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专题 06 二次函数中特殊四边形存在性问题
类型一、平行四边形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，连接 ，点P为直线 上方抛物线上一动点，连接 交 于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
(3)把抛物线 沿射线 方向平移 个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新
抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求
其中一个N点坐标的过程写出来．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)当 时， 取得最大值 ，此时，
(3)N点的坐标为 其中一个N点坐标的解答过程见解析
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线 的解析式为 ，如图1，过点 作 轴交 于点 ，设
，则 ，证明 ，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；
（3）设 ，分三种情况：当 为 的边时；当 为 的边时；
当 为 的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧)，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，
得： 解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图1，过点 作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴当 时， 取得最大值 ，此时， ．
（3）如图2，沿射线 方向平移 个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，
∴新的物线解析式为 ，对称轴为直线 ，
设 ，
当 为 的边时，
则 ，
，解得： ，
当 为 的边时，
则 ，
解得： ，
当 为 的对角线时，
则 ，解得： ，
综上所述， 点的坐标为：
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边
形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思
想是解题关键．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
过 、 两点的抛物线 与 轴交于另一点 ．
(1) 点坐标是______； 点坐标是______；
(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(3)探究1：在抛物线上直线 下方是否存在一点 ，使 面积最大？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出 点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)
(4) 点的坐标为 或 或
【分析】（1）由题意求出当 时， ，当 时， ，即可得出 、 的坐标；
（2）将 、 两点坐标分别代入二次函数解析式 ，即可求解；
（3）设 点坐标为 ，过 点作 于点 ，交 于点 ，则 点坐标为
，根据 ，即可求解；
（4）分三种情况：①当 为平行四边形的对角线时，②当 为平行四边形对角线时，当 为平行四
边形对角线时，列出方程组可求出答案．
【详解】（1）解： 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ，当 时， ，解得： ，
， ，
故答案为： ， ；
（2）将 、 两点坐标分别代入二次函数解析式 ，，解得： ，
二次函数解析式为： ，化为顶点式为 ，
抛物线的顶点为 ；
（3）存在，理由如下：
设 点坐标为 ，
如图，过 点作 于点 ，交 于点 ，
则 点坐标为 ，
，
，
当 时， 有最大值，此时 ， ，
；
（4）存在，理由如下：
设 ，由（1），（3）可知 ， ， ，
如图，当 为平行四边形的对角线时，
，
，
，
如图，当 为平行四边形的对角线时，
，
，
，
如图，当 为平行四边形的对角线时，
，
，
，综上所述， 点的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握
二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．
【变式训练2】．已知抛物线 （如图所示）．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
(2)已知y轴上一点 ，点P在抛物线上，过点P作 轴，垂足为B．若 是等边三角形，求
点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M在直线 上．在平面内是否存在点N，使四边形 为菱形？直接写出所
有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由
【答案】(1)0，1；直线 （或y轴）
(2)
(3)存在 ， ， ， 使得四边形 是菱形
【分析】（1根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得 ，将 代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐
标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线 的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关 的长即可得到有关
M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标．
【详解】（1）抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线 （或y轴）．
故答案为：0，1；直线 （或y轴）；
（2）如图，∵ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
把 代入 ，
得 ，
．
∴ ．
（3）∵点A的坐标为 ，，点P的坐标为
设线段 所在直线的解析式为
∴
解得：
∴解析式为：
设存在点N使得 是菱形，
∵点M在直线 上，
∴设点M的坐标为：
如图，作 轴于点Q，∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴在直角三角形 中， ，
即：
解得：
代入直线 的解析式求得 或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图1位置时，
∵ ，
∴ ，
又∵M点坐标为 ，
∴N点坐标为 ，即 坐标为 ．
当N在右图2位置时，∵ ，M点坐标为 ，
∴N点坐标为 ，即 坐标为 ．
当P点在抛物线的左支上时，同理可求 或 ，
∴存在 ， ， ， 使得四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线
段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．
【变式训练3】．如图，直线l： 与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线
交于点B．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接 、 ，设点M的横坐标为m，
四边形 的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点C在直线 上，抛物线上是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存
在，请直接写出点D的坐标．【答案】(1)该抛物线的解析式为
(2)S有最大值，当 时，S的最大值是
(3) ， ， ，
【分析】（1）把 代入 ，求出B的值，再将点B的坐标代入 ，求出a的
值，即可得出抛物线解析式；
（2）连接 ，设点 ，根据 得出S关于x的表达式，将其化为顶点式，
即可求解；
（3）设点C的坐标为 ，而点B和点O的坐标分别为 和 ，进行分类讨论：①当
是平行四边形的一条边时，则有 ， ，得出 或 ，得出方程
或 ，求解即可；②当 是平行四边形的对角线时， 必过 的
中点 ，且 与 互相平分，即E也是 的中点，得出 ，得出方程 ，
求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
∴ ， ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：连接 ，如图所示：设点 ，
∵ ， ，
∴ ，
则
，
∵ ，
∴S有最大值，当 时，S的最大值是 ．
（3）解：设点C的坐标为 ，而点B和点O的坐标分别为 和 ，
①当 是平行四边形的一条边时，则有 ， ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，∴ ， ， ， ，
②当 是平行四边形的对角线时， 必过 的中点 ，
且 与 互相平分，即E也是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
综上所述，点D坐标为 ， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和
步骤，求二次函数最值的方法，以及平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，平行四边形对角线
互相平分．
【变式训练4】．如图，抛物线 经过 两点，与 轴交于点 ，直线
经过点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；(2)将 在直线 上平移，平移后的三角形记为 ，直线 交抛物线于 ，当 时，求点
的坐标；
(3)若点 在 轴上，点 在抛物线上，是否存在以 为顶点且以 为一边的平行四边形？若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或 或 或
(3)点 坐标为 或 或 或
【分析】（1）把点 ，代入抛物线方程，用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得 是等腰直角三角形，将 在直线 上平移，设向右平移 个单位长度，则向
上移动同样的单位长度，可得用含 表示点 ， 的坐标，根据即可求解；
（3）本题应分情况讨论：①将 平移，令D点落在x轴（即E点）、B点落在抛物线（即F点）上，可
根据平行四边形的性质，得出F点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标；②过D作x轴的平
行线，与抛物线的交点符合F点的要求，此时F、D的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出F点
坐标．
【详解】（1）解：抛物线 经过 两点，
，解得， ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：直线 经过点 ，且 ，
，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
，
是等腰直角三角形，
将 在直线 上平移，设向右平移 个单位，则向上平移为 个单位，∴点 的对应点 的坐标为 ，直线 交抛物线于 ，则 ，
当点 在点 下方时， ，且 ，
，解得， ，
∴点 的坐标为 或 ；
当点 在点 上方时， ，且 ，
，解得， ，
∴点 的坐标为 或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ；
（3）解：①平移直线 ，交x轴于E点，交抛物线于F点，
当 时，四边形 为平行四边形，此时点 和点 的纵坐标互为相反数，
，
设 ，则 ，解得： 或 ，
或 ，
②过D作 轴与抛物线交于点 点 ，过点 作 ，交x轴于点 ，过点 作
，交x轴于点 ，此时四边形 ， 为平行四边形，此时点 点 的纵坐标为
，代入 ，
得： ，
解得： 或 ，
或 ，
综上所述：点 坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，
考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法是解题的关键．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直线 与直线 交于点 ．点 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线，交直线于点 ，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．
①若点 在第二象限，且 ，求 的值；
②在平面内是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① 或 ．②存在； 或
【分析】（1）根据待定系数法列出方程组即可求出抛物线的表达式；
（2）①利用 ，用 和抛物线及一次函数的解析式表示出 的长度，解出 即可求出答案；
②先根据直线 与直线 相交于点 求出 点坐标，再根据题意当四边形 是正方形，利用正方形
四个角都是直角且四条边都相等求出 点的坐标及 的长度，再根据坐标求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 两点，
，解得 ，
抛物线的表达式为 ．
（2）①如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设直线 与 轴交点为 ．
，直线 轴，
， ，
，
由一次函数 ，当 时， ，则点 坐标为 ，
在 中， ， ，
，
，
．
， ，
，
．
， 平行于 轴，
，
，
，
，
，解得 ， ．
的值为 或 ．
②存在．点 的坐标为 或 ．
如图 ，
（ ）， （ ），
直线 的解析式为： ，
联立直线 与直线 的方程得： ，
解得 ，
（ ）．
若四边形 是正方形，
则 ，
，解得 ，
， ，
，，
．
，
同理可得： ，
，
．
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问
通过面积比列出 关于 的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二
次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题．
【变式训练1】．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 为直线 上方抛物线上的一个动点，设点 的横坐标 ．当 为何值时， 的面积最
大？并求出这个面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线 ，平移后的抛物线与
原抛物线相交于点 ，点 为直线 上的一点，点 是平面坐标系内一点，是否存在点 ， ，使以
点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 的面积最大，且最大值为
(3)存在， ， ， ，
【分析】（1）利用待定系数法即可求得 ， 的值得出抛物线解析式即可；
（2）过P作 轴，交 于M，利用割补法即可表示 的面积，再根据二次函数的最值即可求
得最大值；
（3）分①当 为边时， ，②当 为对角线时， ，③ 为对角线， ，三
种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得
，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
（2）解：设P的坐标为 ，在抛物线 ，
令 ，可得 ，
∴ ，
设 为 ，
将 ， 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
过P作 轴，交 于M，
则 ，
故 ，当 时， 最大值为 ；
（3）解：向左平移2个单位后， ，
联立 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
①当 为边时， ，
设 ，则 ，
即 ，解得 ， ，
∴ ， ；
②当 为对角线时， ， ，
∴ ，解得： ，∴ ；
③当 为对角线时， ，
∴ ，解得： ， ，
当 时，点 为 ，与点B重合，舍去，∴ ．
综上所述，存在， ， ， ， ．【点睛】本题考查二次函数综合．（1）掌握待定系数法是解题关键；（2）掌握割补法求面积是解题关键；
（3）需注意分情况讨论和两点之间距离公式．
【变式训练2】．已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)设点 是抛物线在第一象限部分上的点，过点 作 轴于 ，交 于点 ，设四边形
的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并求使 最大时点 的坐标和 的面积；
(3)在（2）的条件下，点 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以 、 、 、
为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 是直角三角形，理由见解析(2) ，即点 的坐标为 时， 最大， 的面积为
(3)存在， 或 或 或 或 ，证明见解析
【分析】（1）分别令 、 求出 三点的坐标，进而可得 的长度，根据勾股定
理的逆定理即可判断；
（2） ，求出直线 的解析式，即可根据点 的坐标得
出点 的坐标，进而表示出 ，从而可建立函数关求解；
（3）以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，即 、 、 三点可构成等腰三角形，分类讨论
、 、 即可求解．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
令 ，则 ；
令 ，则 ，解得 ，
∴ ， ，
∴
∴ 是直角三角形
（2）解：∵点 是抛物线在第一象限部分上的点，
∴
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，∴直线 的解析式为： ，
∴
∵
∴
∴当 时，即点 的坐标为 时， 最大
此时， ，
∴ 的面积为：
（3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线 ，
设点
∵ ， ，
∴ ， ，
∵以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形
∴ 、 、 三点可构成等腰三角形
，即 ，解得： ，∴ 或
，即 ，解得：∴ 或
，即 ，解得： ，∴
综上所述： 或 或 或 或
【点睛】本题考查了二次函数与面积及特殊四边形的综合问题．计算量较大，考查学生思维的完整性以及
数据处理的准确性．
【变式训练3】．如图，二次函数 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为
，对称轴是直线 ，点P是x轴上一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段 上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形 面积的最大值，并求出此时点
P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形 的面积最大，最大值为 ，
(3)存在， 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设点 ，则 连接 ，根据 得到四边形 面
积的函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示， 为对角线和边，利用菱形的性质进行
列式求解即可．
【详解】（1）由题意得： ，解得 ，
∴这个二次函数的解析式为 ；
（2）设点 ，则
连接 ，∵点B的坐标为 ，对称轴是直线 ，∴
当 中 时， ，∴ ，
∴
，
∴当 时，且 ，此时四边形 的面积最大，最大值为 ，∴
（3）存在，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为 ，设 ，则 ，
∵ 轴，
∴ 轴，即 ，
∴ 是以M、N、C、Q为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当 为对角线时，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 轴，即 轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
如图3-2所示，当 为边时，则 ，∵
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
如图3-3所示，当 为边时，则 ，
同理可得 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
如图3-4所示，当 为边时，则 ，
同理可得 ，
解得 （舍去）或 （舍去）；
如图3-5所示，当 为对角线时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 轴，
∴ 轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在如图3-6所示，当 为对角线时，设 交于S，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，∴ ，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析
式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
类型三、矩形存在性问题
例．如图1，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2) 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 于点，过点 作 轴于点 ，求出 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点 ，点 为原抛物
线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 最大值为 ，此时
(3)存在，点 的坐标为 或 或 或
【分析】（1）设顶点式 ，展开得 ，解方程求出 即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出 的表达式，从而建立起 的
函数表达式，最终利用函数法求最值；
（3）先通过勾股定理求出 点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算 的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
即 ，
，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）由题意， ，则 为等腰直角三角形， ，
设 的解析式为 ，将 与 代入得 ，
则 ，
点 在抛物线上， 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
则 ，其中 ，如图，延长 交 于点 ，则 ，
且由题可知， 为等腰直角三角形，
由”三线合一“知， ，
，
，
由二次函数的性质可得，当 时， 最大值为 ，此时 ；
（3）由平移可求得平移后函数解析式为 ，与原函数交点 ；
以 为边，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，设 ，
， ， ，
，，
解得 ，即 ，
此时设 ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，
解得： ，
；
同理，以 为边，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，设 ，
，
，
解得 ，即 ，
此时设 ， ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，解得： ，
；
以 为对角线，作 交对称轴于 ，可构造矩形 ，设 ，， ，
解得 ， ，即 ， ，
此时设 ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，解得： ， ；
设 ，由 、 、 、 四点的相对位置关系可得：
，解得： ， ．
综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形
性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运
用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 两点，交
轴于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)直线 与直线 交于点 ．点 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线，交直线
于点 ，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．
①若点 在第二象限，且 ，求 的值；
②在平面内是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① 或 ．②存在； 或
【分析】（1）根据待定系数法列出方程组即可求出抛物线的表达式；
（2）①利用 ，用 和抛物线及一次函数的解析式表示出 的长度，解出 即可求出答案；
②先根据直线 与直线 相交于点 求出 点坐标，再根据题意当四边形 是正方形，利用正方形
四个角都是直角且四条边都相等求出 点的坐标及 的长度，再根据坐标求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 经过 两点，
，解得 ，
抛物线的表达式为 ．（2）①如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设直线 与 轴交点为 ．
，直线 轴，
， ，
，
由一次函数 ，当 时， ，则点 坐标为 ，
在 中， ， ，
，
，
．
， ，
，．
， 平行于 轴，
，
，
，
，
，
解得 ， ．
的值为 或 ．
②存在．点 的坐标为 或 ．
如图 ，
（ ）， （ ），
直线 的解析式为： ，
联立直线 与直线 的方程得： ，
解得 ，（ ）．
若四边形 是正方形，
则 ，
，解得 ，
， ，
，
，
．
，
同理可得： ，
，
．
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问
通过面积比列出 关于 的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二
次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题．
【变式训练2】．如图，已知抛物线 经过点 ，其对称轴为直线， 为y轴上一点，直线 与抛物线交于另一点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)试在线段 下方的抛物线上求一点E，使得 的面积最大，并求出最大面积；
(3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点G，使得以点A、D、F、G为顶点的四边形是
矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ， 的面积最大，
(3)存在， 或 或 或
【分析】（1）根据对称轴推出 ，将 代入 ，求出a、b、c
的值，即可得出函数表达式；
（2）用待定系数法求出直线 的函数表达式为 ，进而得出 ，过点E作 轴，
交 于点F，设 ，则 ，求出 的表达式，将其化为顶点式，根据
，可得当 取最大值时， 的面积最大为，即可求解；
（3）根据题意得出点F横坐标为 ，设 ，进行分类讨论：①当 为矩形对角线时， ②当 为
矩形的对角线时，③当 为矩形对角线时，结合中点坐标公式和勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，整理得： ，
把 代入 得：
，解得：
∴抛物线函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ，
联立直线 和抛物线表达式：
，解得： ， ，
∴ ，
过点E作 轴，交 于点F，
设 ，则 ，
∴，
∵ ，
∴当 时， 取最大值 ，
∵ ，
∴当 取最大值时， 的面积最大为 ，
∴ ，
综上：当 时， 的面积最大， ；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴点F横坐标为 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
①当 为矩形对角线时，，解得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ 或 ；
②当 为矩形的对角线时，
，解得： ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，③当 为矩形对角线时，
，解得： ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
综上：存在， 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的最值求法，具有分类讨论的思想．
【变式训练3】．如图，二次函数 与x轴交于 、 两点，且与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 于点M，交x轴于点N，过点P作 轴
交BC于点Q，求 的最大值及此时P点坐标．
(3)将抛物线 沿射线 平移 个单位，平移后得到新抛物线 ．D是新抛物线对称轴上一
动点，在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ， ， ， ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长 交x轴于H点，则 轴，根据三角函数的定义得到 ，即
， ，根据二次函数的性质求解即可；
（3）求得平移后的抛物线解析式，再分情况讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意得 解得
该抛物线的解析式为 ；
（2）由 可得，
延长 交x轴于H点，则 轴，
∵
∴
又∵
∴
设直线 ：
∵ ， ，则
∴直线 ， ，
∴
∵
∴∴
设 ，
，
∵ ，开口向下，对称轴为直线 ，且
∴当 时， 有最大值 ，
此时
（3）由题意可得：抛物线 沿射线 平移 个单位，即抛物线向右平移了4个单位，
向下平移了2个单位，
此时抛物线为：
则抛物线 的对称轴为
设 ，
当以 、 为对角线时，由矩形的性质可得：
，解得 或
即 ， ；
当以 、 为对角线时，由矩形的性质可得：，解得 ，即
当以 、 为对角线时，由矩形的性质可得：
，解得 ， ，
综上， ， ， ， ．
【点睛】此题为二次函数的综合题，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的平移，二次函数与矩形的综
合，二次函数图象与性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，能够灵活运用，学会
分类讨论的方法求解问题．
【变式训练4】．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线上一动点．
①当 时，求点 坐标；
②如图2，当点 运动到抛物线的顶点时，作 于点 ，点 在直线 上，点 在平面内，若以
， ， ， 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；② 点坐标为 或 或 或
【分析】（1）将A、B点代入即可求解析式；
（2）①设 交 轴于点F，过点F作 于点 则 ，利用二次函数与x、y轴的
交点形成特殊角，应用锐角三角函数即可求解；②分析出符合题意的所有情况利用特殊角，证即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，
∴ 解得
∴所求抛物线解析式为 ．
（2）①如图，设 交 轴于点F，过点F作 于点 则
把 代入 得 ，
∴
又∵
∴
∴ ，
当 时，
∴
在 中，
∴
在 中， ，则
设 ，则
∴
∴
解得： ，
∴∴
∴
∴
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得
解得：
∴直线 的解析式为：
由 得 ； （不符合题意，舍）
∴
②设 ，
当 时，
∵ ，
∴ 与y轴的夹角为 ，∴ ，
∴
当 时，
过点C作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合应用、矩形的性质，三角函数综合，三角形的相似，掌握相关
知识根据题意分析出所有情况是解题的关键．
