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专题 05 实数压轴四大类型
考点一：利用数轴化简根式
考点二：比较大小与实数估算
考点三：新定义问题
考点四：实数综合应用
【考点一：利用数轴化简根式 】
【典例1】（2023春•白城期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达
点B，点A表示﹣ ，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2 ﹣ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与 互为相反数，
求2c﹣3d的平方根．
【答案】（1）2﹣ ；
（2）2；
（3）±4．
【解答】解：（1）m＝﹣ +2＝2﹣ ；
（2）∵m＝2﹣ ，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．（3）∵|2c+d|与 互为相反数，
∴|2c+d|+ ＝0，
∴|2c+d|＝0，且 ＝0，
解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4，
①当c＝﹣2，d＝4时，
所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根．
②当c＝2，d＝﹣4时，
∴2c﹣3d＝16，
∴2c﹣3d的平方根为±4，
答：2c﹣3d的平方根为±4．
【变式1-1】（2023春•海林市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a﹣c|
﹣|a﹣b|的结果是（ ）
A．2a﹣b﹣c B．b﹣c C．﹣b﹣c D．﹣2a﹣b+c
【答案】A
【解答】解：由数轴可得c＜a＜0＜b，
则a﹣c＞0，a﹣b＜0，
那么|a﹣c|﹣|a﹣b|＝a﹣c﹣（b﹣a）＝a﹣c﹣b+a＝2a﹣b﹣c，
故选：A．
【变式1-2】（2023秋•济宁期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝ ﹣
2 a ．
【答案】﹣2a．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
【变式1-3】（2022春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简： +|a+b|+ ﹣|b﹣c|．
【答案】b．
【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，
原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）
＝b．
【变式1-4】（2022秋•农安县期中）已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图
所示，请你化简 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图示知，b＜a＜0．则a﹣b＞0，a+b＜0．
所以原式＝a﹣b﹣（a+b）＝﹣2b．
【考点二：比较大小与实数估算】
【典例2】（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道 的小数部分我们不可能全部地写出来，
于是可以用 ﹣1来表示 的小数部分（因为 的整数部分是1，将这个数减去其整
数部分，差就是小数部分）．
（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值 1 ．
（2）已知：21+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数
．
【答案】（1）1；
（2） ．
【解答】解：（1）∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ，∴a＝ ，
∵ ，即 ，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 ，
∴b＝3，
∴
＝
＝
＝1，
故答案为：1；
（2）∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵21+ ＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝24，y＝ ，
∴x﹣y
＝
＝
＝
＝ ，
∴x﹣y的相反数为： ，
故答案为： ．
【变式2-1】（2023秋•华容县期末）下列整数中，与 最接近的是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，∴6＜10﹣ ＜7，
∵3.52＝12.25，且12.25＜13，
∴ ＞3.5，
∴10﹣ ＜6.5，
∴与10﹣ 最接近的整数是6．
故选：B．
【变式2-2】（2022秋•驿城区期末）已知 的小数部分为a， 的小数部分为
b，则（a+b）2023的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．10 D．36
【答案】A
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的 小 数 部 分 为 ， 的 小 数 部 分 为
，
∴
∴ ，
故选：A
【变式2-3】（2023秋•昌黎县期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全
部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为 的整数部分是1，于
是用 来表示 的小数部分．又例如：∵ ，即 ，∴
的整数部分是2，小数部分为 ．（1） 的整数部分是 4 ，小数部分是 ；
（2）若m，n分别是 的整数部分和小数部分，求3m﹣n2的值．
【答案】（1）4， ；
（2） ．
【解答】解：（1）∵ ，即 ，
∴ 的整数部分是4，小数部分是 ，
故答案为：4， ；
（2）∵ ，即 ，
∴ ，
，
，
∴ 的整数部分是3，小数部分是 ，
∴m＝3， ，
∴3m﹣n2
＝
＝
＝
＝ ．
【典例3】（2023秋•顺德区校级月考）比较大小， ＜ 2.5； ＞ （填
“＞”或“＜”）．
【答案】＜，＞．【解答】解：∵ ，
而6＜6.25，
∴ ，
∵4＜5，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：＜，＞．
【变式3-1】（2023春•大洼区校级期末）比较大小： ＞ ．
【答案】＞．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：＞．
【变式3-2】（2023秋•裕华区校级期中）若a＝2 ，b＝3 ，c＝ +2，则a，b，c之
间的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【答案】D
【解答】解：∵ ≈1.414， ≈2.236，
∴a≈4.472，b≈4.242，c≈3.414，
∴a＞b＞c，
故选：D．
【变式3-3】（2023春•益阳期末）2 、 、15三个数的大小关系是（ ）A．2 ＜15＜ B． ＜15＜2
C．2 ＜ ＜15 D． ＜2 ＜15
【答案】A
【解答】解：2 ＝ ，15＝ ，
∵56＜225＜226，
∴ ＜ ＜ ，
∴2 ＜15＜ ．
故选：A．
【考点三：新定义问题】
【典例4】（2023秋•碑林区校级月考）对于整数n，定义 为不大于 的最大整数，
例 如 ： ， ， ． 对 72 进 行 如 下 操 作 ：
，即对72进行3次操作后变
为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为（ ）
A．80 B．6400 C．6560 D．6561
【答案】C
【解答】解：A、[ ]＝8，[ ]＝2，[ ]＝1，不符合题意；
B、[ ]＝80，[ ]＝8，[ ]＝2，不是最大，不符合题意；
C、∵ ， ， ，
∴对6560只需进行3次操作后变为2，符合题意；
D、∵ ， ， ，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，
∴m的最大值为6560．
故选：C．【变式4-1】（2023春•青秀区校级期末）定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则
△1的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得 ．
故选：C．
【变式4-2】（2023春•清丰县校级期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a
＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知
min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ．
∴a＜ ，b＞ ．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故选：D
【考点四：实数综合应用】
【典例5】（2023秋•市中区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为
6和9．
（1）小正方形的边长为 ，它在 2 和 3 这两个连续整数之间；
（2）请求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）【答案】（1） ；2；3；（2） ．
【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为 ，
∵4＜6＜9，
∴ ，
∴它在2和3这两个连续整数之间．
故答案为： ；2；3．
（2）阴影部分的面积为： ．
【变式5-1】（2023•丰南区一模）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为
8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上
表示的数为 ﹣ 1 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为： ，
∴S正方形ABCD ＝ ＝2；
（3）∵正方形ABCD的边长为 ，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣ ，
故答案为：﹣1﹣ ．
【变式5-2】（2023春•无为市期末）（1）在数学活动课上，老师要求同学利用手中纸片
剪出一块面积为25cm2的正方形，试求出这个正方形的边长；
（2）小强的手中有两块边长都为4cm的正方形纸片，他想将这两块正方形纸片沿对角
线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，请求出这个大正方形的面积．它的边长是整数
吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．
【答案】（1）5cm；
（2）面积为32cm2，边长为 cm， 不是整数，5＜ ＜6．
【解答】解：（1）面积为25cm2的正方形，其的边长为 ＝5cm，
答：面积为25cm2的正方形，这个正方形的边长为5cm；
（2）由拼图可知，大正方形的面积为32cm2，
所以边长为 cm，
∵52＝25，62＝36，而25＜32＜36，
∴5＜ ＜6，
答：这个大正方形的面积为32cm2，边长为 cm， 不是整数，5＜ ＜6．【变式5-3】（2023春•鄂城区期中）观察：∵4＜7＜9，∴2＜ ＜3∴ 的整数部分为
2，小数部分为 ﹣2．
（1） 的整数部分是 6 ，10﹣ 的小数部分是 7 ﹣ ；
（2）小明将一个长为10cm，宽为8cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪
出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75cm2，小明能否裁
剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理
由．
【答案】（1）6，7﹣ ；（2）小明无法裁剪这两个正方形．
【解答】解：（1）∵36＜47＜49，
∴6＜ ＜7，
∴ 的整数部分是6，
∴10﹣ 的整数部分是3，10﹣ 的小数部分是7﹣ ，
故答案为：6，7﹣ ；
（2）设小正方形的边长为3x cm，则大正方形的边长为4x cm，
根据题意得：（4x）2+（3x）2＝75，
解得：x＝ 或x＝﹣ （舍），
∴小正方形的边长为3 cm，大正方形的边长为4 cm，
∵3 +4 ＝7 ＝ ＞ ＝10，
∴小明无法裁剪这两个正方形．
一．选择题（共6小题）1．如图，点A，C都是数轴上的点，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、B、﹣2处的点构成了直角三角形，
∴AB＝ ＝ ，
∵AB＝AC，
∴AC＝ ，
∴C点所表示的数为﹣ +1，
故选：A．
2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|＝|c|，则下列结论错误的是（
）
A．a+c＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＜0 D．
【答案】C
【解答】解：∵|b|＝|c|，
∴原点在表示b和c的两点之间线段的中点处，
∴a＜b＜0，|a|＞|b|，c＞0，|a|＞|c|，
∴a+c＜0，a﹣b＜0，ab＞0， ，
∴A，B，D选项的计算正确，C选项的计算错误，
故选：C．
3．正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方
形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应
的点是（ ）A．D B．C C．B D．A
【答案】C
【解答】解：∵正方形纸板ABCD在数轴上点A、D对应的数分别为1、0，
∴正方形ABCD的边长为1，
∴转动时点A对应的数依次为1、5、9、……；
B点对应的数依次是2、6、10、……；
C点对应的数依次是3、7、11、……；
D点对应的数依次是4、8、12、……；
2022＝4×505+2，
故对应的是第505次循环后，剩余第二个点，即B点．
故选C．
4．已知a、b是表中两个相邻的数，且 ，则a＝（ ）
x 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20
x2 361 364.81 368.64 372.49 376.36 380.25 384.16 388.09 392.04 396.01 400
A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
【答案】A
【解答】解：∵19.42＝376.3，19.52＝380.2，
∴376.3＜380＜380.2，
∴ ，
∴ ，
∴a＝19.4，
故选：A．
5．已知a是（﹣2）2的负的平方根，b＝ ，c＝ ，则a，b，c中最大的实数
与最小的实数的差是（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣8 D．﹣【答案】B
【解答】解：∵a是（﹣2）2的负的平方根，b＝ ，c＝ ，
∴a＝﹣2，b＝2，c＝﹣4，
∴a，b，c中最大的实数为2，最小的实数为﹣4，
∴2﹣（﹣4）＝6，
故选：B．
6．定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则 △1的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得 ．
故选：C．
二．填空题（共3小题）
7．对于实数 P，我们规定：用 表示不小于 的最小整数．例如： ，
，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变
为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2．
【答案】3．
【解答】解：根据定义进行运算得，将 36按照题目的定义进行运算求解．36 {
}＝6 { }＝3 { }＝2，
∴对36只需进行次操作后变为3，
故答案为：3．
8．如图，面积为a（a＞1）的正方形ABCD的边AB在数轴上，点B表示的数为1．将正方
形ABCD沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为 A'B'CD'，点A、B、C、D的对应点
分别为A'、B'、C、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S．当S＝ 时，数轴上点B'表示的数是 或 2 ﹣ （用含a的代数式表
示）．
【答案】 或2﹣ ．
【解答】解：因为正方形面积为a，
所以边长AB＝ ，
当向右平移时，如图1，
因为重叠部分的面积为S＝AB'•AD＝ ，
AB'× ＝ ，
所以AB'＝1，
所以平移距离BB'＝AB﹣AB'＝ ﹣1，
所以OB'＝OB+BB'＝ ＝ ，
则B'表示的数是 ；
当向左平移时，如图2，
因为重叠部分的面积为S＝A'B•A'D'＝ ，
A'B× ＝ ，
所以A'B＝1，
所以平移距离BB'＝A'B'﹣A'B＝ ﹣1，
所以OB'＝OB﹣B'B＝1﹣（ ﹣1）＝2﹣ ，
则B'表示的数是2﹣ ．9．定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2， ，[4.1]＝4，则满足 ，则
n的最大整数为 3 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：
∵5≤ ＜6，
∴25≤n＜36，
∴n的最大整数为35．
故答案为：35．
三．解答题（共6小题）
10．阅读理解
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3．
∴ 的整数部分为2，小数部分为 ﹣2
∴1＜ ﹣1＜2
∴ ﹣1的整数部分为1．
∴ ﹣1的小数部分为 ﹣2解决问题：已知：a是 ﹣3的整数部分，b是 ﹣3的小数部分，
求：（1）a，b的值；
（2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵ ＜ ＜ ，
∴4＜ ＜5，
∴1＜ ﹣3＜2，
∴a＝1，b＝ ﹣4，
（2）（﹣a）3+（b+4）2
＝（﹣1）3+（ ﹣4+4）2
＝﹣1+17
＝16，
故（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4．
11．已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4， 的整数部分是c，求3a﹣
b+c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴2a+4＝8，3a+b﹣1＝16，
∴a＝2，b＝11，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝3×2﹣11+3＝﹣2
12．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是 的整数部分，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
13．化简求值：
（1）已知a是 的整数部分， ＝3，求 的平方根．
（2）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2 ﹣|a﹣
b|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵3＜ ＜4，
∴a＝3，
∵ ＝3，
∴b＝9，
∴ ＝ ＝9，
∴ 的平方根是±3；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，
则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
则 +2 ﹣|a﹣b|
＝a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）＝a+1+2b﹣2+a﹣b
＝2a+b﹣1．
14．计算下列各题
（1） ﹣ ﹣ +|1﹣ |
（2） ﹣ + ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣3+ ﹣1＝ ﹣4；
（2）原式＝5+3+ ＝8 ．
15．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位，虚
数与我们学过的实数结合在一起叫做复数，一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）
的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如：计算（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：i3＝ ﹣ i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（6﹣5i）+（﹣3+7i）；
（3）计算：3（2﹣6i）﹣4（5﹣i）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝﹣i，原式＝1；
故答案为：﹣i；1；
（2）原式＝6﹣5i﹣3+7i＝3+2i；
（3）原式＝6﹣18i﹣20+4i＝﹣14﹣14i．
