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专题 06 一元二次方程特殊解的两种考法
类型一、换元法
例1．若 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或6
【答案】B
【分析】设 ，而 ，可得 ，再解一元二次方程即可．
【详解】解：设 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， （不符合题意舍去）；
∴ ，
故选B
【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本
题的关键．
例2．已知 和2是关于x的一元二次方程 的两根，则关于x的方程 的
根为 ．
【答案】 ，
【分析】设 ，将方程 化为 ，进而得到 ， 是方程
的两根，由此求解即可．
【详解】解：设 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 和2是关于x的一元二次方程 的两根，
∴ ， 是方程 的两根，
， ，
， ，
方程 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键．
【变式训练1】已知实数x满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2023
【分析】设 ，则原方程转化为关于t的一元二次方程 ，利用因式分解法解该方程即可
求得t的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式 ，方程有解．
【详解】解：设 ，
由原方程，得 ，
整理，得 ，
所以 或 ．
当 时， ，则 ；
当 时， 即 时， ，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量
代换．
【变式训练2】已知 ，且 ，则 的值是 ．
【答案】 或
【分析】将已知等式两边同除以 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：∵
∴将 两边同除以 得：
令 ，则
因式分解得： ，解得 或 ，即 的值是 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
【变式训练3】若 ，则 ．
【答案】4
【分析】先设 ，原方程可化为 ，解此一元二次方程，再验根即可．
【详解】解：设 ，原方程可化为 ，
化为一般式得： ，
解得：t=4或t=-2，
∵ ，
∴t=4，
∴ 4，
故答案为：4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程．
【变式训练4】阅读材料，解答问题：材料1为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，
然后设 ，则原方程可化为 ，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以
上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2 已知实数m，n满足 ，且 ，显然m，n是方程 的两个
不相等的实数根，由韦达定理可知 ．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：解方程： ．
(2)间接应用：已知两个不相等实数m，n满足： ，求 的值．
(3)拓展应用：已知实数x，y满足： ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)7
【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可；
（2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可；
（3）设 ， ，则可得 ，进一步得到 ，再证明 ，
推出 ；由 ，可得 ，即 ．
【详解】（1）解：设 ，则方程 可化为 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 （舍去），
∴ ；
（2）解：∵实数m，n满足： ，∴实数m，n是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
类型二、构造法
例1.已知a、b、c均为实数，且 ， ，则 ______．
【答案】4
【详解】
∵a+b=4，ab=2c2-4 c+10∴a、b可看作方程x2-4x+2c2-4 c+10=0的两实数解
∴（x-2）2+2（c- ）2=0
∴x-2=0或c- =0
解得x=2，c=
∴ab=2×3-4 × +10=4
∴abc=4× =4
故答案为：4 ．
【变式训练1】解方程组： ．
【答案】 或 ．
【详解】∵ ，由①得：y＝x﹣3③．
将③代入②得：x2+x（x﹣3）﹣2＝0．
∴2x2﹣3x﹣2＝0．
∴（2x+1）（x﹣2）＝0．∴2x+1＝0或x﹣2＝0．
∴x＝﹣ ，x＝2．
1 2
当x＝﹣ 时，y＝﹣ ．
当x＝2时，y＝﹣1．
原方程组的解为： 或 ．【变式训练2】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______．
【答案】
【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ，
∴m，n是方程 的两实数根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
【变式训练3】已知a、b、c满足 ， ， ，则 _______．
【答案】3
【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：
，即 ，
∴ ，∴a=3,b=-1,c=1，
∴a+b+c=3-1+1=3，
故答案为3．
课后作业
1．用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（ ）
A． B．
C． D． ．
【答案】A
【分析】设 ，原方程中用 代替 ，这样原方程转化为： ，然后把方程两边乘以y
得到整式方程．
【详解】解：设 ，原方程转化为 ，方程两边乘以y得， ．
故选：A．
2.若实数x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D． 或2
【答案】C
【分析】设： ，则 变为 ，进而解含a的一元二次方程，即可求出
的值．
【详解】解：设： ，则 变为 ，
∴ ，则 ，
解得： ， ，
即 的值为 或1，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键．
3．若关于 的一元二次方程 （ ）有一个根为 ，则方程 必有一
根为 ．
【答案】
【分析】把 化为 再结合题意得到 解出即可．
【详解】解： ，
．
令 ，则
∵方程 （ ）有一个根为 ，
方程 有一根为 ，有一根为 ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．
4．若 ，求 的值为 ．
【答案】4
【分析】设 ，把原方程变形，求得x，即可得出 的数值．
【详解】解：设 ，则原方程为 ，
整理得 ，
，
∴ ， ，
解得 ， ，
∵ 是非负数，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
5．解方程： ．
【答案】
【分析】设 ，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即
为 的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解：设 ，则 ，
原方程化成 ，
解这个方程，得 ， ，
当y＝1时， =1，即 ．由 ，此方程无实根，
当y＝－2时， ，即 ，解得： ，
经检验，x＝－1是原分式方程的解，
∴原方程的解为x＝－1．
【点睛】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用 进行转化，进而设 ，
将原方程转化为一元二次方程．
6．解关于 的方程： ．
【答案】 或 或 或
【分析】先求出“ ”的值，再代入公式求出即可．
【详解】解： ，
分为两种情况：①当方程是一元二次方程时， ，
，
∴
∴ ， ；
②当方程是一元一次方程时， 且 ，
解得 ，
当 时，方程为 ，
解得 ；当 时，方程为 ，
解得 ．
所以，方程的解为： ， ， 或 ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键．
7．阅读下列材料：方程： 是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，
解这个方程得： ， ．
当 时， ，∴ ；当 时， ，∴
所以原方程有四个根： ， ， ， ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程 得到方程的解为______．
(2)若 ，求 的值．
(3)利用换元法解方程： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3) ，
【分析】（1）设 ，代入得到 ，解得 ， ，当 时， ，
得到 ，此方程无解；当 时， ，得到 ， ；
（2）设 ，代入得到 ． 解得 ， ，根据 ，得到；
（3）设 ，则 ，代入得到 ，得到 ，解得 ，检验后得到
，得到 ，得到 ， ，检验后即得．
【详解】（1）设 ，则 ，
于是原方程可变为 ，
解这个方程得： ， ，
当 时， ，
移项得： ，
∵ ，
∴此方程无解，
当 时， ，
解得 ， ；
故答案为： ， ；
（2）设 ，则该方程变为 ．
解得： ， ．
∵
∴ ，即
（3）设 ，则 ，原方程变形为： ，
去分母，得 ，
即
解得， ．
经检验， 是分式方程的根．
∴
即
解得： ， ．
经检验， 是分式方程的根．
∴原分式方程的解为： ， ．
【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步
骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．
