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第二十一章 一元二次方程 单元测试
总分：120分
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.
1．关于一元二次方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．用配方法解方程 ，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹
路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3
月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程 的根为（ ）
A． B．1 C．1或 D．0
6．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第（ ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
8．如果关于 的一元二次方程 （ 均为常数， ）有两个实数根，且其中一
个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程 （ 均为常数）为“邻根方程”，下列选项符合 满足的数量关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于 的一元二次方程 的图解法是：
如图，作 ，其中 ， ， ，在斜边上截取 ，则 的长就是所
求方程的正根．根据上述图解法作出关于 的一元二次方程 （ ）的图解，若 ，
则 的值为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．14
10．已知实数 ， 满足 ，记 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．已知关于x的一元二次方程： 的一个根是2，则k的值是 ．
12．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
13．方程 的一次项系数是 ．
14．已知 是方程 的一个根，则代数式 的值为 ．
15．已知实数 ，满足 ．则 ．
16．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教
育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长 ，宽 ，
要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为 ，则所修道路的宽为 ．
17．如图，正方形 的边长为 13，以 为斜边向内作 ， ， ，
于点 E，连接 ．若 ，则 的面积为 ．
18．关于 的方程 的解是 ， （ ， ， 均为常数， ），则方程
的解是 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分.
19．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
20．某种植物的主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，主干、支干和小分支的总数是91，
求x的值．21．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根 和 满足 ，求实数m的值．
22．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经
市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每
天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店
需要将每台学习机售价定为多少元？
23．定义：如果 ， 是一元二次方程 的两个根，且 ，那么称这样的方程为
“邻根方程”．例如：一元二次方程 的两个根是 ， ，此时 ，
则方程 是“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）．
① ；② ；③ ．
(2)已知方程 是“邻根方程”，求m的值．
(3)若方程 是“邻根方程”，求证： ．
24．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 的两
个实数根为 ， ，则 ， ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦
达定理”．
例：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解： 一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，， ， ，
， ，
∴ ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ______； ______；
(2)一元二次方程 的两个根为 ， ，求 的值；
(3)若 ， 是关于x的方程 的两个不相等的实数根，且 ，
求m的值．
25．如图，在矩形 中， ， ．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；
同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是 ．连接 、 、
．设点P、Q运动的时间为 ．
(1)当 ______时，四边形 是矩形；
(2)当 ______时，四边形 是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得 ，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
(4)在运动过程中，沿着 把 翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点 恰好落在 边上．
26．如图1，在正方形 中，点 是 边上一动点，将正方形沿 折叠，点 落在正方形内部
的点 处，连接 并延长，交 于点 ．(1)判断 与 的数量关系为______；
(2)【应用】如图1，延长 交 于点 ．
①证明： ；
②若 ， ， ，求 的长度；
(3)【拓展】如图2，将正方形沿 折叠，使点 落在点 处（正方形内部），连接 并延长，交
于点 ，延长 交直线 于点 ．若 ， ，直接写出 的值．
