文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期第一单元测试
总分：120分
考生姓名：
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章（一元二次方程）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义“含有 个未知数，并且未知数的最高次
数是 的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为 （ ）的整式方程是一元二次
程．”是解题的关键．
【详解】解：A.是分式方程，故不符合题意；
B.含有两个未知数，故不符合题意；
C.是一元一次方程，故不符合题意；
D.符合一元二次方程的定义，故符合题意；
故选：D．
2．用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，
未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全
平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解．
【详解】解： ，即 ，
方程两边同时加4，可得 ，即 ，故选：B．
3．若 是关于x的方程 的一个根，则m的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】把 代入 ，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方
程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
【详解】把 代入 ，
得 ，
解得 ，
故选C．
4．下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由根的判别式判断一元二次方程根的情况，掌握根的判别式“ 时，方程
有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根； 时，方程有无的实数根．”
是解题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A. ，方程有两个不相等的实数根，故不合题意；
B. ，方程没有实数根，故符合题意；
C. ，方程有两个不相等的实数根，故不合题意；
D. ，方程有两个相等的实数根，故不合题意．
故选：B．
5．若多项式 可以分解为 ，则在关于x的方程 中， 的值为
（ ）
A．3或 B． 或1 C． D．1
【答案】D
【分析】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算及解一元二次方程，正确将原
式变形是解题关键．直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案．
【详解】解： 多项式 可以分解为 ，
，，
，
，
故选：D．
6．某城市2019年年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2021年
年底该城市绿化面积达到432公顷，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．根据题意列出
一元二次方程即可．
【详解】解：设绿化面积的年平均增长率是x，
由题意得： ，
故选：C．
7．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原
来的两位数为（ ）
A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对
【答案】C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，
列出方程．首先设原两位数个位数字为 ，则十位数字为 ，则原来的两位数是 ，交
换数字位置后得到的新的两位数是 ，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，
再解即可．
【详解】解：设原两位数个位数字为 ，则十位数字为 ，由题意得：
，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
则原来的两位数为62或26，故选：C
8．等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可
得 ， ，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，进而即可求出
三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程 得， ， ，
∵ ，
∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，
∴这个三角形的周长为 ，
故选： ．
9．如图①，在矩形 中， ，对角线 相交于点O，动点P由点A出发，沿
向点D运动．设点P的运动路程为x， 的面积为y，y与x的函数关系图象如
图②所示，则 边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过
程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当 点在 上运动时， 面积逐
渐增大，当 点到达 点时，结合图象可得 面积最大为3，得到 与 的积为12；当 点
在 上运动时， 面积逐渐减小，当 点到达 点时， 面积为0，此时结合图象可知
点运动路径长为7，得到 与 的和为7，构造关于 的一元二方程可求解．
【详解】解：当P点在 上运动时， 面积逐渐增大，当P点到达B点时， 面积最大
为3．
∴ ，即 ．
当P点在 上运动时， 面积逐渐减小，当P点到达C点时， 面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴ ．
则 ，代入 ，得 ，解得 或3，
因为 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
10．满足 的所有实数对 ，使 取最大值，此最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，则 ，代入 进行变形整理得到
，再求出 ，得出 ，求出 的解
集即可解答；
【详解】解：先令 ，则 ，
代入 可变形为： ，
整理得 ，
则 ，
即 ，
由
即：(i) ，或 (ii) ，
由(i) 解得： ，由(ii) 解得：无解；
∴ 的解集为： ，故 取最大值，此最大值为 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程和根的判别式，掌握当 ，方程有两个不相等
的实数根；当 ，方程由两个相等的实数根； ，方程所有实数根； 同时运用 解决
函数图象交点的个数问题和一元二次方程的解法是本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．方程 的一次项系数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程中的项，单项式的系数，由方程得方程中一次项为 ，由单
项式的系数即可求解；理解一元二次方程 （ ）中二次项为 、一次项为 、
常数项为 是解题的关键．
【详解】解：由题意得
方程 中一次项为 ，
一次项系数是 ，
故答案： ．
12．一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知 ， 是一元二次方程
的两根时， ， 是解题的关键．
直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程 中， ，
．
故答案为： ．
13．某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有 支球队
参赛，则可列方程 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有 支球队参加，那么就有 场比赛．
本题可设有 支球队参赛，则每个队参加 场比赛，则共有 场比赛，从而可以列出一
个一元二次方程．
【详解】解：由题意得， ，
故答案为： ．
14．若 是关于x的方程 的解，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相
等的未知数的值，把 代入原方程得到 ，再根据 ，利用
整体代入法求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．我们规定一种新运算“★”，其意义为 ，已知 ，则x的值为
．
【答案】0或4/4或0
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意 ，
整理，得： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：0或4．
16．已知 ，且满足 ， ，那么 的值为 .
【答案】【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于 、两根之积等于 ”是解题的关键．
由a、b满足的条件可得出a、b为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系可得出
、 ，将其代入 中可求出结论．
【详解】解： ，且满足 ， ，
、b为方程 的两个实数根，
， ，
故答案为： ．
17．若实数 ， 满足 ，求 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将 看成一个整体，
令 ，转换成一个关于 的一元二次方程，利用因式分解法求出 的值，再结合平方的
非负性，即可得到答案．
【详解】解：令 ，
，
，
，
，
或 ，
或 ，
，
，即 ，
故答案为：3
18．如图，长方形 中， ， ，动点P从点D出发，沿 向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿 向终点C以 的速度移动，如果P、Q分别从D、A
同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．
（1）若经过x秒，用x的代数式表示 ，则 ；
（2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：
（1）根据各数量之间的关系，用含 的代数式表示出 的长；（2）分 及 两种
情况，列出关于 的方程．
（1）利用 的长 的长 点 的运动速度 运动时间，可用含 的代数式表示出 的长；
（2）当 时， ， ，根据以 、 、 为顶点的三角形面积为 ，
可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值；当 时， ，根据以 、 、
为顶点的三角形面积为 ，可列出关于 的一元一次方程，解之可得出 的值．再取符合题意
的值，即可得出结论．
【详解】解：（1） 动点 从点 出发，沿 向终点 以 的速度移动，
经过 秒， ，
．
故答案为： ；
（2） ， ， ．
当 时， ， ，
，即 ，
整理得： ，解得： ， （不符合题意，舍去）；
当 时， ，
，
解得： （不符合题意，舍去）．
经过 秒时，以 、 、 为顶点的三角形面积为 ．
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共66分．
19．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的直接开平方法和因式分解法是解
题的关键．
（1）直接利用直接开平方法即可得出结论；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）
，
（2）
或
， ．20．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若该方程的一个根为 ，求实数m的值；
(2)若该方程没有实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了方程的根，一元二次方程根的判别式；
（1）将 代入方程，即可求解；
（2）由根的判别式得 ，即可求解；
掌握根的判别式：“ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，方程有两个相等的实数根；
时，方程有无的实数根．”是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得： ；
（2）解： 该方程没有实数根，
，
解得： ．
21．阅读下面的例题：
解方程
解： 当 ，原方程化为 ，解得 （不合题意，舍去）
当 时，原方程化为 ，解得 （不合题意，舍去）， ，
∴原方程的根是 ，
请参照例题解方程：
【答案】
【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元
二次方程的解是解题的关键．
解：当 ，原方程化为 ，解得 （不合题意，舍去）
当 时，原方程化为 ，解得 （不合题意，舍去）， ．∴原方程的根是 ．
22．关于x的一元二次方程 有两个实数根 和 ．
(1)求实数m的取值范围；
(2)当 时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等
的实数根；当 时，方程无实数根．一元二次方程 的两个根 ， ，满足
， ．
（1）根据根的判别式得出 ，再求出答案即可；
（2）根据根与系数的关系得出 ， ，根据 得出
，再求出方程的解即可．
【详解】（1）解： ，
∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 和 ，
∴ ，
解得： ，
即实数m的取值范围是 ；
（2）解： ，
由根与系数的关系得： ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，∵ ，
∴ 舍去，
∴ ．
23．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙（墙的长度不限），另外三
面用总长为20米的护栏围成．若计划建造车棚的面积为50平方米，则这个车棚垂直于墙的长度
应为多少米？
【答案】这个车棚垂直于墙的长度应为 米．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．设平
行于墙的边长为 米，则垂直于墙的边长为 米，根据车棚的面积为50平方米列方程，求解
即可．
【详解】解：设平行于墙的边长为 米，则垂直于墙的边长为 米，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
答：这个车棚垂直于墙的长度应为 米．
24．阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：解方程 ．
解：设 ，原方程变为 ，解得 或 ．
当 时，即 ，解得 ；当 时，即 ，解得 ．
综上所述，原方程的解为 ， ， ， ．
问题：
(1)上述解答过程采用的数学思想方法是__________．A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
(2)采用类似的方法解方程： ．
【答案】(1)C
(2) ，
【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握．
（1）利用换元法解方程；
（2）设 ，原方程化为 ，求出y，把y的值代入 ，求出x即可．
【详解】（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．
故答案是：C；
（2）设 ，原方程化为 ，
∴
解得 ，
当 时，得 ，
解得 ， ；
当 时，得 ，
，方程无解，
综上所述，原方程的解为 ， ．
25．某商场销售一批名牌衬衫，其进价为每件160元，每件以200元售出，平均每天可售出20件，
经过市场调查发现，这种衬衫的单价每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场销售这种
名牌衬衫要想平均每天赢利1200元，请回答：
(1)每件衬衫应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该名牌衬衫应按原售价的几
折出售？
【答案】(1)每件衬衫应降价20元
(2)每件衬衫应降价20元，该名牌衬衫应按原售价的九折出售
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，打折销售问题，理解题意，列出方程求解是解题关
键．
（1）设每件衬衫应降价 元，根据题意列出方程求解即可；（2）根据题意得出每件衬衫应降价20元，然后计算打折数即可．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价 元，
则依题意，得： ，
整理，得 ，
解得： ，
∴每件衬衫应降价20元或10元；
（2）解：由（1）可知每件衬衫可降价10元或20元．
∵要尽可能让利于顾客，
∴每件衬衫应降价20元，
此时，售价为： （元），
，
答：每件衬衫应降价20元，该名牌衬衫应按原售价的九折出售．
26．若关于x的方程有一个解为 ，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：
有解 ，所以 为“明一方程”．
(1)下列方程是“明一方程”的有；
① ；② ；③ ．
(2)已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B， ，且当 时，关于x的方程
为“明一方程”，求该直线解析式；
(3)已知 为“明一方程” （a，b，c为常数，且 ）的两个根，试求
的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)所求直线解析式为 或 或
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根与系数的关系及方程的解，理解“明一方
程”的定义是解决本题的关键．
（1）将 分别代入各个方程，按“明一方程”的定义进行判断即可；
（2）由题意可得直线 过点 ，可得 ，即 ，得出函数关系式为
，再求出点A、B的坐标，再根据 列出方程求解即可；（3）由 为“明一方程”，可得 ，又 ，从而得出 ，且有
，解不等式组 得： ．再由 为 的两根，且
为其一个解，可得另一个解为 ，再求解即可．
【详解】（1）解：①将 代入方程 得， ，
是方程 的解，
为“明一方程”；
②将 代入方程 得， ，
不是方程 的解，
不是“明一方程”；
③将 代入方程 得， ，
是方程 的解，
为“明一方程”；
故答案为：①③；
（2）解： 当 时，关于x的方程 为“明一方程”，
直线 过点 ，
，即 ，
函数关系式为 ，
令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，解得： ，即 ，
，
，
解得： 或 ，
直线解析式为 或 或 ；
（3）解：已知 为“明一方程”，
所以 ，又 ，
所以 ，且有 ，解不等式组 得： ．
为 的两根，且 为其一个解，
所以另一个解为 ，
所以 ，令 ，
则 是关于 的一次函数，由一次函数的增减性可得：
