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第一章 勾股定理压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则 ABC的面积是
A．126 cm2 或66 cm2 B．66 cm2 C．120 cm2 D．
△ △
126cm2
2．如图所示，在 中， ， ， .分别以 ， ， 为直
径作半圆（以 为直径的半圆恰好经过点 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．6
3．刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论
上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，
都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（ ）．
A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《孙子算经》 D．《海岛算经》
4．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S，以CD为斜边作等腰直角三角形，
1
以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S，…按照此规律继
2
续下去，则S 的值为（ ）
2016
A．（ ）2013 B．（ ）2014 C．（ ）2013 D．（ ）20145．如图，是一长、宽都是3 cm，高BC＝9 cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC＝
BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是( )
A．6 cm B．3 cm C．10 cm D．12 cm
6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S，S，S．若S+S+S＝12，则下列
1 2 3 1 2 3
关于S、S、S 的说法正确的是（ ）
1 2 3
A．S＝2 B．S＝3 C．S＝6 D．S+S＝8
1 2 3 1 3
7．如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连
接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S ，则图中阴影部
正方形ABCD
分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我
国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图
2），连接 ，并延长 交 于点K，连接 ．若 ，则 的
长为（ ）A． B．2 C． D．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离
为 米，顶端距离地面 米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面 米，则小巷的宽度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝ ，
AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝ ；④△COF的面积是 ．
其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④
评卷人 得分
二、填空题
11．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与
△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ．12．折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为290mm，宽为200mm的白纸，如图
所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边
A′B′与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，
使EM与MF重合，从而获得边HG与A′B′的距离也为x），则PD= mm．
13．如图，点 在直线 上， ， ． 为射线 上的动点，连接 ，
将线段 绕点 逆时针旋转 至 ，以 为斜边作等腰 ．若点 在直线
上，则 的长是 ．
14．如图，已知 中， ，D是 的中点， 于点E；连接 ，则
下列结论正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
① ； ②当E为 中点时， ﹔
③若 ，则 ； ④若 ，则 面积的最大值为2．
15．如图，在四边形 中， ， 是 上一点， ，
， ．16．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长
和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，
到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.1米）
17．如图，在 中， ，点E是 的中点，动点P
从A点出发以每秒 的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当
， APE的面积等于12．
△
18．如图，一个长方体纸箱，长是6，宽和高都是4，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶
点B，它所走的最短路线的长是 ．
评卷人 得分
三、解答题
19．图1，图2中的每个小正方形的边长都是1，
（1）在图1中画出一个面积是2的钝角三角形，并写出它的三边的长．
（2）在图2中画出一个面积是5的正方形，并写出它的边长．
20．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫
想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；
(2)试求小虫爬行的最短路程．
21．已知： 与 之间有一点 ，点 在 上，点 在 上，连接
．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，在 上点 的右边有点 ，连接 ，且 平分 ，
在 的延长线上有点 ，连接 ，其中 ，求
的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3， 与 交于点 与 交于点 ，连接 ，
其中 ，点 在 上，连接
，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，试求 的
面积．22．在 和 中， ， ， ，点E在 内
部，直线AD与BE交于点F．
(1)如图（1），当点D、F重合时，则AF，BF，CF之间的数量关系为______；
(2)如图（2），当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立；
(3)如图（3），在 和 中， ， ， （k是
常数），则线段AF，BF，CF之间满足什么数量关系，请说明理由．
23．已知△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，BD与DF均为斜边（BD＜DF）．
（1）如图1，B，D，F在同一直线上，过F作MF⊥GF于点F，取MF=AB，连结AM交
BF于点H，连结GA，GM．
①求证：AH=HM；
②请判断△GAM的形状，并给予证明；
③请用等式表示线段AM，BD，DF的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，GD⊥BD，连结BF，取BF的中点H，连结AH并延长交DF于点M，请用
等式直接写出线段AM，BD，DF的数量关系．
24．如果一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，那么称这个三角形为“和谐三角形”．
（1）请用直尺和圆规在图1中画一个以线段AB为一边的“和谐三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°，AB= ，BC= ，请你判断△ABC是否是“和谐
三角形”？证明你的结论；
（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为1，动点M，N从点A同时出发，以相同速度分
别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点M经过的路程为S，当△AMN为“和
谐三角形”时，求S的值．
25．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且
CD＝AB．
（1）求BD的长度；
（2）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．
①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；
②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．
（3）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M为AC
的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．
26．如图，在Rt ABC中，∠ABC=90° ，∠ACB=30° ，AD平分∠BAC， BD= ，点
△P为线段AC上的一个动点
(1)求AC的长
(2)作△ABC中∠ACB的角平分线CH，求BH的长
(3)若点E在直线1上，且在C点的左侧，PE=PC， AP为多少时，△ACE为等腰三角形?
