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专题 05 与根的判别式有关的两种考法
类型一、参数位置的问题
例1.（二次项含参）关于x的方程 ，只有一个实数解，则m的值等于（ ）
A．0，2 B．1，2 C．0， ，1 D．0，2，1
【答案】D
【分析】方程 ，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不
为0；二次项系数不为0时，二次方程有两个相等的实数根．
【详解】方程 ，只有一个实数解，有两种情况：
①当 时，即 时，方程为 ，
∴ ．
故 时， 程 ，只有一个实数解．
②当 时，方程有一个实数解需满足： ．
即 ．
解得： ．
综上所述，m的值等于0，2，1时，方程 ，只有一个实数解．
故选：D．
【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论．
例2.（二次项不含参）关于x的方程 根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
【答案】B
【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可．
【详解】解：根据题意得， ，
则关于x的方程 有两个不相等实数根，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握 ，一元二次方程有两个不相等的实
数根； ，一元二次方程有一个实数根； ，一元二次方程无实数根是解题的关键．
【变式训练1】若关于x的方程 有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】A
【详解】解：当k=0时，方程化为-x-1=0，解得x=-1；
当k≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥- 且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≥- ．
故选：A．
【变式训练2】已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值是 ．
【答案】
【分析】运用根的判别式求参数即可．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，整理得， ，解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根据根的情况求参数，掌握根的判别式求参数的计算方法是解题的
关键．
【变式训练3】已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，方程的根是 （答案不唯一）
【分析】（1）根据根的判别式 即可证明；
（2）先根据方程至少有一个正整数根，求出 ，在此范围内取 ，即可求出方程的根．【详解】（1）∵ ，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵ ，
∴ ．
∵方程至少有一个正整数根，
∴ ．
∴ ．
当 时，一元二次方程 可化为 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元
二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．
【变式训练4】若方程 没有实数根，试判断方程 根的情况并说明
理由．
【答案】方程 有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】由方程 没有实数根，可求出 ，进而可得出方程
的根的判别式 ，然后根据判别式的意义得出结论．
【详解】解：方程 有两个不相等的实数根，
理由：∵方程 没有实数根，
∴ ，
解得： ，
∴方程 的根的判别式 ，∴方程 有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，
方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根”是解题的关键．
类型二、分情况讨论（是否是二次方程）
例1.m为何值时，关于x的方程 有唯一的根，并求这个根．
【答案】当m＝0时， ；当m＝ 时，
【详解】解：①当m＝0时，原方程是一元一次方程，
∴ ，解得 ；
②当m≠0时，原方程是一元二次方程，
由题意知， ，解得 ，
∴ ，解得 ；
综上所述，该方程的根为 或 ．
例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程 ：①若 ，则方程必有两个不相等
的实数根；②若 ，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（ ） ．
【答案】②
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：① ，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误；
① ，则方程必有两个不相等的实数根，
故②正确．故答案为②．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，有两个不同的实根；当判别式等
于0时，有两个相同的实根；当判别式小于0时，无实根．
【变式训练1】已知，关于x的一元二次方程 ．
(1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为 ，求k的值和另一个根．【答案】(1) 时，方程有两个不相等的实数根；(2) ，另一个根为
【解析】(1)解：∵ ， ， ，
∴ ．
，解得
所以，当 时，方程有两个不相等的实数根．
(2)解：把 代入原方程得： ，解得： ．
设另一个根为 ，则 ，即 ，所以方程的另一个根为 ．
【变式训练2】已知关于 的一元二次方程 ．
（ ）求证：方程总有两个实数根；
（ ）记该方程的两个实数根为 和 若以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） 或 ．
【解析】（ ）证明： ，
无论 取何值，方程总有两个实数根．
（ ）解： ， ． ， ．
以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形， ．
当 为斜边时，则 ，解得 ．
当 为斜边时，则 ，解得 ．
综上所述， 的值为 或 ．
【变式训练3】已知关于 的方程 没有实数根，试判断关于 的方程 实数根
的情况，并说明理由．【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．
【分析】根据关于 的方程 没有实数根，求出 的求值范围；再表示关于 的方程
， ，即可判断该方程根的情况．
【详解】解：∵方程 没有实数根，
，
，对于关于 的方程 ，
，
，
，即 ，
∴方程 一定有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是
解题关键．
课后作业
1．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关
【答案】B
【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答.
【详解】解：∵方程化为一般式为 ，
则 ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键．2．已知 ， ， 为常数，点 在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】由点 在第四象限，可得 ， ，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ， ，
方程 的判别式 ，
方程 有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点
为： 以及根的判别式的含义是解本题的关键．
3．已知关于 的一元二次方程 ，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的
两根，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．不能确定
【答案】C
【分析】分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
【详解】解：当腰为4时，
把 代入 得，
，
解得 ；
当底为4时，则方程 有两相等的实数根，
∴ ，∴ ，
解得 ，
综上所述， m的值为4或3．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程
的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的
关键．
4．在平面直角坐标系中，若直线 不经过第三象限，则关于x的方程 的实数根的情
况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】由直线解析式求得k≥0，然后确定Δ的符号即可．
【详解】解∶ 直线 不经过第三象限，
关于 的方程 的实数根的情况为有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式∶一元二次方程 的根与
有如下关系∶当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程无实数根．
5．已知关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则方程 的根的情况是
（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是【答案】C
【分析】先将 代入 中求出 ，则一元二次方程 化为 ，然
后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
则一元二次方程 化为 ，
∵ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
6．若 是一元二次方程 的一个根，那么方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个根是
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】B
【分析】先将 代入 中得到 ，再根据一元二次方程根的判别式进行求
解即可得出结论．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，即 ，
对于方程 ，
∵ ，
∴方程 有两个实数根，故选项A、C、D错误，不符合题意；
当 时， ，即 是方程 的一个根，故选项B正确，符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握
一元二次方程 根的情况与根的判别式 的关系：当 时，方程有两个不相等的
实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
7．关于 的方程 （其中 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【答案】一定有；理由见解析
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：关于 的方程 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程一定有实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
8．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 为何值，方程有两个不相等的实数根．
(2)如果方程有一个实数根为 ，求另一个实数根．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)方程的另一个实数根为
【分析】（1）运用根的判别式即可求解；
（2）把一个实数根为 代入方程，可求出 的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解．
【详解】（1）证明：关于 的一元二次方程 中， ，
∴ ，整理得， ，
∴无论 为何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程有一个实数根为 ，
∴ ，解得， ，∴原方程得， ，
因式分解得， ，
∴ ， ，
∴方程的另一个实数根为 ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根的判别式，根据根的情况求参数的综合，掌握以上知识的综合运
用是解题的关键．
9．关于x的方程 有实数根，求k的取值范围．
【答案】
【分析】分情况讨论当 时和当 时，方程根的情况，从而求出k的取值范围．
【详解】①当 时，方程为一元一次方程，原方程可变形为 ，解得 ；
②当 时，方程为一元二次方程，
若方程有实数根，则 ，解得 ，
∴ 且 ，
综上，k的取值范围为 ．
【点睛】本题考查方程的根，解题的关键是能够分情况讨论．
10．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【答案】(1)见解析；(2)1，2，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（ ）判断方程的根的情况即可．
（2）求出方程的根即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵
=∴方程有两个实数根；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1，2．
