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专题 05 坐标系中与几何图形有关的四种考法
类型一、点的规律性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角 沿x轴向右滚动到
的位置，再到 的位置……依次进行下去，发现 ， ，
…那么点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据直角 的边长求出点 ，再由沿 轴向右滚动到 的位
置，再到 的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解．
【详解】∵ ， ， ， ，
根据题意知： ，
得： ；
继续滚动得： ；
发现规律： ，
∵ ，解得：
则 ，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点P由原点O出发，第一次跳动至点 ，
第二次向左跳动3个单位至点 ，第三次跳动至点 ，第四次向左跳动5个单
位至点 ，第五次跳动至点 ，…，依此规律跳动下去，点P的第2023次跳动
至点 的坐标是【答案】（1012，1012）
【分析】观察所给图形，不难得到第 次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半，纵坐标
是跳的次数的一半；进而求出点 的坐标．
【详解】解：观察发现可知：
第一次跳动至点 ，
第二次向左跳动3个单位至点 ，
第三次跳动至点 ，
第四次向左跳动5个单位至点 ，
第五次跳动至点 ，
…
则第 次跳动至点 ，第 次跳动至点
故第 次跳动至点的坐标是 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题在关键在于明确奇数次跳动的点的横坐标、纵坐
标与跳动次数的关系．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再
向右平移1个单位，得到点 ；把点 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得
到点 ；把点 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 ；把点
向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点 ，…；按此做法进行下去，
则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位
长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循
环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点 的
坐标为 ，由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点
；
把点 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点 ；
把点 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 ；
把点 向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点 ，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n
个单位长度得到下一个点，
∵O到 是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到 是向左2个单位长度，
向上平移2个单位长度， 到 是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到
是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到 是向右平移5个单位长度，
向上平移5个单位长度，
∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下
平移4个单位长度，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 的边长为7，点 ，
轴，且与y轴相交于点 ．点P沿着 …的方向在正方形的边上运动了2021个单位长度，则此时点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】通过 点坐标，和正方形的边长可以求出对应的 点坐标，然后求出 的长度，
通过正方形周长和运动2021个单位长度来算出 点转了多少圈然后落在哪里，通过计算，
算出 点在 边上，且 ，则可求出 点坐标．
【详解】解： ， ，
， ， ，
， ，
点运动2021个单位长度后，落在 边上，∴ ，
点的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，给出部分点的坐标和两点间的距离等关系，求出其
他点的坐标，通过动点循环的问题，求出动点最后的位置．
【变式训练4】如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将
变换成 ，第三次将 变换成 ，已知 ， ， ，
，则 的坐标为 ．
【答案】
【分析】由前面几个具体的点的横坐标可写成底数为2的幂的形式，纵坐标不变，从而可
得答案．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
而 ， ， ， ，纵坐标不变，∴ ；故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，由前面几个具体的点的坐标归纳出坐标规律是解本题的关键．
类型二、将军饮马最值问题
例．如图， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
(1)在图中，请画出与 关于 轴对称的 ；
(2)直接写出点 的坐标；
(3)求作 轴上一点 ，使得 最短．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据对称性质即可得到坐标；
（3）作点C关于y轴的对称点 ，连接 ，交y轴于点P，连接 ，此时 最
短．
【详解】（1）如图所示， 为所求三角形，
（2）∵点B和 关于y轴对称，∴
（3）如图所示，点P为所求点【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解
答本题的关键．
【变式训练2】如图所示，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，
B，C，D在小正方形的顶点上．
(1)请画出与四边形 关于直线m成轴对称的四边形 ；
(2)求四边形 的面积；
(3)在直线m上作一点P，使得 的长度最小，请在直线m上标出点P的位置．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)见解析
【分析】（1）先在方格纸中找到 关于直线m成轴对称的点 ，
然后再顺次连接即可解答；
（2）根据 求解即可；
（3）连接 ，与直线m的交点P即为所求．
【详解】（1）解：如图：四边形 即为所求．
（2）解： ．
（3）解：如图：连接 ，与直线m的交点P即为所求．
【点睛】本题主要考查轴对称作图、轴对称最短问题等知识点，学会利用轴对称解决最短
问题是解题的关键．
【变式训练3】如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)作 关于y轴的轴对称图形得 ，画出图形，并直接写出点 的坐标 ；
(2)已知点P是x轴上一点，则 的最小值是 ．
【答案】(1)画图见解析， ；(2)10
【分析】（1）分别确定A，B，C关于y轴对称的对称点 ， ， ，再顺次连接即可，
再根据 的位置可得其坐标；
（2）如图，作 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，可得 ，则
，此时最短，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求作的三角形；∴ ．
（2）如图，作 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，
∴ ，
∴ ，此时最短，
如图，构造直角三角形 ，由勾股定理可得： ，
∴ 的最小值是10．
【点睛】本题考查的是画轴对称，坐标与图形，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，熟练的运用轴对称的性质进行画图是解本题的关键．
【变式训练4】如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1， 的三个顶
点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合．
(1)作出 关于直线m对称的 （其中A的对称点为 ，B的对称点为 ，C的
对称点为 ）．
(2) 的面积为 ．
(3)点P直线m上的动点，求 的最小值．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质先找到A、B、C的对应点 的位置，然后顺次
连接 即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）如图所示，连接 ，根据轴对称的性质可得当 三点共线时，
最小，即 最小，最小值为 的长，由此利用勾股定理求出 即可得
到答案．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解： ；
（3）解：如图所示，连接 ，由轴对称的性质可得 ，∴
，
故当 三点共线时， 最小，即 最小，最小值为 的长，
由勾股定理得 ，∴ 的最小值为【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，割补法求面积，
灵活运用所学知识是解题的关键．
类型三、面积问题
例．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，其中a，b满足|a﹣2|+(b﹣3)2＝
0．
(1)求a，b的值；
(2)如果在第二象限内有一点M(m，1)，请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
(3)在(2)条件下，当m＝﹣ 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的
面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a=2，b=3；
（2）﹣m+3；
（3）N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．
【详解】试题分析：(1)、根据非负数的形状得出a和b的值；(2)、过点M作MN丄y轴于
点N，根据四边形的面积等于△AOM和△AOB的和得出答案；(3)、首先根据题意得出面积，
然后分点N在x轴的负半轴和y轴的负半轴两种情况分别求出答案．
试题解析：(1)、∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣3）2=0， ∴a﹣2=0，b﹣3=0，解得a=2，b=3；
(2)、过点M作MN丄y轴于点N．
四边形AMOB面积=S +S = MN•OA+ OA•OB= ×（﹣m）×2+ ×2×3=﹣m+3；
AMO AOB
△ △
（3）当m=﹣ 时，四边形ABOM的面积=4.5． ∴S =4.5，
ABN
△
①当N在x轴负半轴上时，设N（x，0），则S = AO•NB= ×2×（3﹣x）=4.5， 解得x=﹣1.5；
ABN
△
②当N在y轴负半轴上时，设N（0，y），则
S = BO•AN= ×3×（2﹣y）=4.5， 解得y=﹣1．∴N（0，﹣1）或N（﹣1.5，0）．
ABN
△
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中．已知 ， ，其中 ， 满足
．
(1)填空： ______， ______；
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积；
(3)在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形
的面积相等，请求出点 的坐标．
【答案】(1) ，3
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据非负数性质可得 、 的值；
（2）过点 作 轴于点 ，表示出 的长，再根据三角形面积公式列式整理即可；
（3）当 的面积与 的面积相等时，点 到 轴的距离等于点 到 轴的距离，
据此求解即可．
【详解】（1）解： ，
且 ，
解得： ， ，故答案为： ，3；
（2）过点 作 轴于点 ，
， ，
，
又 点 在第三象限，
，
；
（3）当 时， ，此时点 到 轴的距离是3．
在 轴上有一点 ，使得 的面积与 的面积相等，
点 到 轴的距离是 ，
如图，符合条件的坐标是： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形综合题型，涉及到了绝对值、偶次方的非负性、三角形的面积、
坐标与图形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数
形结合的数学思想．
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，其中a，b满足
．(1)填空： ______， ______．
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含m的式子表示三角形 的面积．
(3)在（2）的条件下，当 时，若在y轴上有一点P，使得三角形 的面积与三角
形 的面积相等，请求出点P的坐标．
【答案】(1) ，3
(2)
(3)① ；②点P的坐标为 或
【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性求解，即可得到答案；
（2）过点M作 轴于点N，先利用A、B两点坐标求出 ，再根据点
在第三象限，得到 ，即可求出三角形 的面积；
（3）先利用（2）的式子，求出 ，分两种情况讨论：①点P在y轴正半轴上；
②点P在y轴负半轴上，利用点到最标轴的距离，结合割补法，分别表示出三角形 的
面积，进而即可求出P的坐标．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
故答案为： ，3；
（2）解：如图，过点M作 轴于点N，
， ，
，
点 在第三象限，，
；
（3）解：当 时，点M的坐标为 ，
，
①如图，当点P在y轴正半轴上时，
设点P的坐标为 ，
，
，
，
解得： ，
点P的坐标为 ；
②如图，当点P在y轴负半轴上时，
设点P的坐标为 ，
，
，，解得： ，
点P的坐标为 ，
综上所述，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，点到坐标轴的距离，两坐标的距离公式，割补法求面
积，利用点的坐标正确表示出线段的长度是解题关键．
【变式训练3】如图①，在平面直角坐标系中， ， ，且满足
，过C作 轴于B．
(1)直接写出三角形 的面积 ；
(2)如图②，若过B作 交y轴于D，且 ， 分别平分 ， ，求
的度数；
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形 和三角形 的面积相等？若存在，求出P点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4；
(2) ；
(3)存在， 或 ．
【分析】（1）根据完全平方和二次根式的非负性，由 求出a、b的值，
由此可得A、B、C三点的坐标，即可求出 的面积；
（2）由 轴， ，可得 ，过E作 ，
根据平行线的性质和角平分线的定义可得 ， ， 由此可求
出 的度数；
（3）分情况讨论：①当P在y轴正半轴上时，设 ；②当P在y轴负半轴上时，设
．过P作 轴， 轴， 轴，利用割补法，根据，分别求出t和a的值，即可求出P点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
的面积为：
故答案为：4．
（2） 轴， ，
， ， ，
过E作 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
、 分别平分 ，
， ，
．
（3）①当P在y轴正半轴上时，如图所示：设 ，过P作 轴， 轴， 轴，
，
，
解得： ；
②当P在y轴负半轴上时，如图所示：
设 ，过P作 轴， 轴， 轴，
，
，
解得： ；
或 ．
【点睛】本题综合性较强，考查了平行线的判定和性质，直角坐标系中求三角形的面积．
解题的关键是正确的作出辅助线，掌握割补法求面积．
类型四、角度数量关系问题
例．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ， 点为y轴上一动点，且．
(1)直接写出 ， 的值： __________， __________．
(2)当点P在直线OC上运动时．是否存在一个点P使 ，若存在，请求出
P点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)不论点P运动到直线OC上的任何位置（不包括点O、C）， 、 、
三者之间是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，
请说明理由．
【答案】(1)6 ，4；
(2)点P的坐标为 或
(3)分三种情况：
①若点P在线段 的延长线上，则 ；
②若点P在线段 上，则 ；
③若点P在线段 的延长线上，则 ．
【分析】（1）利用非负数的性质，求出b、c即可解决问题；
（2）根据点A、B、C的坐标求得线段 ， ， 的长，从而得到梯形 的面积，
进而得到 的面积，设点P的坐标为 ，则 ，根据三角形的面积公式
求得y的值，从而得到点P的坐标；
（3）分三种情况讨论：①若点P在线段 的延长线上，过点P作 ，则
，因此 ， ，从而得到结论
；②若点P在线段 上，同①可得 ；③若
点P在线段 的延长线上，同①可得 ．
【详解】（1）∵ ，
且
∴ ，
∴ ，故答案为：6 ，4
（2）∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴
设点P的坐标为 ，则
∵
∴
∴
∴点P的坐标为 或
（3）分三种情况讨论：
①若点P在线段 的延长线上，如图①
过点P作
∵
∴
∴ ，
∴
②若点P在线段 上，如图②过点P作
∵
∴
∴ ，
∴
③若点P在线段 的延长线上，如图③
过点P作
∵
∴
∴ ，
∴
【点睛】本题考查四边形综合题、平行线的性质、三角形的面积、非负数的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式训练1】在平面直角坐标系中， ， ，且a，c满足 ，
(1)直接写出a，c的值．
(2)如图1，点 ，在第二象限内有一点 ，若 ，求m的取值
范围．
(3)如图2，若 ，点G是第二象限内一点，并且y轴平分 ．点E是线段
上一动点，连接 交 于点H，当点E在 上运动时， 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【答案】(1)
(2)
(3)变化，见解析
【分析】（1）利用非负性进行求解即可；
（2）分别求出 ，根据 ，列出不等式进行求解即可；
（3）设 ，过点H作 交x轴于F，推出
，过点E作 的平行线，推出 ，得到
，再进行判断即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ．
∴
∵ 且在第二象限，
∴点 到 轴的距离为 ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
，
，
∴ ，∵ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ；
（3）变化
理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．（等角的余角相等）
∵y轴平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，
设 ，则 ，
如图，过点H作 交x轴于F，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
过点E作 的平行线，同理可得：
，∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是线段 上一动点，
∴α的大小在发生变化，
又∵β是个定值，
∴ 的值在变化．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行线的判定和性质．利用数形结合的思想，构造平行线
进行求解，是解题的关键．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点 为 轴负半轴上一点，点 为 轴正半
轴上一点， ， ，且 轴，其中 满足关系式： ．
(1) ______， ______．
(2)如图2，若 ，点 线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，当
时，求证： 平分 ．
(3)如图3，若 ，点 是点 与点 之间一动点，连接 ， 始终平分 ，
当点 在点 与点 之间运动时， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请
说明理由．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)不变，2
【分析】（1） ，根据非负数的性质得知 ， ，据此求
得 、 ；
（2）根据等角的余角相等解答即可；
（3）首先证明 ，推出 ，再证明 ，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
，
， ，
点 ， ，
故答案为： ， ．
（2）证明：如图2中，
， ，
，
又 ，
，
平分 ．
（3）如图3中，结论： 定值 ．
理由： ，，
，
平分 ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ，
，
， ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角
和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【变式训练3】如图，长方形 中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是 ，C
点的坐标是 且满足 ，点P在y轴上运动（不与点O，C重合）
(1) ______， ______，B点的坐标为______．
(2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形 的面积是长方形 面积的 ，若
存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
(3)点P在y轴上运动的过程中， 与 、 之间有怎样的数量关系，请直接
写出．
【答案】(1)2，3，
(2)存在，点P的坐标是
(3)当点P在点C上方时， ；当点P在点 之间时，
；当点P在点 下方时， ；
【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性直接计算即可得到答案；
（2）根据（1）可得 ， ，设点 ，根据面积关系列式求解即可得到答案；（3）过P作 ，分点 在 上方， 的下方， 之间三类讨论即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
故答案为：2，3， ；
（2）解：假设存在，由（1）得，
， ，
∴ ，
设点 ，
∴ ，
∵三角形 的面积是长方形 面积的 ，
∴ ，解得： ，
∴假设成立存在点P使三角形 的面积是长方形 面积的 ： ， ；
（3）解：过P作 ，
①当点 在 之间时，如图所示，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；②当点 在 的下方时，如图所示，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
③当点 在 上方时，如图所示，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查根据平行线的性质与判定探究角度关系，绝对值与算术平方根非负
性及坐标系中动点围城三角形面积问题，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别
等于0，探究角度关系注意分类讨论，面积问题注意点到坐标轴的距离与坐标关系．
课后训练
1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的
边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用 ， ， ， ，…表示，则顶点 的坐标是．
【答案】
【分析】根据每一个正方形有4个顶点可知每4个点为一个循环组依次循环，用56除以
4，根据商和余数判断出点 所在的正方形以及所在的象限，再根据正方形的性质写出即
可．
【详解】解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组依次循环，
∵ ，
∴点 是第14个正方形的第4个顶点，在第四象限，
∵从内到外正方形的边长依次为2，4，6，8，…，
∴ ， ；
， ；
， ；
…，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据四个点为一个循环组求出点 所在的正
方形和所在的象限是解题的关键．
2．【初步探究】
（1）如图1，在四边形 中， ，E是边 上一点， ，
连接 ．请判断 的形状，并说明理由．【问题解决】
（2）若设 ，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点C在第一象限内，若
为等腰直角三角形，求点C的坐标．
【答案】（1） 是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点C的坐标
为(1，2)或(3，3)或 ．
【分析】（1）利用全等三角形的判定证明 ≌ ，再由全等三角形的性质及直角
三角形的性质即可得到结论；
（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可；
（3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可．
【详解】解：（1） 是等腰直角三角形，理由如下：
在 和 中， ，
∴ ≌ ，
∴AE= DE，∠AEB=∠EDC，
∵在 中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC= 90°，
∴∠AEB+∠DEC= 90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴ 是等腰直角三角形；
（2）由题可知，四边形ABCD为梯形，
∵ ≌ ， ， ， ，
∴AB=CE=b，BE=CD=a，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于
点E，
∵点A(2，0)，点B(4，1)，
∴BE=1，OA=2，OE=4，
∴AE= 2，
∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，
∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，
∴ ≌ ，
∴CF=AE= 2，AF=BE=1，
∴OF=OA－AF=1，
∴点C坐标为(1，2)；
②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB
延长线于点F，
∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，
∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，
∴ ≌ ，
∴BE=CF=1，AE=BF= 2，
∴EF=3，
∴点C坐标为(3，3)；
③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点
F，BE⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，
∴ ≌ ，
∴CF=AD， BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2，
∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，
∴ ，
∴ ， ，
∴点C坐标为 ，
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰
直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形
是解题的关键．
3．综合与实践．
积累经验
我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在 中，
， ，线段 经过点 ，且 于点 ， 于点 .求证：
， ”这个问题时，只要证明 ，即可得到解决，
（1）请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标为
，点 的坐标为 ，求点 的坐标．
拓展提升
（3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________．
【答案】（1）见解析；（2）B的坐标（3，1）；（3）（3，4）
【分析】（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的
余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明 ，最后再根据全等三角形对应边相等得出AD=CE，CD=BE；
（2）如图4，过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明 ，进而得出AO=CE，
CO=BE，再根据点A的坐标为（0，2），点C的坐标（1，0），求得OE=3，最后得出B的
坐标（3，1）；
（3）如图5，过点C做CF⊥x轴与点F，再过点A、B分别做AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明
，进而得出BD=CE=，AE=CD，最后根据点 的坐标为 ，点 的坐标为
，得出B坐标（3，4）.
【详解】（1）证明：
∵AD⊥DE，BE⊥DE
∴∠D=∠E=90°
∴∠DAC+∠ACD=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴∠DAC=∠BCE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，CD=BE
（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E
∵∠AOC=90°∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠ACO+∠BCE=90°
∴∠OAC=∠BCE
在△AOC和△CEB中
∴△AOC≌△CEB
∴AO=CE，CO=BE
又∵点A的坐标为（0，2），点C的坐标（1，0）
∴AO=2，CO=1
∴CE=2，BE=1
∴OE=3
∴B的坐标（3，1）（3）（3，4）
解：如图5，过点C做CF⊥x轴与点F，再过点A、B分别做AE⊥CF，BD⊥CF，
∵AE⊥CF，BD⊥CF
∴ ，
∴ ,
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴在 和 中 ，
∴ （AAS）
∴BD=CE，AE=CD，
又∵ 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2
设B点坐标为（a，b），则a=4-1=3，b=2+2=4，
∴B坐标（3，4）
.
【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问
题；通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角
关系是本题的关键.4．如图1，在 中， ， ，以点 为原点， 所在直线为 轴，顶
点 在第一象限，建立平面直角坐标系．
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）如图2，点 在 轴负半轴上，连接 ，交 轴于点 ，过点 作 ，交
轴于点 ，线段 ， ， 有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，点 在 轴负半轴上， ， ， ，
之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）（3，3）；（2） ；（3）
【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，根据扽要直角三角形的性质，求出BD=OD=3，
即可求解；
（2）先证明 ，从而得OE=OA+AE=OA+OC，结合 ，即可得到结论；
（3）作BE⊥BC交y轴于点E，连接EF，先证明 ，可得EB=DB，EO=DA，结
合勾股定理得 ，再证明 ，进而即可求解．
【详解】解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，
∵在 中， ， ， ，
∴BD=OD=6÷2=3，
∴点 的坐标为（3，3）；
（2）∵在 中， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，∵ ，
∴∠CBE=∠OBA=90°，∠BOC=90°+45°=135°，∠BAE=180°-45°=135°，
∴∠BOC=∠BAE，
∵∠OBC+∠CBA=∠CBA+∠ABE=90°，
∴∠OBC=∠ABE，
∴ ，
∴OC=AE，
∴OE=OA+AE=OA+OC，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（3）作BE⊥BC交y轴于点E，连接EF，
∵ 是等腰直角三角形， ， ，
∴∠BOA=∠BAO=45°，
∴∠BOE=∠BAO=45°，
∵BE⊥BC，
∴∠OBE=90°-∠OBC=∠ABD，
又∵∠EOB=∠DAB=45°，OB=OA，
∴ ，
∴EB=DB，EO=DA，
∵在 中， ，
∴ ①，
∵ ，∠EBC=90°，
∴∠FBE=∠FBC=45°，
又∵BE=BD，BF=BF，
∴ ，
∴EF=DF，
∴ ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，
勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线
与直线 交于点 ，与x轴交于点 ，点P是直线 上一点（不与点C重
合）．
(1)求a的值．
(2)当 的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线 在平面直角坐标系内运动，且 始终与 平行，直线 交直线 于点
M，交y轴于点N，当 时，求 的面积．
【答案】(1)5
(2)P的坐标为 或(3)
【分析】（1）将 代入 ，从而可得答案；
（2）设直线 解析式为 ，求解直线 解析式为 ，及 ，可得
，P不能在线段 上，设 ，再分两种情况讨
论：当P在D下面时，如图：当P在C上方时，如图，再利用三角形的面积公式列方程即
可；
（3）过M作 于H，如图：设 ，证明 是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，可得 ，从而可得答案．
【详解】（1）解：将 代入 得：
，
解得 ，
∴a的值是5；
（2）设直线 解析式为 ，将 ， 代入得：
，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
在 中，令 得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴P不能在线段 上，
设 ，
当P在D下面时，如图：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当P在C上方时，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上所述，P的坐标为 或 ；
（3）过M作 于H，如图：设 ，
在 中，令 得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与
图形面积，等腰直角三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
6.如图，已知长方形 ， ， ， 为平面直角坐标系的原点， ，，点 在第四象限．
(1)直接写出点 的坐标______；
(2)点 从原点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线运动．
①当点 运动了4秒时，直接写出此时点 的坐标______；
②当三角形 的面积为3时，直接写出点 的坐标；
(3)若过点 的直线 与长方形 的边交于点 ，且直线 将长方形 的面积分
为 两部分，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②点 的坐标为 或
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）根据长方形的性质即可得出点 的坐标；
（2）①点 从原点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线运动，
当点 运动了4秒时， 运动了8个单位长度，此时 在 上，由此可得 的长，进而
得到 ，即可得出点 的坐标；②设 点的纵坐标为 ，由三角形 的面积为3，可
得 ，从而得到 ，再结合图形分：当 在 上时，当 在 上
时，分别得出坐标即可；
（3）分两种情况：当点 在 上时；当点 在 上时，根据直线 将长方形 的
面积分为 两部分，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解： 长方形 ， ， ，
， ，
点 在第四象限，
，
故答案为： ；（2）解：①点 从原点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线
运动，当点 运动了4秒时， 运动了8个单位长度，此时 在 上，
，
，
，
，
故答案为： ；
②设 点的纵坐标为 ，
三角形 的面积为3，
，
即 ，
或 ，
由图可知 ，
，
，
如图，此时存在两种情况：当 在 上时， ，当 在 上时， ，
点 的坐标为 或 ；（3）解：当点 在 上时，设点 ，
，
直线 将长方形 的面积分为 两部分，
，
，
即 ，
解得： ，
，
当点 在 上时，设点 ，
，
直线 将长方形 的面积分为 两部分，
，
，
即 ，
解得： ，，
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题只要考查了坐标与图形、三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质，采用
数形结合的思想以及分类讨论的思想解题，是解题的关键．
