文档内容
第一章 勾股定理
问题解决的策略：反思
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学习目标与重难点
学习目标：
1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。
2、探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。
3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
学习重点：利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题。
学习难点：如何寻找和计算最短距离。
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预习自测
一、知识链接
1、如何判断一个三角形为直角三角形的方法 。
.2、两点之间 最短.直线外一点到这条直线可以画 条线段， 其中 最短。
3、圆柱体侧面展开是一个 。圆柱体的底面周长是展开后 的 ，
高是展开后 的 。
二、自学自测
1.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则∆ABC的为 .三角形
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教学过程
一、创设情境、导入新课
有一个圆柱，它的高等与12cm，底面上圆的周长等于18cm。在圆柱下底 C B
面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的点B处的食物，沿圆 D
柱侧面爬行的蚂蚁怎样走最近？最近路程是多少？
二、合作交流、新知探究
1、小组合作蚂蚁爬行的4种最基本的线路，并计算线路的长度
A
d
A’ B
A
1A’
B
A
2重点探究
路3中n中情况，不计算比较AE+EB、AF+FB、AB大小，为什么？
【强调】：1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两
点之间，线段最短”确定爬行路线。
2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
三、典例精析
例1、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可
2以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
例题2：你能求出蚂蚁从A爬行到B的最短距离吗？
①沿着棱爬行的距离： 。
②沿前面和上面展开后对角线 。
③沿前面和右面展开后对角线 。
④沿左面和上面展开后对角线 。
比较4种方案 ＜ ＜ ＜ 。
所以蚂蚁从A到B的最短距离是（ ）
【强调】：长方体距离最短问题应该分类讨论。
三、课堂练习、巩固提高
1．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝ cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点
出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
3第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′
处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）cm
A．8 B．4 C．2 D．12
3．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶
点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度
至少为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
4．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿 竖直插到水底，此时
竹竿 离岸边点C处的距离 米．竹竿高出水面的部分 长0.2米，如果把竹竿的顶端A
拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度 为（ ）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
能力提升：
5.如图,一根长90cm的灯管上,缠满了彩色丝带,已知可近似地将灯管看作圆柱体,且底面周长为4cm,
彩色丝带均匀地缠绕了30圈,问:丝带共有多长?
拓展迁移：
6.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围
内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向
AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点
A，B的距离分别为AC=300Km,BC=400Km,AB=500Km，以台风中心为圆
心周围250km以内为受影响区域.
（1）求∠ACB的度数；
4（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运
动到点F时，海港C刚好不受影响，则台风影响该海港持续的时间有多长？
四、总结反思、拓展升华
1.解决立体图形中路线最短的问题，思路是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线
段最短”确定爬行路线。
2.解题时，首先要画出适当的展开图，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
五、【作业布置】
基础达标：
1.如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A. 11cm B. 12cm C. 13cm D. 14cm
2
2.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是竖直线段BC上一点,且PC=
3
BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
6
A. (4+ )cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm
π
第1题 第2题
第3题
3.如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，
则这条丝线的最小长度是( )
A.170cm B.70cm C.145cm D.130cm
54. 如图是一个长为4，宽为3，高为12的矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直
吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计)(
)
A.5 a 12 B.12 a C.12 a D.12 a 13.
5.如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5CM，一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
6.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的
路径是最短的，则AB的长为 ( )
第4题 第5题 第6题
能力提升：
7.有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高AB＝6 dm，水深AE＝4 dm.在
水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 dm，一只小虫想从水
缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．
(1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标
注．
(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．
拓展迁移：
8．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，
使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积
分别为S，S．
1 2
（1）若AC＝3，求S 的值．
1
（2）若S+S＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．
1 2
6课堂练习参考答案
1、B
2、B
3、D
4、A
5、150,
解答提示：
7方法一，把它展开看作直角三角形的底边是30个4Cm，。
方法二，把它展开看作直角三角形的底边是4Cm高90cm,求斜边长，然后乘以30
圈。
6、解答提示：如图
（1）利用勾股定理的逆定理进行判断，求出∠ACB=90°
（2）过点C作CD⊥AB, 利用一面积两算法，求出CD=240Km，根据“以台风中心为圆心周围250km
以内为受影响区域.”故海港C受台风影响。
（3）根据勾股定理求出ED,继而求出EF,根据“台风的速度为20千米/小时.”求出台风影响该海港
持续的时间为7小时．
课外作业参考答案
1、C
2、B
3、D
4、D
5、25
6、
7、解：(1)如图，作点A关于BC所在直线的对称点A′，连接A′G，A′G与BC交于点Q，则AQ＋
QG为最短路线．
(2)因为AE＝4 dm，AA′＝2AB＝12 dm，所以A′E＝8 dm.
在Rt△A′EG中，EG＝6 dm，A′E＝8 dm，A′G2＝A′E2＋EG2，
所以A′G＝10 dm.由对称性可知AQ＝A′Q.
所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 dm.
答：小虫爬行的最短路线长为10 dm.
【解析】
(1) 作点A关于BC所在直线的对称点A′，连接A′G，A′G与BC交于点Q，由对称性可知AQ＝
A′Q.根据两点之间线段最短则AQ＋QG为最短路线．
在Rt△A′EG中利用勾股定理求出AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 dm.
8、解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，
8∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，
∵ ，
∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），
解得 ，
∴
（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，
∵ ，
∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，
3
解得DM＝ x，
2
1 1 3 3
∴S BDDM 2x x x2 ；
1 2 2 2 2
如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，
∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，
∵ ，
∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得x2＝12，
∴ ．
【解析】
（1）设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，根据一面积两算法列方程求出X,继而求出其面积。
9（2） 由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，
图1中根据折叠性质和一面积两算法列方程求出 ，
图2中根据折叠性质和一面积两算法列方程求出 ，
由于 ,建立方程，求出x值，继而求出单个直角三角形纸片的面积。
10
