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专题 04 二次函数实际应用的四种考法
类型一、销售利润问题
例．2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运
会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈
顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
(1)设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ；
(2)当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
(3)请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
【变式训练1】．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，
若双肩包定价为110元，则一个月的销售量为300个，若每降价1元，则每个月可以多销售10个．设这种
双肩包的单价为 元，一个月的销售利润为 元．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)该商店热心公益事业，决定从这种双肩包每月的利润中捐出1750元给希望工程，为了保证捐款后每月
剩余利润不低于12000元，求销售单价 的范围．【变式训练2】．大锦农某品种苹果，进价为10元/千克，根据张丽同学调研发现：每天销量 (千克)与销
售单价( 元/千克)存在一次函数关系．
(1)求 与 之间的函数关系式(不要求写出自变量取值范围)；
(2)怎样确定销售价才能使该品种苹果每天销售利润最大？最大利润为多少？
【变式训练3】．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售
该产品的过程中发现：销售该产品的成本 （单位：元）与销售件数 （单位：件）成正比例．同时每天
的销售件数 与销售价格 （单位：元 件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售 产
品的一些数据．
销售价格 （单位：元
25 30 32 38
件）
销售件数 （单位：件） 35 30 28 22
销售成本 （单位：元） 210 180 168 132
(1)直接写出 与 之间的函数关系式；
(2)若一天的销售利润为 ，当销售价格 为多少时， 最大？最大值是多少？
(3)该专卖店以每件返现 元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当 元 件时，一天可获得的
利润为600元，求 的值．
【变式训练4】．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系： ，设这种电
子鞭炮每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?
类型二、喷水问题
例．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安置一根水管，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的
抛物线形水柱与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m．以水管与地
面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，每个
单位长度表示1m．
(1)求水管 的长度．
(2)如图2， 是图中抛物线上一动点，点 与点P关于y轴对称，画出点 所在的抛物线的草图，并
直接写出点 所在抛物线的解析式及自变量的取值范围．
(3)将水管OA喷水头往上平移 m，求水柱落地处离池中心的距离．【变式训练1】．如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点
O处有一个喷水头，距离喷水头 的M处有一棵高度是 的树，距离这棵树 的N处有一面高
的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度 与水平距离 近似满
足函数关系 ．
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
0 2 6 10 12
0
①根据上述数据，求满足的函数关系；②求喷水头喷出的水柱最大高度；
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的
常数b的范围_________．【变式训练2】．为应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能演习．如图，在一个废弃高楼距地面10m的
点A至16m的点B处，设置了一个火源段（含点A与点B），消防员站在高楼前且与高楼水平距离为t米
位置使用高压水枪灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分，且每次水流所在抛物线的形状完全相同．
水流达到火源段（线段 ）中某一处，则视为有效灭火．如图1，消防员甲灭火时站在水平地面的点C
处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为18m，水流的最高点到高楼的水平距离为
4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二
次函数关系．
(1)求消防员甲灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)如图2，消防员乙站在水平地面的点D处进行灭火，此时 ，请判断他是否有效灭火，并说明理由；
(3)若要有效灭火，请直接写出t的取值范围．
【变式训练3】．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为 米．建立如图2所示
的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽
象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移
得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离
为 米．
(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程 ；
(2)求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
(3)若 米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．类型三、拱桥问题
例．如图1是某公园内的一座拱桥．如图2是其桥拱的截面示意图，可视为抛物线的一部分．某时测得桥
拱内的水面宽 ，桥拱顶点C到水面的距离是 ．据调查，该河段水位在此基础上再涨 达到
最高．
(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面所在抛物线的函数表达式．
(2)为迎佳节，拟在图1桥拱内壁上悬挂 长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于 ，请确定
悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
(3)桥拱截面所在抛物线在 轴下方的部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新的函数图象 ，如图
3．将图象G向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时，y随x的增大而减小，请直
接写出 的取值范围．
【变式训练1】．如图，有一座抛物线形状的拱桥，对拱桥在水面以上的部分进行测量，得到桥洞的跨度
为12米，并且以桥洞拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐
标系，把测量得到的数据记入下表：
x（米） －6 －4 －2 0 2 4 6
y（米） －3.02 －1.33 －0.31 0 －0.32 －1.33 －2.99(1)请在下面的坐标系中根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合图象，写出拱桥的桥洞在拱顶下方1米的位置宽度是______米（结果精确到0.1）；
(3)现有一艘宽4米，高2米的游船要穿过拱桥的桥洞．为保证安全，要求船顶到竖直方向上拱桥桥洞对应
点的距离不小于0.5米，那么这艘船______（填“能”或者“不能”）安全通过．
【变式训练2】．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度 为12米．现以
O点为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面 线
上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 、 、 的长度之和的最大值是多
少，请你帮施工队计算一下．【变式训练3】．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数
表达式为， 为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 高为8米的点 ， 处要安装两盏
警示灯，则这两盏灯的水平距离 是多少米？（精确到1米）
【变式训练4】．如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为
6米，宽 为12米．以点O为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶
宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；
(3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带” ，使点A，D在抛物线上，点B，C在
上，求出所需的三根“光带” ， ， 的长度之和的最大值．类型四、图形运动问题
例．如图，菱形 的边长为6 ， ，点E为 的中点，动点P以2 的速度沿A→B→E
运动，动点Q以1 的速度沿B→D运动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，当其中一点到达终点时，
另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为 s， 的面积为y ，则y与x之间的关系用图象大致
可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】．如图，在 中， ，E是 边上一动点，沿
A→C→B的路径移动，过点E作 ，垂足为D．设 ， 的面积为y，则下列能大致反
映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】．如图，正方形 边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且
，设小正方形 的面积为s， 为x，则s关于x的函数图象大致是（ ）A． B． C． D．
【变式训练3】．如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，以 的速度分别
沿 和 的路径向点 运动．设运动时间为 （单位：s）四边形 的面积为
（单位： ），则 与 （ ）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4】．如图，在 中， ， ， ，动点P从点B出发以 的速
度沿 方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以 的速度沿 方向匀速移动．设
的面积为 ，运动时间为 ，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）A． B． C． D．
课后作业
1．如图，四边形 是菱形，边长为4， ，垂直于 的直线 从点A出发，沿 方向以每
秒1个单位长度的速度向右平移，设直线P与菱形 的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），
若 的面积为y，直线 的运动时间为x秒 ，则能大致反映y与x的函数关系的图象是
（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在 中， ， ，点 分别为 的中点，点P从A点向D点运动，点Q在 上，且 ，连接 ，过点Q作 交AB与点F，设点P运动的路程为x，
的面积为 ，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形 中， ， ，点E是线段 的三等分点（ ），动点F从点
D出发向终点E运动，以 为边作等边 ，在动点F运动的过程中，阴影部分面积的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
4．某公园在在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看
作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，
获得如下数据；在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．
（米）
（米）
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度为 m；
(3)求所画图象对应的函数表达式；
(4)从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落
点到护栏的距离不能小于0.5米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因
素）．
5．如图，在平面直角坐标系中画出某水利工程公司开挖的水渠横截面，该水渠呈抛物线形，其宽度
米．某日，当水渠内的水面宽度 为24米时，水面与两岸的竖直高度为 米．
(1)求该抛物线对应的函数表达式．
(2)若水渠中原水面的宽度 减少为原来的一半，则水渠最深处到水面的距离减少多少米？
6．如图，某小区准备用总长 的篱笆围成一块矩形花圃 ．为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，
另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆 与 将矩形 分割成 三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设 ．
(1)填空： __________m．（用含x的代数式表示）
(2)当矩形区域①的面积为 时，求 长．
(3)当围成的花圃 的面积最大时，求 长．
7．2022年冬奥会在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进
价为每件 元，当销售单价定为 元时，每天可售出 件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的
降价措施，经调查发现：销售单价每降低１元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款
文化衫的销售单价为x（元），每天的销售利润为y（元）．
(1)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为 元；
(2)当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
