精5北师大版（2024）八年级数学上册第一章《勾股定理》解决问题的策略.反思教学设计_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25

北师大版（2024）第一章《勾股定理》解决问题的策略 反思教学设 计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一 课题 解决问题的策略 反思 课时 1 课标 1、通过勾股定理解决几何图形中的最短路径问题，培养空间想象能力和问题转化能力。 要求 2、结合实际情境（如折叠、展开图形、立体几何中的最短距离），灵活运用勾股定理计算最短距 离。 教材 本节课是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。既是七 分析 年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最 短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离；又是从立体图形侧面中来又回到立 体图形中去，也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。 学生已学过勾股定理及其逆定理，本节课利用所学知识解决实际问题。由于学生掌握知识比较 学情 零散，综合知识解决实际问题有点难度，数型结合思想渗透力度还不够，所以本节课教师要把培 分析 养学生的分析问题解决问题的能力放在首为，通过数型结合思想解决蚂蚁爬行路程最短的问 题。 1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。 核心 素养 2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。 目标 3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题 教学 重点是利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题 重点 教学 难点是如何寻找和计算最短距离。 难点 教学 课件及预习单 准备 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1、完成练习 回顾知识，为新 1.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 题。 授铺垫。 ∆ABC的为 直角 .三角形 2、回顾圆柱 2.如何判断一个三角形为直角三角形的方法 体的展开图 是：较短的两边平方和等于最长边的平方 3.两点之间 线段 最短.直线外一点到这条直线 可以画 无数 条线段， 其中 垂线段 最短。 4、圆柱体侧面展开是一个 长方形 。圆柱体的底面周 长是展开后 长方形 的 长，高是展开后 长方形 的 宽 。 1二、引新 创设情境，引入课题 学生思考已知 由有趣的实际问题 有一个圆柱，它的高等与12cm， 条件和所求问 引入，激发学生学 C B 底面上圆的周长等于 18cm。在 题，明晰目 习兴趣。由有趣的 D 圆柱下底面的点A有一只蚂蚁， 标。 实际问题引入，激 它想吃到上底面与 A 点相对的 发学生学习兴趣； 点B处的食物，沿圆柱侧面爬行 的蚂蚁怎样走最近？最近路程 A 是多少？ 问题理解 1、已知条件是什么？所求问题呢？ 【圆柱体的底面周长和圆柱体的高，蚂蚁爬行的最短距 离。】 2、爬行的线路可能有那些？什么情况下的线路最短？ 三、探究 合作探究，活动领悟 1、小组合作 教师黑板画图，寻 一、小组合作蚂蚁爬行的4种最基本的线路 蚂蚁爬行的最 找解决问题的策 1、 线路有几种。 略；引导学生把圆 2、分别计算 柱体侧面展开。根 d B A’ 每种线路的长 据两点之间线段最 度 短来确定蚂蚁爬行 3、小组交流 的线路，最终在直 A 2、 讨论线路3中 角三角形内利用勾 股计算最短距离这 的n中情况， 一过程，使学生再 不用计算可否 次领悟任何一个几 B 判断线路的长 A’ 何图形都是由基本 短。 元 素 “ 点 ” ， 4、探究小结 “线”，“面”构 3、 A 成，回归几何的本 质 在Rt△ABC中，由勾股定理可得， 蚂蚁爬行的路程=AE+EB≈17.41cm。 4 、 2在Rt△ABC中，由勾股定理可得， 所以蚂蚁爬行的路程15cm。 二、小组交流讨论 线路3中n中情况，不计算比较AE+EB、AF+FB、AB大 小，为什么？ AE+EB＞AF+FB＞AB 三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短 探究小结： 1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形 展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短”确 定爬行路线。 2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角 形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 四、变式 典例精析 2、自学例题 通过例题的学习使 例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 1 学生掌握解决问题 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物， 小组讨论例题 的策略。利用数学 它爬行的最短路线长为多少？ 2 中的“建模思想” 构造直角三角形。 体会分类讨论的数 学思想。 分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱 展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、 B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点 处，即AB长为最短路线.(如图) 解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 ÷2= 12， 3由勾股定理得 AB = AC + BC =169, ∴AB=13(m) 例题2：你能求出蚂蚁从A爬行到B的最短距离吗？ ①沿着棱爬行的距离： 12+8+6=26 ②沿前面和上面展开后对角线 ③沿前面和右面展开后对角线 ④沿左面和上面展开后对角线 ∴蚂蚁从A爬行到B的最短距离 五、尝试 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课 练习 堂练习的完成过程 1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ cm，高BC 中对要点知识加深 ＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆 巩固，有效应用。 柱的表面爬到P点的最短距离为（B ） A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm 4第 1题 第2题 2．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为 16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食 物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ B ）cm A．8 B．4 C．2 D．12 3．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形 的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点 A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边 长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ D ） A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm 第3题 第4题 4．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深 度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB 离岸边点C处的距离CD=0.8米．竹竿高出水面的部 AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿 顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为（ A ） A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米 能力提升： 5.如图,一根长90cm的灯管上,缠满了彩色丝带,已知可 近似地将灯管看作圆柱体,且底面周长为4cm,彩色丝带 均匀地缠绕了30圈,问:丝带共有多长? 解：方法一：30×4=120(cm) 方法二：90÷30=3cm 55×30=150cm 答：:丝带长150cm. 拓展迁移： 6.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上 百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如 图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点 C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分 别为AC=300Km,BC=400Km,AB=500Km，以台风中心为圆 心周围250km以内为受影响区域. （1）求∠ACB 的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到 点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点 F时，海港C刚好不受影响，则台风影响该海港持 续的时间有多长？ 解：（1） AC=300km，BC=400km，AB=500km. ∴AC2+BC2=AB2. ∵ ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°. （2）海港C受台风影响， 理由：过点C作CD⊥AB，如图 ∵AC=300km，BC=400km，AB=500km， ABC是直角三 角形. △ ∴AC×BC=CD×AB. ∴300×400=500×CD. ∴CD=240（km）, 以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域, 海港C受台风影响. ∵ ∴ 6(3)当EC=250km，FC=250km时，正好影响C港口. ∵ED=70（km）. ∴EF=140km. 台风的速度为20千米/小时. ∴140÷20=7（小时）. ∵ 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 六、提升 适时小结，兴趣延伸 学生谈收获及 引导学生从知识内 1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形 解决问题的方 容、研究方法以及 展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短”确 法和注意事 运用过程三个方面 定爬行路线。 项。 总结自己的收获， 2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角 让学生全面把握本 形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 节课的重点和难 点，并启发学生用 类比或迁移的方法 学习后续课程。 板书设计 解决问题的策略----最短距离问题 利用简洁的文字、 符号、图表等呈现 本节课的新知，可 以帮助学生理解掌 握知识，形成完整 的知识体系。 作业设计 基础达标： （课外练 1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ C ） 习） A. 11cm B. 12cm C. 13cm D. 14cm 2.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是竖直线段BC上一点, 且PC= BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ B ） A. B. 5cm C. 6cm D. 7cm 第1 题 7第2题 第3题 3.如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 B处，则这条丝线的最小长度是( D ) A.170cm B.70cm C.145cm D.130cm 4. 如图是一个长为4，宽为3，高为12的矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底 部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均 忽略不计)( D ) A.5 a 12 B.12 a C.12 a D.12 a 13. 5.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5CM，一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 2 5 cm． 6.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它 运动的路径是最短的，则AB的长为 ( ) 第4 题 第5题 第6题 能力提升： 7.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝6 dm，水深AE ＝4 dm.在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 dm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处 吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短呢？请你 画出它爬行的最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)． 解：(1)如图，作点A关于BC所在直线的对称点A′， 连接A′G，A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最 短路线． (2)因为AE＝4 dm，AA′＝2AB＝12 dm，所以A′E＝8 dm. 在Rt△A′EG中，EG＝6 dm，A′E＝8 dm，A′G2＝A′E2＋EG2， 所以A′G＝10 dm.由对称性可知AQ＝A′Q. 所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 dm. 答：小虫爬行的最短路线长为10 dm. 拓展迁移： 8．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折 8叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠 部分面积分别为S，S． 1 2 （1）若AC＝3，求S 的值． 1 （2）若S+S＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少． 1 2 解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3， ∴BC＝4，AB＝5， 由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3， 设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x， 1 1 ∵S ＝ ABDM＝ BMAC， ABM 2 2 ∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x）， 3 解得x＝ ， 2 1 1 3 3 ∴S＝ BDDM＝ 2 ＝ 1 2 2 2 2 （2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x， 如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°， 1 1 ∵S ＝ ABDM＝ BMAC， ABM 2 2 ∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x， 3 解得DM＝ x， 2 1 1 3 3 ∴S  BDDM  2x x x2； 1 2 2 2 2 如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN， ∴AE＝x，AN＝3x﹣EN， 1 1 ∵S ＝ ABEN＝ ANBC， ABN 2 2 ∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x， 4 解得EN＝ x， 3 1 1 4 2 ∴S  AEEN  x x x2， 2 2 2 3 3 ∵S S＝26， 1 2 93 2 ∴ x2 x2＝26， 2 3 解得x2＝12， 1 ∴S  3x4x6x2 72． ABC 2 教学反思 10