文档内容
第七章 证明
7.3平行线的证明（性质定理）导学案
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学习目标与重难点
学习目标：
1、认识平行线的三条性质，能熟练运用这三条性质证明几何题，进一步理解和总结证明的步骤、格
式、方法，了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程．
2、 经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算，
经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展学生空间观念，推理能力和有条理表达能
力。
3、通过对平行线性质的探究，使学生初步认识数学与现实生活的密切联系，体会科学的思想方法，
激发学生探索创新精神；通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、
主动参与的意识。
学习重点：
平行线三个性质的探究及运用
学习难点：
平行线性质定理和判定定理的综合运用以及证明过程的规范表达。
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预习自测
一、知识链接
1、证明一个命题有四个步骤：
（1）根据题意， 画出图形 ；
（2）找出命题的题设（条件）和结论。
（3）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证 ；
（4）写出证明过程。
2、平行线的判定
公理:
同位角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b（画出图形）
判定定理1:
内错角相等,两直线平行.∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.（画出图形）
判定定理2:
同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.（画出图形）►
教学过程
一、创设情境、导入新课
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”.你能作出相关的图形吗？
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗
E
1
B
M
A
2
C N D
F
二、合作交流、新知探究
1、平行线的性质
c
①如果两条直线平行.那么同位角相等。
4
a
∴ ∥b,∴∠a∴∠2=∴4∵ 3
1
②如果两条直线平行.那么内错角相等。 2
b
∵a∥b,∴∠2=∠3
③如果两条直线平行.那么同旁内角互补相等。
∵a∥b,∴∠1+∠2=180°
二、证明性质定理
1、性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
已知， 如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线
EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
2、性质定理2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知： .
求证： . c
4
证明： .
a
3
1
.
2
. b
.
3、性质定理3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
已知： . c
4
求证： .
a
3
1
证明： .
2
. b
.
.
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形．
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字
母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.把命题的条件转化为几何符号的语言写在已
知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )
2.如图,若AB∥DE , AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是 .
3.如图,若AB∥DE , AC∥DF，那么∠A和∠D的关系是 .第2题 第3题
4.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少
度？
5.如图：直线AB、CD都和AE相交，且∠1+∠A=180º 。
能力提升：
6.证明邻补角的平分线互相垂直.
7.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图；(2)再沿BF折叠成图；(3)继续沿EF折叠成
图(4),按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF
的度数是( )
拓展迁移：
8.已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.9.如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分
别与ON、OM交于点D和点B．
(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；
(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
四、总结反思、拓展升华
1、两直线平行性质定理：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补；
2、证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形分析．
第二步：写出已知、求证，
第三步：写出证明过程．五、【作业布置】
基础达标：
1．下列说法中正确的有（ ）
①等角的余角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤直角
三角形中两锐角互余.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点
C，若∠1＝58°，
则∠2的度数为( )
A. 58° B. 42° C. 32° D. 28°
3. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( )
A. 38° B. 52° C. 76° D. 142°
第2题图 第3题图 第4题图
4．如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是（ ）
A．∠C＝∠B+∠D B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180°
C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180° D．∠E+∠B＝∠C+∠D
5.如图所示，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( )
A. 60° B. 80° C. 75° D. 70°
6.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
第5题图 第6 题图
能力提升：
7．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠、则∠1与∠α的关系式是（ ）
A．∠ α ＝60°+ ∠1
B．∠ α ＝45°+ ∠1C．∠ α + ∠1＝90°
D．∠ α + ∠1＝120°
8. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．
拓展迁移：
9.如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何
10.我们都知道“三角形的内角和等于180°”。如图1，教材中是用“延长BC，过点C作CE∥AB”
的方法把∠A移到∠1的位置，把∠B移到∠2的位置，从而完成证明的。请你借助图2作辅助线的
思路将下面证明“三角形的内角和等于180°”的过程补充完整。
课堂作业参考答案：
1、B
2、相等
3、相等
4、解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
5、求证：AB//CD
证明：
∵∠1=∠2（对顶角相等）
∵∠1+∠A=180º ( 已知 ）
∴∠2+∠A=180º （等量代换）
∴ AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）
6、已知：如图∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明： ∵OE平分∠AOB.
OF平分∠BOC（已知）
∴∠EOB=∠AOB
∠BOF=∠BOC（角平分线定义）
∵∠AOB+∠BOC=180°（1平角=180°）
∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90°（等式的性质）
即∠EOF=90° ∴OE⊥OF（垂直的定义）
7、18°解答提示：对折9次完全盖住∠EFG，就是把平角分成10份，每份18°，即∠BFE=18°，而
∠DEF=∠BFE=18°
8、证法一：
∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
证法二：
如图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D
（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）9、解：（Ⅰ）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，
∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；
故答案为180°；
（Ⅱ）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC=180°，
而∠OBC+∠CBM=180°，
∴∠ODC=∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE=∠FBE，
而∠DEC=∠BEH，
∴∠BHE=∠C=90°，
∴DE⊥BF；
（Ⅲ）解：CG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，
∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，
∴∠GDC+∠FBC=90°，
∵CQ∥BF，∴∠FBC=∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ=90°，
∴∠DCQ=∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．
课外作业参考答案：
1、B
2、C
3、B
4、C
5、D
6、C
7、C
8、解：△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵EG∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形．
9、解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
10、已知：△ABC
求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
证明：如图2，过点A作直线DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠B=∠DAB ∠C=∠EAC ，∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAC+∠DAB+∠EAC=180° ，∴∠BAC+∠B+∠C=180° 。
