文档内容
第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：人教版九年级一元二次方程、二次函数全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级下·安徽·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·广东·模拟预测）一元二次方程 配方后变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南岳阳·模拟预测）某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预
计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数 的变量x与y部分对应值如下表，那么
时，对应的函数值y为（ ）
x … 1 3 5 …y … 7 0 7 …
A．0 B．3 C． D．5
5．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出 的图象，正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级上·湖南永州·期末）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
取值范围为（ ）
A． B． 且 C． D． 且
7．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）已知关于x的方程 有两个实
数根 、 ，且 ， ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）把抛物线 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移
3个单位长度，所得的图象的解析式是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．0
9．（24-25九年级下·山东·自主招生）设a，b为方程 的两个实数根，则
的值为（ ）A．2024 B． C．2023 D．
10．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数 的图象过点 ，抛物
线的对称轴是直线 ，顶点在第一象限，给出下列结论：① ；② ；③ ；④
若 、 （其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中正确的结论有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II 卷（非选择题）
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（24-25九年级上·河南南阳·期中）方程 的解为： ．
12．（25-26九年级上·重庆·开学考试）已知在正比例函数 中， 的值随着 的增大而增大，
且关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数 的值之和为
．
13．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知关于x的二次函数 ，若当 时，y随
x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口 处的水流呈抛物线形，
该水流喷出的高度 （ ）与水平距离 （ ）之间的关系如图2所示，点 为该水流的最高点，点 为
该水流的落地点，且 ，垂足为点 ， ．若 ， ，则 的长为 ．15．（24-25九年级上·天津宝坻·阶段练习）如图，已知点 、 是抛物线
上两点，A是抛物线的顶点，P点是 轴上一动点，当 最小时，P点的坐标是 ， 的
最小值为 ．
16．（2025九年级下·江西赣州·竞赛）如果关于x的方程 的根都是整
数，那么符合条件的整数 的值有 ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程
(1) ； (2) ．
18．（浙江省杭州市第十五中学2025-2026学年上学期9月份月考九年级数学试卷）已知二次函数，当 时，函数值是4；当 时，函数值是3．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)判断点 是否在该抛物线上．
19．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系 中画出这个二次函数的图象；
(2)当 时，结合图象求y的取值范围．20．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
21．（2024·甘肃兰州·模拟预测）黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生
态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资 万元，项目隧道工程西起龙源公园，东
至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物
线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以O为坐标原点，以 所在直线为x轴，以过点 垂直于x
轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶ ，该抛物线的顶点P到 的距离为 ．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到 的距离均为 ，求点A、B的坐标．22．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)将 配方得_____；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）；
(3)当x为 时， ；
(4) 时，直接写出y的取值范围是 ；
(5)当 时，函数y的取值范围为 ，则a的值为 ．
23．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以
为例，构造方法如下：
首先将方程 变形为 ，然后画四个长为 ，宽为 的矩形，按如图1所示的方
式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一
个边长为 的小正方形面积之和，即 ．因此，可得新方程 ．因为
表示边长，所以 ，即 ．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 ，即 ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ______，
______，求得方程的正根为______．
24．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进 、 两款冰墩
墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价 进货价）
款钥匙
类别价格 款钥匙扣
扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进 、 两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进 、 两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和
销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利
润是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把 款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使
款钥匙扣平均每天销售利润为90元？25．（2025·山西晋中·二模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象交 轴于 ， 两点，交 轴于点
．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)点 是线段 上的一个动点，沿 以每秒1个单位长度的速度由点 向点 运动，过点 作 轴，
交抛物线于点 ，交直线 于点 ．在点 运动过程中，运动时间 为何值时， ？
(3)将抛物线 沿 轴向左平移2个单位长度，再沿 轴向下平移3个单位长度得到抛物线 ，顶点为 ，若点 是 轴上一动点，试判断是否存在这样的点 ，使得以点 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
