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专题 05 实数压轴四大类型
考点一：利用数轴化简根式
考点二：比较大小与实数估算
考点三：新定义问题
考点四：实数综合应用
【考点一：利用数轴化简根式 】
【典例1】（2023春•白城期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达
点B，点A表示﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2 ﹣ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与 互为相反数，
求2c﹣3d的平方根．
【变式1-1】（2023春•海林市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a﹣c|
﹣|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a﹣b﹣c B．b﹣c C．﹣b﹣c D．﹣2a﹣b+c
【变式1-2】（2023秋•济宁期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝
．【变式1-3】（2022春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．
试化简： +|a+b|+ ﹣|b﹣c|．
【变式1-4】（2022秋•农安县期中）已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图
所示，请你化简 ．
【考点二：比较大小与实数估算】
【典例2】（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道 的小数部分我们不可能全部地写出来，
于是可以用 ﹣1来表示 的小数部分（因为 的整数部分是1，将这个数减去其整
数部分，差就是小数部分）．
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值 ．
（2）已知：21+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数 ．【变式2-1】（2023秋•华容县期末）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式2-2】（2022秋•驿城区期末）已知 的小数部分为a， 的小数部分为
b，则（a+b）2023的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．10 D．36
【变式2-3】（2023秋•昌黎县期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全
部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为 的整数部分是1，于
是用 来表示 的小数部分．又例如：∵ ，即 ，∴
的整数部分是2，小数部分为 ．
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若m，n分别是 的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．
【典例3】（2023秋•顺德区校级月考）比较大小， 2.5； （填
“＞”或“＜”）．
【变式3-1】（2023春•大洼区校级期末）比较大小： ．
【变式3-2】（2023秋•裕华区校级期中）若a＝2 ，b＝3 ，c＝ +2，则a，b，c之
间的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【变式3-3】（2023春•益阳期末）2 、 、15三个数的大小关系是（ ）
A．2 ＜15＜ B． ＜15＜2
C．2 ＜ ＜15 D． ＜2 ＜15
【考点三：新定义问题】
【典例4】（2023秋•碑林区校级月考）对于整数n，定义 为不大于 的最大整数，
例 如 ： ， ， ． 对 72 进 行 如 下 操 作 ：
，即对72进行3次操作后变
为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（ ）
A．80 B．6400 C．6560 D．6561
【变式4-1】（2023春•青秀区校级期末）定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则
△1的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023春•清丰县校级期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a
＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知
min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点四：实数综合应用】
【典例5】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为
6和9．
（1）小正方形的边长为 ，它在 和 这两个连续整数之间；
（2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）【变式5-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为
8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上
表示的数为 ．
【变式5-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片
剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长；
（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角
线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数
吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．
【变式5-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜ ＜3∴ 的整数部分为
2，小数部分为 ﹣2．
（1） 的整数部分是 ，10﹣ 的小数部分是 ；
（2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪
出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理
由．
一．选择题（共6小题）
1．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|＝|c|，则下列结论错误的是（
）
A．a+c＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＜0 D．
3．正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方
形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应
的点是（ ）
A．D B．C C．B D．A
4．已知a、b是表中两个相邻的数，且 ，则a＝（ ）
x 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20
x2 361 364.81 368.64 372.49 376.36 380.25 384.16 388.09 392.04 396.01 400A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
5．已知a是（﹣2）2的负的平方根，b＝ ，c＝ ，则a，b，c中最大的实数
与最小的实数的差是（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣8 D．﹣
6．定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则 △1的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
7．对于实数 P，我们规定：用 表示不小于 的最小整数．例如： ，
，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变
为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2．
8．如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方
形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为 A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点
分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积
记为S．当S＝ 时，数轴上点B'表示的数是 （用含a的代
数式表示）．
9．定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2， ，[4.1]＝4，则满足 ，则
n的最大整数为 ．
三．解答题（共6小题）
10．阅读理解∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3．
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ﹣2
∴1＜ ﹣1＜2
∴ ﹣1的整数部分为1．
∴ ﹣1的小数部分为 ﹣2
解决问题：已知：a是 ﹣3的整数部分，b是 ﹣3的小数部分，
求：（1）a，b的值；
（2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
11．已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4， 的整数部分是c，求3a﹣
b+c的值．
12．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
13．化简求值：
（1）已知a是 的整数部分， ＝3，求 的平方根．（2）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2 ﹣|a﹣
b|．
14．计算下列各题
（1） ﹣ ﹣ +|1﹣ |
（2） ﹣ + ．
15．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位，虚
数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）
的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如：计算（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（6﹣5i）+（﹣3+7i）；
（3）计算：3（2﹣6i）﹣4（5﹣i）．
