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专题 01 勾股定理与几何综合的三种考法
类型一、翻折问题
例1．（三角形折叠）如图，三角形纸片中， ， ， ，折叠这个
三角形，使点B落在 的中点D处，折痕为 ，那么 的长为___________．
例2．（四边形折叠）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC
上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线
翻折得到△ ，当点 恰好落在直线MN上时，CE的长为_______．
【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ，点 和 分别是 和
上两点，连接 ，将 沿 折叠，得到 ，点 恰好落在 的中点处，
与 交于点 ，则折痕 的长度为（ ）
A． B． C． D．【变式训练2】如图， 纸片中， ， ， ， ，点D
在边BC上，以AD为折痕 折叠得到 ， 与边BC交于点E，若 为
直角三角形，则BD的长是______．
【变式训练3】如图，在正方形 中， ，点 是 的中点，连结 ，则
______；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连
结EF，则 ______．
类型二、最值问题
例1．（垂线段最值）如图， 中， ， ， ，点 在
上，将 沿 折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ，则 的最大值
为________．例2．（几何意义最值）求代数式 的最小值_____．
例3．（将军饮马最值）如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作 ，连接
AB，AC，E是线段AD上的一点，且 ，连接EB，EC，已知 ， ，
则 的最小值为________．
【变式训练1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接
AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 的最小值．
【变式训练2】小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，
， ， ，现在小明想用一个最
小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ）
A． B． C． D．
类型三、解三角形问题
例1．如图，在 中， ， ，点D在AC上，且 ，点E是
AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当 时，
线段DE的长为（ ）．
A． B．2 C． D．4
例2．如图，在 中， ，点 、 分别为 、 边的三等分点（靠近点 ），已知 ， ，则斜边 的长为_________．
【变式训练1】如图，四边形 中， ， ． ，若
，则 的长为______．
【变式训练2】如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作
△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′
于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝___．
【变式训练3】如图， 与 均为直角三角形，且 ，
， ，点E是 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
课后训练
1．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上点F处，已知 ，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
2．如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 恰好落在
边 上，与点 重合， 为折痕，则 的长等于__________．
3．如图所示，将一张矩形纸片 先沿着 折叠，使点A刚好落在 边上点G处，
再沿着 折叠（其中点F为 上的一点），使点C恰好落在 上点H处，连接 ，
若 ，且 ，则 ______．
4．如图，在等腰直角 中， ， ，将 沿某直线翻折，使得点
落在 的中点上，如果折痕与 的交点为 ，那么 的长为______．5．如图，在 中， ，D在 上，将 沿直线
翻折后，点A落在点E处，如果 ，那么 的面积是___________．
6．如图，在四边形 中， ，连接 ，若
，则 ______．
7．如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，点A、D关于直线 的对
称点分别是点M、N．如果直线 恰好经过点C，那么 的长是__________．
8．如图，在四边形 中， ， ，垂足为E， ，
，若 ， ，则AD的长为___________．
9．如图，如果四边形 中， ， ， ，且 ，
， ，则 ______．10．如图，在矩形 中，已知 将矩形 折叠，使点 与点 重合，折痕
为 连接 的面积与 的面积比为 ，则 的值为______________．
11．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的.首先将 沿高 折叠，使点
落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处.若图中
， ， ，则 的长为______.
12．如图，矩形 中， ， ，点 为 上一个动点，把 沿 折叠，
当点 的对应点 落在 的角平分线上时， 的长为______．
