文档内容
专题 06 一次函数图像的五种考法
类型一、图像的位置关系问题
例．直线 与直线 在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线 与直线 图像的位置确定k的正负，若不存在矛盾则符合
题意，据此即可解答．
【详解】解：A、 过第二、四象限，则 ，所以 过第一、三、四象限，
所以A选项符合题意；
B、 过第二、四象限，则 ，所以 过第一、三、四象限，所以B选项不
符合题意；
C、 过第一、三象限，则 ，所以 过第二、一、四象限，所以C选项不
符合题意；
D、 过第一、三象限，则 ，所以 过第二、一、四象限，所以D选项不
符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数 的图像为一条直线，
当 ，图像过第一、三象限；当 ，图像过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为
．
【变式训练1】在同一坐标系中，直线 ： 和 ： 的位置可能是(
)A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行
讨论即可得出答案．
【详解】A、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在
原点的上方，故选项A不符合题意；
B、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上
方，但 无法判断正负，因此增减都可以，故选项B符合题意；
C、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的下
方，故选项C不符合题意；
D、由正比例函数图像可知 ，即 ，故由一次函数图像与y轴的交点在原点的上
方，故选项D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和
一次函数的图像与性质是解决本题的关键．
【变式训练2】直线 ： 和直线 ： 在同一坐标系中的图象大致是（
）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】先根据直线 ，得出k和b的符号，然后再判断直线 的k和b的符号是否与直线
一致，据此即可得出答案．
【详解】A、直线 ： 中 ， ， ： 中， ，不一致，故本
选项不符合题意；
B、直线 ： 中 ， ， ： 中 ， ，则 ，一致，
故本选项符合题意；
C、直线 ： 中 ， ， ： 中 ， ，则 ，不一致，
故本选项不符合题意；
D、直线 ： 中 ， ， ： 中 ， ，则 ，不一致，
故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数图象，解本题的关键在根据一次函数的图象，得出k和b的符
号．
【变式训练3】若 ， ，一次函数 的图象大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象性质判断即可；
【详解】∵ ，
∴a，b同号，∴ ，
∵ ，
∴b，d异号，
∴ ，
∴一次函数与y轴交于正半轴，图象过一、二、四象限；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，准确判断是解题的关键．
【变式训练4】如图，一次函数 与正比例函数 （m，n为常数，且
）的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m和n的符号，即可进行解答．
【详解】解：A、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，符合题
意；
B、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意；
C、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意；
D、由一次函数图象得： ，由正比例函数图象得： ，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正
比例函数图象与系数的关系．
类型二、图像与系数的关系
例．若一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则常数 的取值范围是（
）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数 的图象经过二、三、四象限判断出 的取值范围即
可．
【详解】解： 一次函数 的图象经过二、三、四象限，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 中，当
， 时函数的图象在二、三、四象限．
【变式训练1】若直线 经过点 ，且与y轴的交点在x轴上方，则k
的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】当 ， ，由直线 与y轴的交点在x轴上方，可知 ，
由直线 经过点 ，可得 ，即 ，则 ，解
得 ，进而可得k的取值范围．
【详解】解：当 ， ，
∵直线 与y轴的交点在x轴上方，
∴ ，
∵直线 经过点 ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，根据函数经过的象限求参数范围．解题的
关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式训练2】若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则m的取
值范围是 ．
【答案】【分析】根据一次函数 的图象经过第一、二、四象限，得到关于m的
不等式，求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质、解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法，
熟记一次函数图像与系数的关系是解题关键．
【变式训练3】．已知一次函数 不过第一象限，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】根据一次函数 不过第一象限，可得 ，解不等式组即可
得到答案．
【详解】解： 一次函数 不过第一象限，
，
解得： ，
的取值范围是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 （ 为常数，
）是一条直线，当 时，直线经过一、三象限， 随 的增大而增大，当 时，直线
经过二、四象限， 随 的增大而减小，当 时，直线交于 轴的正半轴，当 时，
直线过原点，当 时，直线交于 轴的负半轴．
【变式训练4】已知点 ， ，直线 与线段 相交，则k的取值范围
是 ．
【答案】 或
【分析】将点 ， 分别代入直线的解析式求出 的值，再结合函数图象进行
分析即可得．
【详解】解：在 中，当 时， ，
则直线 恒过定点 ，
将点 代入 得： ，解得 ，将点 代入 得： ，解得 ，
如图，要使直线 与线段 相交，
则 或 ，故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．
类型三、图像的平移问题
例．将直线 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到直线 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据直线 向左平移 个单位，变为 ，再向上平移 个单位，
变为 ，然后结合得到直线 ，即可解出 和 的值．
【详解】解：直线 向左平移 个单位，变为 ，
再向上平移 个单位，变为 ，
得到直线 ，
， ，
， ，
故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规
律是解答本题的关键．
【变式训练1】对于一次函数 ，下列结论错误的是（ ）．
A．函数的图象与 轴的交点坐标是
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得 的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
【答案】A
【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】A选项：当 时， ，所以函数的图象与 轴的交点坐标是 ，故A选项错误；
B选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确；
C选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数 ，即 的图象，
故C选项正确；
D选项：由于 ，所以函数值随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图
象及性质进行判断是解题的关键．
【变式训练2】把直线 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移
后的新直线与x轴的交点为 ，则m的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由题意知，平移后的直线解析式为 ，将 代入得
，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为 ，
将 代入得 ，解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟
练掌握图象平移：左加右减，上加下减．
类型四、规律性问题
例．在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所示，依次作正方形
，正方形 ，…，正方形 ，使得点 ， ， ，…．在直线l上，
点 ， ， ，…，在y轴正半轴上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点 的坐标，同
理可得出 、 、 、 …及 、 、 、 …的坐标，根据点的坐标变化可找出变
化规律 （ 为正整数），依此规律即可得出结论．
【详解】解：当 时，由 ，
解得： ，
点 的坐标为 ，
为正方形，
，
同理可得： ， ， ， ，…，
， ， ， ，…，
（ 为正整数），
点 的坐标为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根
据点的坐标的变化找出变化规律 （ 为正整数）是解题的关键．
【变式训练1】如图，正方形 ， ， ，按如图所示放置，点 ，
， 都在直线 上，点 ， ， 都在x轴上，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出 、 、 、 的坐标，找出规律，即可得出答案．
【详解】解： 直线 和 轴交于 ，
的坐标 ，
即 ，四边形 是正方形，
，
把 代入 得： ，
的坐标为 ， ，
，
的横坐标为3，
把 代入 得： ，
的坐标为 ，
同理可得： 的坐标为
总结规律得： 的坐标为 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正
方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
【变式训练2】如图，直线 ，点 的坐标为 ，过点 作x轴的垂线交直线于点
，以原点O为原点， 长为半径画弧交x轴于点 ；再过点 作x轴的垂线交直线于
点 ，以原点O为圆心， 长为半径画弧交x轴于点 ；…，按此作法进行下去，点
的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据 的坐标和函数解析式，求得 的长度，再由此可求得 的坐标，依次类
推，即可求出点 探究规律利用规律即可解决问题．
【详解】∵直线 ，点 的坐标为 ，过点 作x轴的垂线交直线于点 ，∴
在 中， ，
，
∴点 的坐标为 ，
同理，可得出：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
由此可知 的坐标为 ，
的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根
据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点 的坐标并找到规律是解题的
关键．
类型五、增减性问题
例．已知一次函数 （m为常数），当 时，y有最大值6，则m的值为
（ ）
A． B． C．2或6 D． 或6
【答案】D
【分析】分两种情况：当 时，当 时，分别列出关于m的方程即可求解．
【详解】解：当 时，一次函数y随x增大而增大，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 符合题意，
当 时，一次函数y随x增大而减小，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 ，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性与比例系数的关系是关键．
【变式训练1】点 ， 在一次函数 的图像上，当 时，
，则 的取取值范围是 ．
【答案】【分析】根据一次函数的图像 ，当 时， 随 的增大而减小分
析即可．
【详解】解： 当 时， ， 随 的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数
的性质是解题的关键．
【变式训练2】已知一次函数 ，当自变量的取值范围是 时，相应的函数值
的范围是 ，则 ．
【答案】 或 ．
【分析】根据题意，分别求得当 ， 时的函数值，分 根据一次函数的性
质，即可求解．
【详解】当 时， ,
当 时， ，
∵ ，
当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
当 时， ，
则 ，解得: 或 （舍去）
∴ ，
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
课后训练
1．下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx﹣（m﹣3）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】分别根据四个答案中函数的图象求出 的取值范围即可．
【详解】解： 、由函数图象可知 ，解得 ；
、由函数图象可知 ，解得 ；
、由函数图象可知 ，解得 ， ，无解；
、由函数图象可知 ，解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象问题，解答此题的关键是根据各选项列出方程组，求出
无解的一组．
2．如图， 的斜边 在直线 上，点 在 轴上， 点坐标为 ．
先将 沿较长直角边 翻折得到 ，再将 沿斜边 翻折得到
，再将 沿较短直角边 翻折得到 ；…；按此规律，点 的坐
标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得 ， ，根据勾股定理得 ， ， ，由翻
折的性质得到 同理可得 ， ， ， ，即可
判断出规律，即可解答．
【详解】当 时， ，
∴ ，∵ 的斜边 在直线 上，
∴ ，
∵ 点坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
再由翻折可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ， ， ， ，
∴ ．
故选：D
【点睛】本题考查了点坐标规律探索，勾股定理，翻折的性质，根据图象得出坐标变化规
律是解题的关键．
3．若一次函数 不经过第二象限，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．
【详解】∵一次函数 的图象不经过第二象限，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限或者过第一、三象限，
∴ 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与 的关系．解答本题注意理
解：直线 所在的位置与 的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限
可能只经过第一、三象限．
4．将直线 向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是
．
【答案】
【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式．【详解】解：将直线 向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， …在 轴上且 ， ，
， …按此规律，过点 ， ， ， …作 轴的垂线分别与直线
交于点 ， ， ， …记 ， ， ， …的面积分别为
， ， ， …则 ．
【答案】
【分析】根据已知先求出 ， ， 的长，再代入直线 中，分别求出 ，
， ， ，然后分别计算出 ， ， ， ，再从数字上找规律进行计算即可
解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
把 代入直线 中可得： ，
∴ ，
把 代入直线 中可得： ，
∴ ，把 代入直线 中可得： ，
∴ ，
把 代入直线 中可得： ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，同底数
幂的乘法．根据已知分别求出 ， ， ， 的值，然后从数字上找规律是解题的关键．
6．已知一次函数 ．
(1)若该函数的图像经过点（ ），则m的值为___________．
(2)当 时，函数y有最小值 ，则m的值为___________．
【答案】(1)3
(2)2.5或
【分析】（1）将（ ）代入函数关系式求解即可；
（2）当m>0时，在 上， 时，函数y有最小值 ，当m<0时，在
上，x=3时，函数y有最小值 ，分别求解即可．
【详解】（1）解：将（ ）代入 中，
得： ，
解得： ，
故答案为：3；
（2）解：当m>0时，y随x的增大而增大，
在 上， 时，函数y有最小值 ，
∴ ，
解得： ；
当m<0时，y随x的增大而减小，在 上，x=3时，函数y有最小值 ，
∴ ，
解得： ，
综上，m的值为2.5或 ，
故答案为：2.5或 ．
【点睛】本题考查一次函数的增减性，解题的关键是掌握当k>0时，y随x的增大而增大，
当k<0时，y随x的增大而减小．
