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专题 02 勾股定理实际应用的三种考法
类型一、最短路径问题
例1．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为 ，沿其相邻三个面的对
角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面
从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P在墙面上，若
米，点P到 的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米．
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只
蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（
）cm．
A．25 B．20 C．24 D．10【变式训练2】如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一
根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁
从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米．
【变式训练3】棱长分别为 两个正方体如图放置，点P在 上，且 ，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
【变式训练4】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛
毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽 ，木块从
正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短
路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中
用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接 ．
(2)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是_____．
(3)问题解决：如图②，展开图中 _____， _____．
(4)这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程是_____．类型三、特殊将军饮马问题
例．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一
滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂
蜜的最短距离为 多少cm？
【变式训练1】如图， ， 两个工厂位于一段直线形河的异侧， 厂距离河边 ，
B厂距离河边 ，经测量 ，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理
厂 ．
(1)设 ，请用 的代数式表示 的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想
的最小值为多少？【变式训练2】如图，点 、 在直线 的同一侧， 于点 ， 于点 ，
， ．点 是直线 上的一个动点， 的最小值为 ，
的最大值为 ，则 的值为 ．
类型二、台阶问题
例．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至
少需要地毯（ ）
A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m
【变式训练1】如图是楼梯的一部分，若 ， ， ，一只蚂蚁在A处发现
C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式训练2】如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 ，A和B是
这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿
着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．课后训练
1．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部
4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，
若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（ ）cm．
A．9 B．10 C．18 D．20
2．如图，在 中， ， ，点E的边 上， ，点P
是线段AC上一动点，点F是线段 上一动点， ．当 的值最
小时，
3．在一张长 ，宽 的长方形纸片上，如图放置一根直棱柱的木块，它
的底面为正方形，它的侧棱平行且大于纸片的宽 ，一只蚂蚁从点A处到点C处走的最
短路程是 ，则该四棱柱的底面边长是 ．
4．棱长分别为 的两个正方体如图放置，点 ， ， 在同一直线上，顶点 在棱
上，点 是 的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点 爬到点 ，它爬行的最短距
离是 ．5．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一
圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
