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第二章 实数压轴题考点训练
评卷人 得分
一、单选题
1．在实数 ， ，0， ，2.10010001， 中，是无理数的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】 ，0，2.10010001是有理数；
， ， 是无理数．
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数
有：①π类，如2π， 等；②开方开不尽的数，如 ， 等；③具有特殊结构的数，如
0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个
1）
2．若二次根式 有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解： 二次根式 有意义，
，解得 ．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大
于等于0．
3．估算 值（ ）
A．在1到2之间 B．在2到3之间
C．在3到4之间 D．在4到5之间
【答案】A
【分析】先估计 的整数部分，然后即可判断 的近似值．
【详解】解： ，
故选A
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握无理数的估算是解题的关键．
4．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个自然数的算术平方根是( )．A．x＋1 B．x2＋1 C． D．
【答案】D
【详解】一个自然数的算术平方根是x，则这个自然数是 则它后面一个数的算术平方根
是 .
故选D.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，
故 C选项错误； ，故D选项正确，
故选D.
6．下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘法运算法则、合并同类二次根式、二次根式的除法运算法则逐
项判定即可．
【详解】解：A、根据二次根式的乘法运算法则 得 ，该
项不符合题意；
B、根据合并同类二次根式运算法则，知 不能合并，该项符合题意；
C、根据二次根式的除法运算法则 得 ，该项不符合题意；
D、根据合并同类二次根式运算法则，知 ，该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的相关运算，涉及到二次根式的乘法运算法则、合并同类二次
根式、二次根式的除法运算法则，熟练掌握二次根式相关公式是解决问题的关键．
7．对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下： （a+b＞0），如
，那么3*（6*3）＝（ ）
A．1 B．﹣3 C． D．2
【答案】A【分析】根据定义，先求出6*3的值，然后求出3*（6*3）的值即可．
【详解】解：∵ （a+b＞0），∴3*（6*3）＝3* ＝3*1＝ ＝1
故选：A
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数
的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
8．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25 B．49 C．64 D．81
【答案】B
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，
再由平方根的定义即可解答．
【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得：（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，解得x＝﹣
2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，所以a＝72＝49．故答案为B．
【点睛】本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关
键．
9．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为 时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为 ；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】D【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时， ，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说
法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开
方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
10．化简： 的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式化简 即可.
【详解】
故选D
【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
评卷人 得分
二、填空题
11．设面积为5的正方形的边长为x ，那么x=
【答案】
【详解】解：根据题意得x2=5，
∴x= ．
故答案为 ．
12．化简： ＝ ； ＝ ．
【答案】【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： = =
．
故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查了运用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题
的关键．
13． 的算术平方根是 ．
【答案】3
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【详解】 ＝|−9|＝9，
则 的算术平方根是 ＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14．计算（﹣1）2005﹣| ﹣2|+（﹣ ）﹣1﹣2sin60°的值为 ．
【答案】﹣6
【详解】试题分析：分别根据数的开方法则、负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及
特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 原式=
﹣1﹣（2﹣ ）﹣3﹣2×
=﹣1﹣2+ ﹣3﹣ =﹣6．
考点：(1)、实数的运算；(2)、负整数指数幂；(3)、特殊角的三角函数值．
15．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“ ” ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据已知将原式变形进而计算得出答案．
【详解】解：根据题意，
∵“ ” ，∴ ， ，……，
∴
=
=
=
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键．
16．将1、 、 、 按右侧方式排列.若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则
(5，4)与(9，4)表示的两数之积是 .
【答案】
【详解】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是： ，
（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4个就是： ，
∴(5，4)与(9，4)表示的两数之积是： =2 ．
故答案为2 ． ×
17．已知 ，则 的值为
．【答案】
【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把 代入所求
式子进行化简求值．
18．一个四位数 ，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上
的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵
，∴1537为“六秩数”．若 ， ，记 ，
则 ；若N是一个“六秩数”，且 是一个完全平方数，记
，则 的最大值与最小值的差为 ．
【答案】 6，8，4，3，
【分析】根据题意用 表示这个四位数，根据定义推出可能的值，计算
比较出最大值和最小值，计算即可．
【详解】设
∵
即
整理得故
根据题意N是一个“六秩数”，且 是一个完全平方数
则满足 ，且 是一个完全平方数
∵ 是一个完全平方数
故 或
当 时， ，根据 进行推算：
① ， ，此时 ，故
若 ， ，则
若 ， ，则
若 ， ，则
若 ， ，则
的最大值与最小值的差为
② ， ，此时 ，故
若 ， ，则
若 ， ，舍去
若 ， ，则
若 ， ，舍去
若 ， ，舍去
若 ， ，舍去
若 ， ，则
若 ， ，舍去
若 ， ，则
的最大值与最小值的差为
③ ， ，此时 ，故 ，舍去④ ， ，此时 ，故
若 ， ，则
若 ， ，舍去
若 ， ，舍去
若 ， ，舍去
若 ， ，则
的最大值与最小值的差为
⑤ ， ，此时 ，故
若 ， ，则
若 ， ，则
若 ， ，则
若 ， ，则
的最大值与最小值的差为
⑥ ， ，此时 ，故 ，舍去
⑦ ， ，此时 ，故 ，舍去
当 时， ，根据 进行推算：
① ， ，此时 ，故
若 ， ，舍去
若 ， ，则
若 ， ，舍去
若 ， ，则
若 ， ，舍去
的最大值与最小值的差为综上， 的最大值与最小值的差为6，8，4，3，
故答案为： ；6，8，4，3，
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是通过 且是一
个完全平方数，结合 进行推算，得到可能性的数值，计算 ．
评卷人 得分
三、解答题
19．计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的乘方性质可得 ,一个数平方的算术平方根意义可得
，立方根的定义可得 ,根据绝对值的性质化简绝对值可得: ,
然后再根据实数加减计算法则即可求解.
【详解】解：原式=
= .
【点睛】本题主要考查二次根式的性质,算术平方根,立方根的定义,绝对值的性质,解决本题
的关键是要熟练掌握二次根式的性质,算术平方根,立方根的定义,绝对值的性质.
20．阅读材料：像（ + ）（ ）＝3， • ＝a（a≥0），（ +1）（
﹣1）＝b﹣1（b≥0），……，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们
称这两个代数式互为有理化因式例如： 与 ， +1与 ﹣1，2 +3 与2 ﹣3
等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的
根号．
例如： ； ；
解答下列问题：
（1）3﹣ 与 互为有理化因式，将 分母有理化得 ．
（2）计算：2﹣ ；
（3）观察下面的变形规律并解决问题．
① ＝ ﹣1， ＝ ， ＝ ，…，若n为正整数，请你猜想： ＝ ．
②计算：（ + + +…+ ）×（ +1）．
【答案】（1）3+ ， ；（2）2﹣ ；（3）① ﹣ ；②2019．
【分析】（1）根据互为有理化因式的式子特征即可写出3﹣ 的有理化因式，将 分
子、分母同时乘 即可；
（2）将该式分母有理化，然后化简即可；
（3）①根据规律即可求出；
②根据以上规律化简并求值即可.
【详解】解：（1）3﹣ 与3+ 互为有理化因式，将 分母有理化得 ；
（2）原式＝2﹣ ﹣2 ＝2﹣ ；
（3）① ＝ ﹣ ；
②原式＝（ ﹣1+ +…+ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2020﹣1
＝2019．
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握分母有理化因式的定义和将分母有理化
是解决此题的关键.
21．计算
（1）
（2）
（3）
（4） （运用乘法公式简便计算）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）1
【分析】（1）利用单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方计算，再合并同类项；
（2）利用多项式乘以多项式，平方差公式计算，再合并同类项；
（3）分别计算各数，再作加减法；（4）先变形为 ，再利用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）
=
=
= ；
（2）
=
= ；
（3）
=
= ；
（4）
=
=
=1
【点睛】此题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
22．已知a，b为正实数，试比较 + 与 + 的大小.
【答案】 + ≥ +
【分析】化简（ab+ba ）-（a+b）为(a+b)(a−b)2ab，再由a、b为正实数可得(a+b)
(a−b)2ab≥0，从而得出结论．
【详解】解：作差，得：
（ + ）﹣（ + ）
=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）
= +
==
∵a、b为正实数
∴ ≥0
∴ + ≥ +
【点睛】本题考查的知识点是不等式比大小，解题关键是利用作差法求解.
23．（1）比较大小：① ______ ；② ______ ；③ ______ ．
（填“＞”、“＜”或“=”）
（2）观察上面的式子，请猜想 与 的大小关系，并说明理由．（其中 ，
）
【答案】（1）① ；② ；③ ；（2） ，理由见解析
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、算术平方根解决此题．
（2）根据完全平方公式、算术平方根、偶次方的非负性解决此题．
【详解】解：（1）① ， ，
．
故答案为： ．
② ， ，
．
故答案为： ．
③ ， ，
．
故答案为： ．
（2） ，理由如下：
，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性，
熟练掌握二次根式的乘法法则、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题
的关键．
24．在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知 ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵ ，
∴ ．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简 和 ；
（2）化简 ；
（3）若 ，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）5
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先将a的值化简为 ，进而可得到 ，两边平方得到 ，然后
利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）
故答案为： ， ；
（2）原式
；（3） ，
，
，
即 ．
．
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求
值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减
运算区分，避免互相干扰．
25．阅读材料：求值： ，
解答：设 ，
将等式两边同时乘2得： ，
将 得： ，即 ．
请你类比此方法计算：
．
其中n为正整数
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】 设 ，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，
变形即可求出所求式子的值；
同理即可得到所求式子的值．
【详解】解： 设 ，
将等式两边同时乘2得： ，
将下式减去上式得： ，即 ，
则 ；
设 ，
两边同时乘3得： ，
得： ，即 ，
则 ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，
运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．
26．材料一：对于一个四位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与
个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数为“和好数”．若和好数
（ ， ， ， 且a、b、c、d均为整数），规定将p
的十位数字与百位数字之差的3倍记为 ，即 ．
材料二：若一个数N等于另一个整数Z的平方，则称这个数N为完全平方数．
(1)请判断3264，5342是否是“和好数”，并说明理由；如果是，请计算 的值；
(2)若正整数s，t都是“和好数”，其中 ， ，（
， ， ， ，且m、n、x、y都是整数），当 的
值是一个完全平方数时，求满足条件的所有正整数s的值．
【答案】(1)5342是“和好数”，理由见详解；3
(2)4567
【分析】（1）依据“和好数”的定义和G(p)的定义即可判断求解；
（2）首先确定s、t的千位数、被位数、十位数和个位数，再依据“和好数”的定义找到
和 ，再根据相应的取值范围，确定符合条件的数组(m,n)和(x,y)，依据G(p)的
定义得到 ，再确定其取值范围，最后根据
是完全平方数即可求出符合条件的数组(m,x)，即可求出满足条
件的s．
【详解】（1）∵3+4≠6+2，∴3264不是“和好数”，
∵5+2=3+4，∴5342是“和好数”，∴G(5342)=3(4-3)=3；
（2）∵ ，且 ， ，
∴s的千位数是n，百位数是5，十位数是m+1，个位数是7，
又∵s是“和好数”，∴ ，即 ，
根据整数m、n的取值范围可知满足条件的数组(m,n)有：(2,1)、(3,2)、(4,3)、(5,4)、(6,5)、
(7,6)、(8,7)，则m可以取的数为：2、3、4、5、6、7、8，
∴ ，
∵ ，且 ， ，∴t的千位数是3，个位数是2y，
∵ ，
∴t的百位数是4，十位数是x-1，
又∵t是“和好数”，∴ ，即 ，
根据整数x、y的取值范围可知满足条件的数组(x,y)有：(2,1)、(4,2)、(6,3)、(8,4)，
则x可以取的数为：2、4、6、8，∴
∵ ，
由m、x的取值，可知 最大可以为30，
∵ 是一个完全平方数，
则 可以为30以内能被3整除的完全平方数，
即有： 为只能为9，即： ，得：m+2x=17，
∴根据整数m、x的取值范围可知满足条件的数组(m,x)只有：(5,6)，
∴m=5，x=6，∴n=4，y=3，
∴ ．
【点睛】本题主要是考查了二元方程的正整数解，理解“和好数”的定义和G(p)的定义是
解题的基础，利用题中正整数、完全平方数的限制条件最终确定m、n、x、y的值是解题的
关键．
