文档内容
北师大版（2024）第一章《勾股定理》1.1探索勾股定理2教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 探索勾股定理2
1、深化理解与初步应用：在第一课时（侧重于定理的发现或初步验证）的基础上，进一步加深对
勾股定理的理解，并开始学习如何运用它来解决具体问题。
课标
要求 2、掌握基本计算方法：能够根据直角三角形的已知两边，准确计算出第三边的长度。这包括已知
两条直角边求斜边，以及已知一条直角边和斜边求另一条直角边。
本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体
教材 学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问
分析 题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力 ，为后面的学
习打下基础.
学生的知识技能基础：学生在上节课已经通过测量和数格子的方法，对特殊的直角三角形
进行了探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行一般性的验证.
学情
学生活动经验基础：学生具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探
分析
究能力和合作与交流的能力；尤其在在七年级《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动
经验.
1.了解勾股定理的历史,感受数学文化;
2.探究验证勾股定理的方法:等面积,两算法;
核心
素养 3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.
目标
4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能
力和合作精神.
教学 利用勾股定理解决简单的实际问题
重点
教学 验证勾股定理的方法
难点
教学 准备4个相同的直角三角形与相应课件。
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1、回顾知 唤 醒 记 忆
1、上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内 识，思考问 为 新 授 做
容是什么？ 题， 好准备。
2．如何验证勾股定理呢 ？ 2、完成填
3.填空 空题。
（1）一个直角三角形两直角边分别是3、4，斜边是 5 。
（2）一个直角三角形的斜边是13，,其中一条直角边分别是5，另
一条直角边是 1 2 。
二、探究 合作探究，活动领悟 1、用4张完 利 用 课 前
1、小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以 全一样的直 准备的4张
斜边为边长的正方形． 看看有 几种拼法。 角三角形拼 完 全 一 样
2、作品展示 图。 的 直 角 三
2、用拼图 角 形 拼 成
（等面积、 一 个 正 方
1两算法）验 形，再根据
证 勾 股 定 等 面 积 两
理。 算 法 验 证
3、追溯历 勾股定理，
史，阅读教 这 样 设 计
材第 6-7 页 隐 藏 了 满
《漫画勾股 足 勾 股 定
世界》 理 的 使 用
条件。是学
3、小组合作验证勾股定理，利用图一、图二根据大正方形的面积
生 在 活 动
等于中间正方形面积+4个直角三角形的面积。
中 体 会 勾
4、小组合作利用下图验证勾股定理。
股 定 理 的
的 具 体 含
义，体现数
型 结 合 思
想。通过阅
读 漫 画 勾
股 世 界 激
发 学 生 的
5，追溯历史 热 爱 祖 国
①用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵 悠 久 历 史
爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方 文化情感，
形称为弦图 激 发 学 生
②2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标 奋发学习
的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既
标志着中国古代的数学成就 ，又像一只转动
的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！
③勾股定理与第一次数学危机
约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟
子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事
实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯
定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理
数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲
学信念大相径庭，而且建立在任何线段都可公度基础上的几何学
面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发。据说，毕达哥拉
斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后
将希帕索斯投入大海。
不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.
芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是
“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建
2立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。
④勾股定理的总统证法
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中
年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近
的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而
大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走
去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身
子用树枝在地上画着一个直角三角形……
于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下
的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，
并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾
股定理的这一证法。
1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后
来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。
6.据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法
吗？
四、变式 师生互动，变式深化 1、小组活 通 过 探 究
1、观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 动课本第 6 课本第6页
页，利用等 观 察 与 思
面积两算法 考，体会勾
探究满足勾 股 定 理 的
股定理的条 满足条件。
件。 通 过 例 题
2、自学例 的 学 生 让
题（课本第 学 生 体 会
5页） 勾 股 定 理
的价值。
结论：勾股定理使用的条件是直角三角形。
2、自学例题：课本第5页
五、尝试 【知识技能类作业】必做题： 学生完成必 引 导 学 生
1．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，则c的长是( 做题，教师 能 够 在 课
A ) 指导完成选 堂 练 习 的
A．5 B．10 C．12 D．14 做题和综合 完 成 过 程
2．如图，在Rt△ABC中，下列结论中正确的是( B ) 拓展作业。 中 对 要 点
知 识 加 深
A．AC2＝BC2＋AB2
巩固，有效
B．AB2＝BC2＋AC2
应用。
C．BC2＝AB2＋AC2
3D．以上结论都不正确
3．如果梯子的底端离建筑物5 m，13 m长的梯子可以达到该建筑
物的高度是( A )
A．12 m B．13 m C．14 m D．15 m
4．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为( B )
A．13 B．8 C．5 D．64
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝
4，则正方形ABDE的面积为( C )
A．18 B．36 C．65 D．72
【知识技能类作业】选做题：
6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49 cm2，则正方形
A，B，C，D的面积的和是 4 9 cm2.
【综合拓展类作业】
7.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形
ACEF，再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下
去，…，已知正方形ABCD的面积S 为1，按上述方法所作的正方
1
形的面积依次为S，S ，…，S(n为正整数)．
2 3 n
根据题意解答下列问题：
(1)第5个正方形的面积S ＝ 1 6 ；第9个
5
正方形的面积S＝ 25 6 ；
9
(2)求S＋S＋S＋…＋S 的值．
1 2 3 n
解：由S＋S＋S＋…＋S＝1＋2＋22＋…＋2n－1，①.
1 2 3 n
则2(S＋S＋S＋…＋S)＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)
1 2 3 n
＝2＋22＋23＋…＋2n，②
②－①得：S＋S＋S＋…＋S＝2n－1.
1 2 3 n
六、提升 适时小结，兴趣延伸 学生从知识 让 学 生 全
1.、验证勾股定理的方法: 内容、研究 面 把 握 本
等面积，两算法 方法以及运 节 课 的 重
2、勾股定理的运用 用过程三个 点和难点，
找准斜边，根据斜边的平方等于两直角边的平方和。 方面总结自 并 启 发 学
己的收获。 生 用 类 比
或 迁 移 的
方 法 学 习
后续课程。
4板书设计 勾股定理（ ）
1.、验证勾股定理的方法:
等面积，两算法
3、勾股定理的运用
找准斜边，根据斜边的平方等于两直角边的平方和。
作业设计 基础达标：
（课外练 1. 一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ A ）
习）
A．斜边长为5 B．三角形的周长为25
C．斜边长为25 D．三角形的面积为20
2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（ D ）
A．4 B．8 C．16 D．64
第3题 第4题
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝ 90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC
和正方形BCFG的面积和为( C )
5．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为 6. 5
6．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD，中间阴影部分是一个小正方形
EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 4
．
第6题 第7题
7．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2= 100cm 2 ．
能力提升：
8.在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为
1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S ，S ，S ，S ，则S ＋S ＋S ＋S ＝ 4 ．
1 2 3 4 1 2 3 4
5拓展迁移：
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
解答提示：设其中一条边为x,根据等量关系另一边用含有x的代数式表示。再
根据勾股定理列出方程求出x的值，问题得到解决。
参考答案：．(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34； (4)12．
教学反思
6
