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专题 06 二次函数中特殊四边形存在性问题
类型一、平行四边形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，连接 ，点P为直线 上方抛物线上一动点，连接 交 于点Q．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的值最大时，求点P的坐标和 的最大值；
(3)把抛物线 沿射线 方向平移 个单位得新抛物线 ，M是新抛物线上一点，N是新
抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求
其中一个N点坐标的过程写出来．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
过 、 两点的抛物线 与 轴交于另一点 ．
(1) 点坐标是______； 点坐标是______；
(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(3)探究1：在抛物线上直线 下方是否存在一点 ，使 面积最大？若存在，请求出点 的坐标，若
不存在，请说明理由；
(4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，请直接写出 点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．已知抛物线 （如图所示）．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
(2)已知y轴上一点 ，点P在抛物线上，过点P作 轴，垂足为B．若 是等边三角形，求
点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M在直线 上．在平面内是否存在点N，使四边形 为菱形？直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由
【变式训练3】．如图，直线l： 与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线
交于点B．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接 、 ，设点M的横坐标为m，
四边形 的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点C在直线 上，抛物线上是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存
在，请直接写出点D的坐标．
【变式训练4】．如图，抛物线 经过 两点，与 轴交于点 ，直线
经过点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将 在直线 上平移，平移后的三角形记为 ，直线 交抛物线于 ，当 时，求点的坐标；
(3)若点 在 轴上，点 在抛物线上，是否存在以 为顶点且以 为一边的平行四边形？若存在，
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 两点，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直线 与直线 交于点 ．点 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线，交直线
于点 ，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．
①若点 在第二象限，且 ，求 的值；
②在平面内是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】．如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点 为直线 上方抛物线上的一个动点，设点 的横坐标 ．当 为何值时， 的面积最
大？并求出这个面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线 ，平移后的抛物线与
原抛物线相交于点 ，点 为直线 上的一点，点 是平面坐标系内一点，是否存在点 ， ，使以
点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交
于点 ．(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)设点 是抛物线在第一象限部分上的点，过点 作 轴于 ，交 于点 ，设四边形
的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并求使 最大时点 的坐标和 的面积；
(3)在（2）的条件下，点 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得以 、 、 、
为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，二次函数 的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为
，对称轴是直线 ，点P是x轴上一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段 上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形 面积的最大值，并求出此时点
P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、矩形存在性问题
例．如图1，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2) 是抛物线上位于直线 上方的一个动点，过点 作 轴交 于点 ，过点 作 于点
，过点 作 轴于点 ，求出 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与原抛物线相交于点 ，点 为原抛物
线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 两点，交
轴于点 ．
(1)求抛物线的表达式；(2)直线 与直线 交于点 ．点 是线段 上的动点，过点 作 轴的垂线，交直线
于点 ，交抛物线于点 ，交直线 于点 ．
①若点 在第二象限，且 ，求 的值；
②在平面内是否存在点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，已知抛物线 经过点 ，其对称轴为直线
， 为y轴上一点，直线 与抛物线交于另一点D．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)试在线段 下方的抛物线上求一点E，使得 的面积最大，并求出最大面积；
(3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点G，使得以点A、D、F、G为顶点的四边形是
矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，二次函数 与x轴交于 、 两点，且与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．(2)点P是直线 上方抛物线上一动点，过点P作 于点M，交x轴于点N，过点P作 轴
交BC于点Q，求 的最大值及此时P点坐标．
(3)将抛物线 沿射线 平移 个单位，平移后得到新抛物线 ．D是新抛物线对称轴上一
动点，在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标．
【变式训练4】．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线上一动点．
①当 时，求点 坐标；
②如图2，当点 运动到抛物线的顶点时，作 于点 ，点 在直线 上，点 在平面内，若以
， ， ， 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 的坐标．
