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专题 05 二次函数中特殊三角形存在性问题
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，抛物线 交 轴于点 、 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，点 、 的坐
标分别为 ， ，对称轴 交 轴于 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一点，且 ．求 的坐标；
(3) 为抛物线对称轴上一点，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练1】．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经
过 两点，且与 轴的另一个交点为 ，对称轴为直线 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2) 是第二象限内抛物线上的动点，设点 的横坐标为 ，求四边形 面积S的最大值及此时D点
的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请
直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，已知二次函数 的图象交 轴于点 ，交y轴于
点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上的一动点，求 面积的最大值；
(3)直线 （不经过点 ）分别交直线 和抛物线于点 ，当 是等腰三角形时，直接写出
的值．
【变式训练3】．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数的图象交
于 两点，与二次函数图象的对称轴交于点 ，其中 点的坐标为 ， 点在 轴上．
(1)求 的值及这个二次函数的关系式：
(2)求 的面积；(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接
写出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练4】．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且经过 ，
两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)若直线 经过B，C两点，求直线 和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴 上找一点M使三角形 的周长最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使 为等腰三角形的点P的坐标．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，已知抛物线 经过点 ， ，其对称轴为直线 ， 为y轴
上一点，直线 与抛物线交于另一点D．
(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出直线 的解析式和点D坐标；
(3)在线段 下方的抛物线上求一点E，使得 的面积最大，并求出最大面积；
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得 是直角三角形？如果存在，直接写出点F的坐标；如果
不存在，请说明理由．
【变式训练1】．如图，直线 与抛物线 相交于 和 ，点 是线
段 上异于 的动点，过点 作 于点 ，交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点 ，使线段 的长有最大值？求这个最大值；
(3)是否存在这样的点 ，使 为直角三形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ， ，与
y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接BD交y轴于点G，作直线OD，点P为线段BD上方的抛物线上任意一点，过点P作 轴交BD于点E，过点P作 直线OD于点F．当
为最大时，求这个最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接BC、BD，将 绕点O顺时针旋转 得到 ，使得 ，将
线段 沿射线 平移得到 ，连接 ， ，请问在平移过程中，是否存在 是以
为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出 的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物
线的对称轴与 轴交于点 ，顶点坐标为 .
（1）求抛物线的表达式和顶点 的坐标；
（2）如图1，点 为抛物线上一点，点 不与点 重合，当 时，过点 作 轴，交
抛物线的对称轴于点 ，作 轴于点H，得到矩形 ，求矩形 的周长的最大值；
（3）如图2，点 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使以点 、 、 为顶点的三角形是直角三角
形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式训练4】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于A，B两点，与y
轴相交于点C，直线 经过B，C两点，已知 ， ，且 ．(1)求点B的坐标；
(2)分别求出直线BC的解析式和抛物线的解析式；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 是以 为一条直角边的直角三角形？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点
C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接 ， ．
（1）点P的坐标为 ．
（2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当 是等腰直角三角形时，点M的坐标为
．
【变式训练1】．如图①，已知抛物线L： 经过点 ， ，过点A作 轴交抛
物线于点C， 的平分线交线段 于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线 下方的抛物线上，连接 、 ，当 面积最大时，求出P点坐标；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使 成为以点P为直角顶点的
等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．将抛物线 ： 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移2
个单位长度得到抛物线 ．
(1)直接写出抛物线 ， 的解析式；
(2)如图，点 在抛物线 上（对称轴 右侧），点 在对称轴 上， 是以 为斜边的等腰直角三角
形，求点 的坐标．【变式训练3】．如图1，抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 、直线
与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式及顶点 的坐标．
(2)连结 ，判断线段 与线段 有何关系，请说明理由．
(3)如图2．若点 是直线 上方的抛物线上的一动点，设点 的横坐标为 ．
①连结 、 ，当 为何值时， ．
②在直线 上是否存在一点 使 为等腰直角三角形，若存在请求出 的值，不存在请说明理由．
【变式训练4】．如图，抛物线 的图象与 轴交于点 、 （ 在 左侧），与 轴交于
点 ， ，点 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 是抛物线上一动点，且满足 ，求 点坐标；(3) 是对称轴左侧抛物线上一动点，以 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点 正好落在对称轴上，画
出图形并求出 点坐标．
