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专题 05 坐标系中与几何图形有关的四种考法
类型一、点的规律性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角 沿x轴向右滚动到
的位置，再到 的位置……依次进行下去，发现 ， ，
…那么点 的坐标为 ．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点P由原点O出发，第一次跳动至点 ，
第二次向左跳动3个单位至点 ，第三次跳动至点 ，第四次向左跳动5个单
位至点 ，第五次跳动至点 ，…，依此规律跳动下去，点P的第2023次跳动
至点 的坐标是
【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再
向右平移1个单位，得到点 ；把点 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得
到点 ；把点 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点 ；把点
向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点 ，…；按此做法进行下去，
则点 的坐标为 ．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知正方形 的边长为7，点 ，
轴，且与y轴相交于点 ．点P沿着 …的方向
在正方形的边上运动了2021个单位长度，则此时点P的坐标为 ．
【变式训练4】如图，在直角坐标系中，第一次将 变换成 ，第二次将
变换成 ，第三次将 变换成 ，已知 ， ， ，
，则 的坐标为 ．
类型二、将军饮马最值问题
例．如图， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)在图中，请画出与 关于 轴对称的 ；
(2)直接写出点 的坐标；
(3)求作 轴上一点 ，使得 最短．
【变式训练2】如图所示，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，
B，C，D在小正方形的顶点上．
(1)请画出与四边形 关于直线m成轴对称的四边形 ；
(2)求四边形 的面积；
(3)在直线m上作一点P，使得 的长度最小，请在直线m上标出点P的位置．
【变式训练3】如图，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．(1)作 关于y轴的轴对称图形得 ，画出图形，并直接写出点 的坐标 ；
(2)已知点P是x轴上一点，则 的最小值是 ．
【变式训练4】如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1， 的三个顶
点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合．
(1)作出 关于直线m对称的 （其中A的对称点为 ，B的对称点为 ，C的
对称点为 ）．
(2) 的面积为 ．
(3)点P直线m上的动点，求 的最小值．类型三、面积问题
例．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，其中a，b满足|a﹣2|+(b﹣3)2＝
0．
(1)求a，b的值；
(2)如果在第二象限内有一点M(m，1)，请用含m的式子表示四边形ABOM的面积；
(3)在(2)条件下，当m＝﹣ 时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形ABOM的
面积与△ABN的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中．已知 ， ，其中 ， 满足
．
(1)填空： ______， ______；
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含 的式子表示三角形 的面积；
(3)在（2）条件下，当 时，在 轴上有一点 ，使得三角形 的面积与三角形
的面积相等，请求出点 的坐标．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，其中a，b满足
．
(1)填空： ______， ______．
(2)如果在第三象限内有一点 ，请用含m的式子表示三角形 的面积．
(3)在（2）的条件下，当 时，若在y轴上有一点P，使得三角形 的面积与三角
形 的面积相等，请求出点P的坐标．
【变式训练3】如图①，在平面直角坐标系中， ， ，且满足
，过C作 轴于B．
(1)直接写出三角形 的面积 ；
(2)如图②，若过B作 交y轴于D，且 ， 分别平分 ， ，求
的度数；
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形 和三角形 的面积相等？若存在，求出P点
的坐标；若不存在，请说明理由．类型四、角度数量关系问题
例．如图1，在平面直角坐标系中， ， ， ， 点为y轴上一动点，且
．
(1)直接写出 ， 的值： __________， __________．
(2)当点P在直线OC上运动时．是否存在一个点P使 ，若存在，请求出
P点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)不论点P运动到直线OC上的任何位置（不包括点O、C）， 、 、
三者之间是否存在某种固定的数量关系，如果存在，请直接写出它们的关系；如果不存在，
请说明理由．
【变式训练1】在平面直角坐标系中， ， ，且a，c满足 ，
(1)直接写出a，c的值．
(2)如图1，点 ，在第二象限内有一点 ，若 ，求m的取值
范围．
(3)如图2，若 ，点G是第二象限内一点，并且y轴平分 ．点E是线段
上一动点，连接 交 于点H，当点E在 上运动时， 的值是否
发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点 为 轴负半轴上一点，点 为 轴正半
轴上一点， ， ，且 轴，其中 满足关系式： ．
(1) ______， ______．
(2)如图2，若 ，点 线段 上一点，连接 ，延长 交 于点 ，当
时，求证： 平分 ．
(3)如图3，若 ，点 是点 与点 之间一动点，连接 ， 始终平分 ，
当点 在点 与点 之间运动时， 的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请
说明理由．
【变式训练3】如图，长方形 中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是 ，C
点的坐标是 且满足 ，点P在y轴上运动（不与点O，C重合）
(1) ______， ______，B点的坐标为______．
(2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形 的面积是长方形 面积的 ，若
存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
(3)点P在y轴上运动的过程中， 与 、 之间有怎样的数量关系，请直接
写出．课后训练
1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的
边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用 ， ， ， ，…表示，则顶点 的坐标是
．
2．【初步探究】
（1）如图1，在四边形 中， ，E是边 上一点， ，
连接 ．请判断 的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）若设 ，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点C在第一象限内，若
为等腰直角三角形，求点C的坐标．3．综合与实践．
积累经验
我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常
用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在 中，
， ，线段 经过点 ，且 于点 ， 于点 .求证：
， ”这个问题时，只要证明 ，即可得到解决，
（1）请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标为
，点 的坐标为 ，求点 的坐标．
拓展提升
（3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，则点 的坐标为____________．
4．如图1，在 中， ， ，以点 为原点， 所在直线为 轴，顶点 在第一象限，建立平面直角坐标系．
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）如图2，点 在 轴负半轴上，连接 ，交 轴于点 ，过点 作 ，交
轴于点 ，线段 ， ， 有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，点 在 轴负半轴上， ， ， ，
之间有怎样的数量关系？请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点A、B．另一条直线
与直线 交于点 ，与x轴交于点 ，点P是直线 上一点（不与点C重
合）．
(1)求a的值．
(2)当 的面积为18时，求点P的坐标．
(3)若直线 在平面直角坐标系内运动，且 始终与 平行，直线 交直线 于点
M，交y轴于点N，当 时，求 的面积．6.如图，已知长方形 ， ， ， 为平面直角坐标系的原点， ，
，点 在第四象限．
(1)直接写出点 的坐标______；
(2)点 从原点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的路线运动．
①当点 运动了4秒时，直接写出此时点 的坐标______；
②当三角形 的面积为3时，直接写出点 的坐标；
