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专题 01 勾股定理与几何综合的三种考法
类型一、翻折问题
例1．（三角形折叠）如图，三角形纸片中， ， ， ，折叠这个
三角形，使点B落在 的中点D处，折痕为 ，那么 的长为___________．
【答案】7
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，由 ， ，
，可得AC的长，由点D是AC的中点，可得CD的长，再根据直角三角形的性质，
可求得DG，CG的长，进而可得BG的长，设BF=x，则FG= -x，FD=BF=x，在△DFG
中，由勾股定理列方程可求得答案．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，
∵ ， ，
∴ ，
在Rt△AHC中，∠C=30°，
∴AC=2AH， ，
∴ ，
又∵点D是AC的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，设BF=x，则FG= -x，FD=BF=x，
在Rt△DFG中，由勾股定理可得，
，即 ，
解得x=7，
故答案为7
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、折叠的性质、勾股定
理等，准确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
例2．（四边形折叠）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC
上，且3AM＝AD，3BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线
翻折得到△ ，当点 恰好落在直线MN上时，CE的长为_______．
【答案】2.5或10
【分析】分两种情况： 点在线段 上；点 在 的延长线上．分别由折叠性质勾股定
理，矩形的性质进行解答．
【详解】解：设 ，则 ，
当 点在线段 上时，如图1，
矩形 中， ，BC=6，
， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，且 ， ，
，
四边形 为平行四边形，，
四边形 是矩形，
，
由折叠知， ，
，
，
，
，
，
解得， ，即 ；
当 点在 的延长线上时，如图2，
矩形 中， ，BC=6，
， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 是矩形，
，
由折叠知， ，
， ，
， ， ，
解得， ，即 ；综上， 或10．
故答案为：2.5或10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，一元一次方程的应用，折叠的性
质，关键是分情况讨论．
【变式训练1】如图，在等腰 中， ， ，点 和 分别是 和上两点，连接 ，将 沿 折叠，得到 ，点 恰好落在 的中点处，
与 交于点 ，则折痕 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在 Rt 中， 求出 ， 设 ， 则 ，
在 中， 由勾股定理得 ， 求得 ， 在
中， 求出 ， 过点 怍 于点 ， 则 ，
设 ， 则 ， 在 Rt 中， ， 可求
， 在 Rt 中， ， 可求 ， 则
．
【详解】解∶ 由折叠可知， ，
等腰Rt 中， ，
，
是 的中点，
，
在Rt 中， ，
， 设 ， 则 ， 在 中，
，
， ， 在 Rt 中，
，
过点 作 于点 ，，
，
设 ， 则 ，
在 Rt 中， ，
在 Rt 中， ，
，
，
，
故选∶ C．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关
键．
【变式训练2】如图， 纸片中， ， ， ， ，点D
在边BC上，以AD为折痕 折叠得到 ， 与边BC交于点E，若 为
直角三角形，则BD的长是______．【答案】 或
【分析】根据勾股定理求得 的长，然后由翻折的性质可知： ，然后
分 和 两种情况画出图形求解即可．
【详解】解：∵ 纸片中， ， ，
∴ ，
∵以 为折痕， 折叠得到 ，
∴ ， ， ．
当 时，如图1所示，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
当 时，如图2所示， C与点E重合，∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得： ，∴ ，
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，
根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
【变式训练3】如图，在正方形 中， ，点 是 的中点，连结 ，则
______；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连
结EF，则 ______．
【答案】
【分析】可根据勾股定理求解 ；再根据折叠性质和勾股定理求得 ，再根据三
角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵在正方形 中， ，点 是 的中点，
∴ ， ， ，在 中， ；
由折叠性质得 ， ， ，∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，则 ,
∴ ，故答案为： ； ．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理，利用勾股定
理建立方程求解是解答的关键．
类型二、最值问题
例1．（垂线段最值）如图， 中， ， ， ，点 在
上，将 沿 折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ，则 的最大值
为________．
【答案】
【分析】首先利用勾股定理求出 ，然后确定 取最大值时 最小，然后利用垂线段
最短解决问题．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
， ，
当 最小时， 最大，
当 时 最小，
又 ，解得 ，
的最小值为 ，的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及点到直线最短距离、勾股定理求线段长、等面积法求
线段长等知识，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键．
例2．（几何意义最值）求代数式 的最小值_____．
【答案】10
【分析】把式子化为两点间距离公式，
，
即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 的距离之和，
设 关于 轴的对称点为 ，则 ，要求 的最小值，只需求
的最小值，根据线段的性质可得， 的最小值为线段 的长度，据此即可用勾股
定理求解．
【详解】解：把式子化为两点间距离公式，
，
即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点 、点 的距离之和，
如图所示，
设 关于 轴的对称点为 ，则 ，
要求 的最小值，只需求 的最小值，
根据线段的性质可得， 的最小值为线段 的长度，
， ，
，
即代数式 的最小值是10．
【点睛】本题考查的是勾股定理、用轴对称求最短路线问题的题目，掌握勾股定理和转化
思想的应用是解决此题的关键．
例3．（将军饮马最值）如图，点D是线段BC上的一个动点，过点D作 ，连接
AB，AC，E是线段AD上的一点，且 ，连接EB，EC，已知 ， ，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，并在该垂线上截取
，可证 ，得到 ，因此 ，当
与 在同一直线时， 为最小，过点 作 ，交 的延长线
于点F，构造出 ，利用勾股定理求出 的长，从而得到 的最小值．
【详解】如图，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，并在该垂线
上截取
∵ ，且
∴ ，
∵ ，
又
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴
如下图，当 与 在同一直线时， 为最小过点 作 ，交 的延长线于点F
∵ ， ，
∴四边形 为矩形
∴ ，
∴
∴在 中，
∴ 的最小值为 ，即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，三角形全等的判定与性质，勾股定理，正确作出辅
助线是解题的关键．
【变式训练1】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接
AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的值；
(2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？
(3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)5
(3)13
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 的最小值，
然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
（1）
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD
在 中，
∴AC＝ ＝ ，
CE＝ ＝ ，
∴AC+CE＝ ；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A作AF⊥DE交ED的延长线于F，
∴DF＝AB＝2，∴AE＝ ＝5，∴AC+CE的最小值是5；
（3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝
3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式 的最小值．
过点A作AF BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝ ＝ ＝13，
即 的的最小值为13．
【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式
的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
【变式训练2】小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，
， ， ，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，根据勾股定理
求出 ，再证明 得 ，从而进一步可得结论．
【详解】解：过点 作 ，过点 作 ，连接 交 于点 ，如图，
在 中， ，
在 中， ，
∴
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴
解得， ,
∴ ,
∴ ；
在 中， ，
在 中， ，
设 ，则同理可得， ，
解得， ，
∴
∴
∴
又 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴最小的圆形纸板的直径应当为 才能完全遮盖四边形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等
三角形是解答本题的关键．
类型三、解三角形问题
例1．如图，在 中， ， ，点D在AC上，且 ，点E是
AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当 时，
线段DE的长为（ ）．
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】连接DF，AF，EF，证明 ，根据全等三角形的性质得到，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接DF，AF，EF，
在 中， ， ，
，
点G是DE的中点，点F是BC的中点，
， ， ， ，
，
，
，
是直角三角形，且 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 中， ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性
质是解题的关键．
例2．如图，在 中， ，点 、 分别为 、 边的三等分点（靠近
点 ），已知 ， ，则斜边 的长为_________．【答案】
【分析】设 ， ，根据三等分点的定义可得 ， ，根据
， ， ，根据勾股定理可得 ，
，继而得到 ，最后再利用勾股定理得到 ，
代入计算即可得出结论．
【详解】解：设 ， ，
∵点 、 分别为 、 边的三等分点（靠近点 ），
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴斜边 的长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理，三等分点，求代数式的值，运用了整体代入的思想．灵活运
用勾股定理是解题的关键．
【变式训练1】如图，四边形 中， ， ． ，若
，则 的长为______．【答案】
【分析】过点 作 于点 ，证明 ，可得 ，根
据 ，得出 ，进而在 中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
【变式训练2】如图，在长方形ABCD中，点E是BC上一点，连结AE，以AE为对称轴作
△ABE的轴对称图形△AB′E，延长EB′恰好经过点D，过点E作EF⊥BC，垂足为E，交AB′
于点F，已知AB＝9，AD＝15，则EF＝___．【答案】5
【分析】由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，∠B′AE=∠BAE，然
后根据勾股定理可得DB，BE的长，进而可得EF的长．
【详解】解：由轴对称的性质可知：AB′=AB=9，∠AB′E=∠B=90°，B′E=BE，
∠B′AE=∠BAE，
在Rt△ADB′中，根据勾股定理，得
DB′= =12，
∵BC=AD=15，
∴EC=BC-BE=15-BE，
在Rt△DEC中，DE=DB′+B′E=12+BE，DC=AB=9，
根据勾股定理，得
DE2=EC2+DC2，
∴（12+BE）2=（15-BE）2+92，
解得BE=3，
∵EF⊥BC，AB⊥BC，
∴EF∥AB，
∴∠FEA=∠BAE，
∵∠B′AE=∠BAE，
∴∠FEA=∠B′AE，
∴FA=FE，
∴FB′=AB′-AF=9-FE，
在Rt△EFB′中，根据勾股定理，得
EF2=FB′2+EB′2，
∴EF2=（9-FE）2+32，
解得EF=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴
对称的性质．
【变式训练3】如图， 与 均为直角三角形，且 ，
， ，点E是 的中点，则 的长为（ ）A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据勾股定理和已知条件可得 ， ，证明 ，得出
，求出 ，利用勾股定理求出 ，即可得出答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
设 的延长线交于点F，如图，
则 ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则在直角三角形 中， ，
∴ ；
故选：B.
【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理、证明三角
形全等是解题的关键.
课后训练
1．如图，将矩形 沿直线 折叠，顶点D恰好落在 边上点F处，已知 ，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．30
【答案】D
【分析】根据矩形对边相等四角都是直角，折叠对应线段相等，得到 ，根据勾股定
理得到 ， ，推出 ，根据三角形面积公式即得答案．
【详解】解：设 ，
∵矩形 中， ，且 ，
∴ ，
∵ ， ，
由折叠的性质知， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ， ，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形，折叠，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角
性质，折叠图形全等性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式．
2．如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 恰好落在
边 上，与点 重合， 为折痕，则 的长等于__________．【答案】2.5
【分析】根据折叠得到 ， ，设 ，则 ，根据勾
股定理求得 的值，再由勾股定理可列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠可得 ， ，
设 ，则 ，
在 中， ， ，
在 中，由勾股定理得， ，解得
，故答案为：2.5
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不
变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．
3．如图所示，将一张矩形纸片 先沿着 折叠，使点A刚好落在 边上点G处，
再沿着 折叠（其中点F为 上的一点），使点C恰好落在 上点H处，连接 ，
若 ，且 ，则 ______．
【答案】
【分析】由翻折性质可得 ， 全等，由面积比可得
，在直角三角形 中可求 的长，由直角三角形 中可
求 ．
【详解】解：由折叠可得： ，
∵ ，∴ ，
由翻折可得： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵由翻折性质可得： ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了翻折图形性质，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是要熟
练掌握矩形的性质，勾股定理．
4．如图，在等腰直角 中， ， ，将 沿某直线翻折，使得点
落在 的中点上，如果折痕与 的交点为 ，那么 的长为______．
【答案】
【分析】作 ，由题意可得AD=3,根据翻折变换的性质可得 ≌ ，由
全等三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得AG=DG，再根据勾股定
理可得 ；设GM=x，则MB=DM= ，可根据AB=AG+GM+MB求得GM，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图， 折到 的中点 处，折痕为 ，作 ，
∴AD=CD=3
是 翻折而成，
≌ ，
∴DM=MB
∵等腰直角 中
，
∴AG=DG
∵作
∴ ,即 ,解得：
设GM=x，则MB=DM=
∵AB=AG+GM+MB
∴ ，解得：x=2
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、线段的和差等知识点，掌握
折叠和全等三角形的关系是解答本题的关键．
5．如图，在 中， ，D在 上，将 沿直线
翻折后，点A落在点E处，如果 ，那么 的面积是___________．【答案】1
【分析】先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到
∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED
得 ，所以∠CBF=∠BED=30°，在Rt BCF中可计算出 ， ，
则 ，在Rt DEF中计算出 ， ，然后利用
计算即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC= ，BC=1，
∴ ，
∴∠BAC=30°，
∵ ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，
∵AD⊥ED，
∴ ，
∴∠CBF=∠BED=30°，
在Rt BCF中， ， ，
∴ ，
在Rt DEF中， ， ，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形三边的关系，平行线的性质及折叠问
题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．
6．如图，在四边形 中， ，连接 ，若
，则 ______．
【答案】
【分析】先过点D作 于点E，求出 ， ，然后根据“
”证 ，得出 ， ，最后再根据勾股定理计算 即
可．
【详解】解：过点D作 于点E，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理的综合，正确构建辅助线证出
是解题的关键．
7．如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，点A、D关于直线 的对
称点分别是点M、N．如果直线 恰好经过点C，那么 的长是__________．
【答案】
【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，
连接 ，则有四边形 ，四边形 相当于四边形 沿 边对折得
到．
已知 ， ，则 ， ，
在 中，
，
则 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】主要考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点．
8．如图，在四边形 中， ， ，垂足为E， ，
，若 ， ，则AD的长为___________．
【答案】
【分析】延长 至F，使 ，连接 ，作 于H，如图所示：则
，证明 ，得出
，证出 ，得出 ，同理： ，设
,则 ，由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：延长 至F，使 ，连接 ，作 于H，如图所示：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，同理： ，
设 ,则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、平行线的性质等
知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，如果四边形 中， ， ， ，且 ，
， ，则 ______．
【答案】7
【分析】如图：在DC上取一点G，使 ，然后证明 可得 ，
；然后再证明 可得 ，设 ，即 ，
，最后在 运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：如图：在DC上取一点G，使 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴
设 ，即 ，
在 中，
∴ ，解得： ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三
角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
10．如图，在矩形 中，已知 将矩形 折叠，使点 与点 重合，折痕
为 连接 的面积与 的面积比为 ，则 的值为______________．
【答案】
【分析】首先过点N作 于点 ，证明四边形CDNG为矩形，由折叠性质，证明
四边形AMCN为菱形，由 的面积与 的面积比为 ，可得DN：CM=1:4，然
后设 由勾股定理可求得MN，进而求得答案.
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
四边形 是矩形，
四边形 是矩形， ，
由折叠的性质，可得 ．．
四边形 是平行四边形
四边形 是菱形．
的面积与 的面积比为
设 则
．
在 中， ．
在 中，
故答案为：
【点睛】折叠实质为几何图形中的轴对称变化，可以得全等的图形，相等的线段，相等的
角，结合条件平行，直角，可以得到等腰三角形，直角三角形，进而可以利用勾股定理，
相似等知识解决问题.
11．如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的.首先将 沿高 折叠，使点
落在斜边上的点 处，再沿 折叠，使点 落在 的延长线上的点 处.若图中
， ， ，则 的长为______.【答案】3
【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分
析求解.
【详解】解：由题意可知 ,
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ (等量替换)， （三线合一），
∴
利用勾股定理假设 的长为m， ，则有 ，
解得 ，
所以 的长为3.
【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以
及勾股定理分析是解题的关键.
12．如图，矩形 中， ， ，点 为 上一个动点，把 沿 折叠，
当点 的对应点 落在 的角平分线上时， 的长为______．
【答案】 或
【分析】连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作 交
于点 ，先利用勾股定理求出 ，再分两种情况利用勾股定理求出 ．
【详解】解：如图，连接 ，过 作 ，交 于点 ， 于点 ，作
交 于点点 的对应点 落在 的角平分线上， ，
设 ，则 ， ，
又折叠图形可得 ，
，解得 或 ，即 或 ．
在 中，设 ，
当 时， ， ， ，
，解得 ，即 ，
当 时， ， ， ，
，解得 ，即 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相
等的．
