比c正好多出大正方体3条棱的长度．”若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长
为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？
解：由题意得6x＝3，解得x＝ ，所以x为 时，小明的说法才正确．
【答案】B
【详解】试题分析：（1）截去三个正方形的面，还露出三个正方形的面，所以相等；
（2）关系式为：6×小正方体的棱长=3．
试题解析：（1）都等于原来正方体的面积，故选B；
（2）由题意得：6x=3，
∴x= ，
所以x为 时，小明的说法才正确．
17．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如下,其中
阴影部分为内部粘贴角料(单位:毫米).
(1)此长方体包装盒的体积为 立方毫米(用含x,y的式子表示).
(2)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 ,则当x=40,y=70时,制作这样一个长方
体共需要纸板多少平方毫米?
【答案】(1)65xy;(2)23880mm2.
【详解】试题分析：（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽
为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积=长×宽×高即可求解；
（2）由于长方体的表面积=2（长×宽+长×高+宽×高），又内部粘贴角料的面积占长方体表
面纸板面积的 ，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积=（1+ ）×长方体的表面积．
试题解析：(1) 由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，则长方体包装盒的体积为：65xy立方毫米，
故答案为65xy；
(2)因为长方体的长为y毫米，宽为65毫米，高为x毫米，
所以长方体的表面积=2(xy+65y+65x)平方毫米，
又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 ，
∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积=（1+ ）×2（xy+65y+65x）= （xy+65y+65x）=
xy+156y+156x（平方毫米），
∵x=40，y=70，
∴制作这样一个长方体共需要纸板 ×40×70+156×70+156×40=23880平方毫米．
【点睛】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积与表面积公式，解题关键是掌握
立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．
18．观察下列多面体，把下表补充完整，并回答问题.
（1）根据上表中的规律推断，十四棱柱共有___个面，共有___个顶点，共有____条棱.
（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为____棱柱.
（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有____个侧面，共有___个面，共有____
个顶点，共有_____条棱.
（4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式．
【答案】填表见解析；（1）16，28，42；（2）二十八；（3）n，n+2，2n，3n；（4）
a+c-b=2．
【详解】试题分析：
棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
边数为n的棱柱，有3n条棱，有2n个顶点，有(n+2)个面.试题解析：
填表如下：
（1）16 28 42.
（2）二十八.
（3）n n+2 2n 3n.
（4）a+c-b=2．
点睛：首先要理解棱柱的组成，两个底面互相平行，侧面都是四边形，并且相邻两个四边
形的公共边都互相平行，根据棱柱的构成则可以得到边数为n的棱柱的顶点数是：上底面
的n个顶点+下底面的n个顶点=2n个；面数是：1个上底面+1个下底面+n个侧面=(n+2)个；
棱数是：上下底面与侧面相交的棱有2n个+侧面相交的棱有n个=3n个.
19．如图①是一张长为18 ，宽为12 的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长
为 的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图②），请回答下列问题：
（1）折成的无盖长方体盒子的容积 ；（用含 的代数式表示即可，不需化简）
（2）请完成下表，并根据表格回答，当 取什么正整数时，长方体盒子的容积最大？
1 2 3 4 5
160 ________ 216 ________ 80
（3）从正面看折成的长方体盒子，它的形状可能是正方形吗？如果是正方形，求出 的值；
如果不是正方形，请说明理由．【答案】（1） ；（2）224，160；（3）不可能是正方形，理由见解析
【分析】本题考查的是长方体的构造：
（1） 根据题意，分别表示出来长方体的长、宽、高，即可写出其体积；
（2） 根据给到的x的值求得体积即可；
（3） 列出方程求得x的值后，即可确定能否为正方形．
【详解】（1）
（2）224，160
当 取2 时，长方体盒子的容积最大
（3）从正面看长方体，形状是正方形时，有
解得
当 时，
所以，不可能是正方形
【点睛】本题考查了简单的几何题的三视图的知识，解题的关键是根据题意确定长方体的
长、宽、高，之后依次解答题目．
20．某学校设计了如图的一个雕塑，取名“阶梯”，现在工人师傅打算用油漆喷刷所有的
暴露面．经测量，已知每个小正方体的棱长为0.5 m，请你帮助工人师傅算一下，需喷刷油
漆的总面积是多少？
【答案】7.25m2
【分析】分别得到这个几何体从前面看，从左面看，从上面看时的图形，则可得到这个几
何体的5个裸露面的面积．
【详解】解：从三个方向看物体得到的形状图如图，则从正面与从左面看到的形状图的面
积都是0.5×0.5×6=1.5（m2），从上面看到的形状图的面积是0.5×0.5×5=1.25（m2）．因为暴露的面是从前、后、左、右、上看到的面，从左面看到的形状图和从右面看到的形
状图的面积是一样的，从前面看到的形状图和从后面看到的形状图的面积是一样的，所以
需喷刷油漆的总面积为1.5×4+1.25=7.25（m2）．
【点睛】这个几何体共有六个方向，底面不是暴露面，其它几面都是暴露面，前后两面的
面积可以通过从前面看的图形得到，左右两面的面积可以通过从左面看的图形得到，上面
的面积可以通过从上面看的图形得到．
21．如图是某几何体从三个方向分别看到的图形．
(1)说出这个几何体的名称；
(2)画出它的一种表面展开图；
(3)若图①的长为15 cm，宽为4 cm；图②的宽为3 cm；图③直角三角形的斜边长为5
cm，试求这个几何体的所有棱长的和是多少？它的侧面积是多大？
【答案】(1)三棱柱；(2)见解析；(3)棱长和为69 cm，侧面积为180 cm2
【详解】试题分析：（1）根据三视图的形状直接判断即可；
（2）根据（1）的结论，画出表面展开图即可；
（3）根据题意和侧面展开图，可知侧面棱长（宽×2）为4+3+5=12cm，长为15cm（共3
条），然后可求棱长和；再根据长方形的面积公式分别求解，再求和即可.
试题解析：(1)三棱柱;
(2)如下图所示;(3)棱长和为(3+4+5)×2+15×3=69(cm);
侧面积为3×15+4×15+5×15=180(cm2)
22．如图，在一次数学活动课上，张明用17个底面为正方形，且底面边长为 ，高为 的
小长方体达成了一个几何体，然后他请王亮用尽可能少的同样的长方体在旁边再搭一个几
何体，使王亮所搭的几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（即拼大长方
体时将其中一个几何体翻转，且假定组成每个几何体的小长方体粘合在一起）.
（1）王亮至少还需要 个小长方体；
（2）请画出张明所搭几何体的左视图，并计算它的表面积（用含 的代数式表示）；
（3）请计算（1）条件下王亮所搭几何体的表面积（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）19
（2） ，
（3）
【分析】（1）确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需
小立方体的数量，求差即可．
（2）根据图形，画出左视图,计算表面积即可.
（3）画出王亮所搭几何体的俯视图，即可求出表面积.
【详解】（1）∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体 个，
∵张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36−17=19个小立方体.
（2）张明所搭几何体的左视图有三列，第一列有4个长方形，第二列有2个长方形，第三列有1个长方形：
表面积为：
（3）王亮所搭几何体的俯视图如图所示，图中数字代表该列小正方体的个数.
故王亮所搭几何体的表面积为：
【点睛】本题主要考查的是由三视图判断几何体的知识，能够根据题意确定出两人所搭几
何体的形状是解答本题的关键；
23．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形
状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：
（1）俯视图中b=__________，a=__________．
（2）这个几何体最少由__________个小立方块搭成．
（3）能搭出满足条件的几何体共__________种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多
时几何体的左视图．（为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例： ）．
【答案】（1）1；3（2）9（3）7
【详解】试题分析：（1）由主视图可知，第2列小正方体个数都为1，所以b=1,，第三列
小正方体个数为3，所以a=3；（2）正方体个数最少时，第一列正方体个数为：1+1+2=4
个，第2列正方体个数为：1+1=2个，第3列正方体个数为：3个，一共有：4+2+3=9个；
（3）第2列正方体个数确定为：1+1=2个，第3列正方体个数确定为：3个，第1列正方
体情况可能为：①d=1，e=1，f=2；②d=1，e=2，f=1；③d=2，e=1，f=1；④d=2，e=2，
f=1；⑤d=2，e=1，f=2；⑥d=1，e=2，f=2；⑦d=2，e=2，f=2，共7种情况，当d=2，
e=2，f=2时小立方块最多，左视图如图所示.
试题解析：
（1）b=1，a=3；
（2）1+1+2+1+1+3=9个；（3）共7种情况，当d=2，e=2，f=2时小立方块最多.
此时，左视图为：
点睛：掌握三视图的画法，并会根据三视图判断对应的正方体的个数.
