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专题 24 期末满分突破·八年级上常考压轴题精选 4
1．（成华区期末）在 的格子纸上， 小方格的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点（位置
如图）．若一个格点 使得 与 的面积相等，就称 点为“好点”．那么在这张格子纸上共有
8 个“好点”．
【解答】解： ， ，
当 到 的距离是 点到 的距离的2倍时， 与 的面积相等，
满足这样的条件的 点共有如图所示的8个格点，
在这张格子纸上共有8个“好点”．
故答案为：8．
2．（成都期末）已知三角形三边长分别为 、 、 ，请借助构
造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为 （用含 、 的代数式表示）．
【解答】解：如图所示，， ，
，
．
故答案为： ．
3．（青羊区期末）如图，以 为斜边的 的每条边为边作三个正方形，分别是正方形 ，正
方形 ，正方形 ，且边 恰好经过点 ．若 ，则 5 ．（注：图中所示
面积 表示相应封闭区域的面积，如 表示 的面积）
【解答】解：如图，连接 ，作 于 ，设 交 于 ， 交 于 ．
，
，， ，
，
，
，
， ， 共线，
四边形 是矩形，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
则△ ，
．
故答案为：5．4．（青羊区期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点 是直线 上一
点，且 ，则点 的坐标为 ．
【解答】解：将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，则 ，
取 的中点 ， ，
直线 与直线 的交点即为点 ．
设直线 的解析式为 ，
把 ， ， 代入得 ，解得
直线 的解析式为 ，
由 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
故答案为 ．
5．（金牛区期末）如图，直线 与 轴正方向夹角为 ，点 、 、 、 在 轴上，点
、 、 、 在直线 上，△ 、△ 、△ 均为等边三角形，则 的横坐标为
．
【解答】解： 直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
，点 ， ．
△ ，△ ，△ ， 均为等边三角形，
，， ， ， ， ，
．
的横坐标为 ，
故答案为： ．
6．（邛崃市期末）如图，矩形 中， 是 的中点，将 沿 折叠得到 ，且点 在矩
形 内部．将 延长交 于点 ，若 ，则 ．
【解答】解：连接 ，则根据翻折不变性得， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
设 ， ，则有 ，
，
在 中， ，即，
．
故答案为： ．
7．（金牛区期末）如图，在 中， ， ， ，点 在 上，将 沿
折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ，若 ，则 的长是 ．
【解答】解： ，
，
由折叠可得， ， ，
又 ，
，
，
，
， ， ，
，
，，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
8．（青白江区期末）如图， 中， ， ， ，分别以 的边 、 、
为一边向 外作正方形 、 、 ，连接 、 ，则图中阴影部分的面积之和等
于 4 8 ．【解答】解：如图将 绕点 顺时针旋转 得到 ．
，
，
，
，
、 、 共线，
，
，
同理可证 ，
，
故答案为：48．
9．（简阳市 期末）如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点 在 轴的正半轴上，顶点 的纵
坐标为3， ， ．点 是斜边 上的一个动点，则 的周长的最小值为
．【解答】解：作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，过 作 于 ，则此时
的值最小，
，
，
顶点 的纵坐标为3，
，
，
， ，
，
由三角形面积公式得： ，
即：
解得： ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，由勾股定理得： ，
，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 的最小值是 ，
周长的最小值为： ，
故答案为： ．
10．（成华区期末）如图，直线 分别交 ， 轴于点 ， ，点 在 轴的正半轴，且
，则直线 的函数表达式是 ．
【解答】解： 一次函数 的图象分别交 、 轴于点 、 ，
令 ，得 ；令 ，则 ，， ， ，
， ，
如图，过 作 交 于 ，过 作 轴于 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
， ，
， ，
设直线 的函数表达式为： ，则
，
解得 ，
直线 的函数表达式为： ，
故答案为： ．
11．（成都期末）在 中， ， 为 的角平分线， 边上的高 与 所在的直
线交于点 ，若 ，则 的度数为 或 ．【解答】解：①如图1中，当高 在三角形内部时，
平分 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
②如图2中，当高 在 外时，
同法可得： ， ， ，
，
，
综上所述， 或 ，
故答案为 或 ．
12．（武侯区期末）如图，在 中， ， ， ，以 为斜边作等腰 ，
连接 ，则线段 的长为 或 ．【解答】解：当点 在 的下方，如图，
过 作 于 ， 于 ，
则四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
当点 在 的上方，如图，
作 于 ， 于 ，
则四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
， ，，
，
，
，
，
，
故答案为： 或 ．
13．（成都期末）定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图 1，在 中，
，若点 是斜边 的中点，则 ，运用：如图2， 中， ， ，
，点 是 的中点，将 沿 翻折得到 连接 ， ， ，则 的长为
．
【解答】解：如图，连接 交 于 ，作 于 ．
在 中， ， ， ，由勾股定理得 ，
由题可得 ，
，
，
， ，
点 在 的垂直平分线上，点 在 的垂直平分线上，
垂直平分线段 ，
，
，
，
在 中， ．
故答案为 ．
14．（龙泉驿区期末）如图，在矩形 中， ，点 为边 上一点，将 沿 所在直线
翻折，得到 ，点 恰好是 的中点， 为 上一动点，作 于 ，则 的最小
值为 ．【解答】解： 四边形 是矩形，
， ，
将 沿 所在直线翻折，得到 ，
， ，
点 恰好是 的中点，
，
，
，
，
，
过 作 交 于 ，则点 与点 关于 对称，
过 作 于 交 于 ，
则此时， 的值最小，
，
四边形 是矩形，
，
，
， ，
是等边三角形，
，
，
，
的最小值为 ，故答案为： ．
15．（青羊区校级期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ， ，点 为线段 上一动
点，将 沿 翻折得到 ，将 沿 翻折得到 ，则 面积的最小值为 ．
【解答】解：如图，作 于 ．
， ，
， ，
，
， ，
， ，
，
，，
，
由翻折的性质可知： ， ， ，
，
，
是顶角为 的等腰三角形，
根据垂线段最短可知，当 与 重合时， ，
此时 的面积最小，最小值 ．
故答案为 ．
16．（武侯区期末）如图，在正方形网格中， 的每一个顶点都在格点上， ，点 是 边上
的动点（点 不与点 ， 重合），将线段 沿直线 翻折后得到对应线段 ，将线段 沿直线
翻折后得到对应线段 ，连接 ，则四边形 的面积的最小值是 5. 5 ．
【解答】解：如图，
延长 使 ，
点 ， 是格点，
点 必是格点，
， ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
由折叠知， ， ，，
，
由折叠知， ，
△ 是等腰直角三角形，
由折叠知， ， ，
， ，
， ，
，
，
要四边形 的面积最小，则△ 的面积最小，
即： 最小，此时， ，
此时 ，
，
即：四边形 的面积最小为 ，
故答案为5.5．17．（新都区期末）如图，长方形 中 ， ，正方形 的边长为1．正方形 绕
点 旋转的过程中，线段 的长的最小值为 ．
【解答】解：如图，连接 ， ， ，
长方形 中 ， ，正方形 的边长为1，
， ，
，
，
当点 ， ， 在同一直线上时， 的长最小，最小值为 ，
故答案为： ．
18．（锦江区校级期末）如图， 为边长不变的等腰直角三角形， ， ，在
外取一点 ，以 为直角顶点作等腰直角 ，其中 在 内部， ， ，
当 ， ， 三点共线时， ．下列结论：
① ， ， 共线时，点 到直线 的距离为 ；
② ， ， 共线时， ；
③ ；④作点 关于 的对称点 ，在 绕点 旋转的过程中， 的最小值为 ；
⑤ 绕点 旋转，当点 落在 上，当点 落在 上时，取 上一点 ，使得 ，连接
，则 ．
其中正确结论的序号是 ②③⑤ ．
【解答】解：如图1中，当 ， ， 共线时，连接 ．作 交 的延长线于 ，设 交
于 ．
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，， ，
，
在 中， ，
，故①错误，
，
，
，故②正确，
，
，
在 中， ，
，故③正确，
如图2中，连接 ， ．
， 关于 对称， ，
， ，
，
，，
，
，
的最小值为 ．故④错误．
如图3中，设 交 于 ．
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，即 ，故⑤正确，
故答案为②③⑤．
二．解答题（共29小题）
19．（武侯区期末）如图，过点 的一次函数 的图象分别与 轴， 轴相交于 ，
两点．
（1）求 的值；
（2）直线 与 轴相交于点 ，与线段 相交于点 ．若直线 把 分成面积比为 的两部分，求直线 的函数表达式；
（ⅱ）连接 ，若 是以 为腰的等腰三角形，求满足条件的点 的坐标．
【解答】解：（1）将点 的坐标代入一次函数 并解得：
；
（2）一次函数 分别与 轴， 轴相交于 ， 两点，
则点 、 的坐标分别为： 、 ；
，
直线 把 分成面积比为 的两部分，
则 或4，
而 或4，
则 或2，
故点 或 ，
将点 的坐标代入直线 表达式并解得：
直线 的表达式为： 或 ；（ⅱ）设点 ，而点 、 的坐标分别为： 、 ，
则 ， ， ，
当 时， ，解得： 或 ；
当 时，同理可得： ；
综上，点 的坐标为： ， 或 ， 或 ， ．
20．（青白江区期末）如图，平面直角坐标系中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ．
过点 且垂直于 轴的直线 交 于点 ， 是直线 上一动点，且在点 的上方，设 ．
（1）求直线 的解析式和点 的坐标；
（2）求 的面积（用含 的代数式表示）；
（3）当 的面积为2时，以 为边在第一象限作等腰直角三角形 ，求出点 的坐标．
【解答】解：（1）直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，则 ，
直线 的表达式为： ，
点 ；
（2） 的面积 ；
（3）①当 时，如图1，过点 作 交 的延长线于点 ，
由点 的坐标知，直线 的倾斜角为 ，而 ，
则 ，则直线 ， ，
故点 ；
②当 时，
由①同理可得：直线 轴，
故点 ；
③当 时，
同理可得：点 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
21．（简阳市 期末）如图1，直线 分别与 ， 轴交于 、 两点，过点 的直线交
轴负半轴于 ，且 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）如图2， 为 轴上 点右侧的一动点，以 为直角顶点， 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形 ，连接 并延长交 轴于点 ．当 点运动时， 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它
的坐标；如果变化，请说明理由．
（3）直线 交 于 ，交 于点 ，交 轴于 ，是否存在这样的直线 ，使得
？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）直线 分别与 ， 轴交于 、 两点，
，
，
直线 的解析式为： ．
，
，
，
， ，
设 的解析式是 ，，
直线 的解析式是： ；
（2） 点的位置不发生变化， ．
如图2，过 作 轴于 ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
即 ，
又 ，
，
是等腰直角三角形，，
，
为等腰直角三角形，
，
；
（3）如图1，过 、 分别作 轴， 轴，则 ．
，
．
又 ，
在 与 中，
，
，
．
解方程组 得 点的纵坐标 ，
解方程组 得 点的纵坐标
， ，
；
当 时，存在直线 ，使得 ．22．（金牛区期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交
于点 ，与直线 相交于点 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出
点 的坐标．【解答】解：（1）将点 ， 代入 中，得 ，
，
直线 的函数表达式为 ；
（2）由（1）知，直线 的函数表达式为 ①，
直线 ，
联立①②解得， ，
，
，
，
；
（3）设 ，， ，
． ， ，
是等腰三角形，
①当 时， ，
，
或 ，
②当 时， ，
，
， ，
③当 时， ，
（舍 或 ，
，
即：满足条件的点 的坐标为 或 或 或 ， ．
23．（锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
点 为直线 上一点，直线 过点 ．
（1）求 和 的值．
（2）直线 与 轴交于点 ，动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位的速度运动．设
点 的运动时间为 秒．
①若 的面积为 ，请求出 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
②是否存在 的值，使得 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，则点 、 的坐标分别为： 、
，
点 为直线 上一点，则 ，故点 ；
将点 的坐标代入 得： ，解得： ；
故 ， ；
（2）①直线的表达式为： ，令 ，则 ，故点 ，
则点 ，
，
即 ；
②存在，理由：
当点 在线段 上时，
，
则 ，即 ；
当点 在线段 外时，如下图，，
则 ，
故 ，
综上， 或12．
24．（青羊区校级期末）在等腰 与等腰 中， ， ， ，且点 、
、 三点在同一条直线上，连接 ．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，当 时，试猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当 时，请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系式为：
（不写证明过程）
【解答】证明：（1） ，
，
又 ， ，
；
（2） ，
理由如下： ，
，
又 ， ，
；，
， ，
，
，
；
（3）作 于 ．
，
，
又 ， ，
；
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
25．（青羊区校级期末）如图1，在 中， ， ， 为 边上一动点，且不与点
点 重合，连接 并延长，在 延长线上取一点 ，使 ，连接 ．
（1）若 ，则 4 5 度；（2）若 ，试探索 与 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图 2，过点 作 于点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，求证：
．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
，
，
，且
，
，且 ，
，
，
故答案为：45；
（2）猜想： ，
理由如下： ，
，
，
，且 ，
，
；
（3）如图，过点 作 于 ，，
，
，
，
，且 ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，且 ， ，
，
，
在 中， ，
，
．
26．（成华区期末）在 中， ， ， 于点 ．过射线 上一点 作
的垂线，交直线 于点 ．
如图1，点 在 上，若 ， ，则线段 的长为 ；（2）如图2，点 在 上，求证： ；
（3）若点 在 的延长线上，则 ， ， 之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ， ，
， ，
．
．
．
故答案为： ；
（2）过点 作 的垂线交 于点 ，
， ， ，
， ，
，
， ，
， ，
，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）数量关系是： ．
证明：过点 作 的垂线交 于点 ，
同（2）可得 为等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 和 中，
，，
，
．
27．（成华区期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， ，若点 满足
， ，那么称点 是点 和 的融合点．例如： ， ，则点 是点
和 的融合点．如图，已知点 ，点 是直线 上任意一点，点 是点 和 的融合点．
（1）若点 的纵坐标是6，则点 的坐标为 ， ；
（2）求点 的纵坐标 与横坐标 的函数关系式：
（3）若直线 交 轴于点 ，当 为直角三角形时，求点 的坐标．
【解答】解：（1） 点 是直线 上一点，点 的纵坐标是6，
，
解得， ，
点 的坐标是 ，
点 是点 和 的融合点，
， ，
点 的坐标为 ， ，故答案为： ， ；
（2）设点 的坐标为 ，
点 是点 和 的融合点，
， ，
解得， ， ，
，
整理得， ；
（3）设点 的坐标为 ，
则点 的坐标为 ， ，
当 时，点 与点 的横坐标相同，
，
解得， ，
此时点 的坐标为 ， ，
当 时，点 与点 的横坐标相同，
，
解得， ，
此时点 的坐标为 ，
由于直线 与直线 不垂直，所以 不可能为 ，
综上所述，当 为直角三角形时，点 的坐标为 ， 或 ．
28．（成都期末）在 中， ， ，垂足为点 ， 为线段 上一动点（不包括
端点），点 在直线 左上方且 ， ，如图①（1）求证：
（2）记 的面积为 ，记 的面积为 ．求证：
（3）延长线段 到点 ，使 ，如图②．探究线段 与线段 满足什么数量关系时对于满足
条件的任意点 ， 始终成立？（写出探究过程）
【解答】解：（1） ，
，
，
，
；
（2）过点 作 于 ，
， ， ，
， ；
， ，
；
（3）当 时，对于满足条件的任意点 ， 始终成立，
理由如下：过点 作 于 ，由（2）可得 ， ，
， ， ，
，
， ， ，
．
29．（武侯区期末）如图， 平分钝角 交过 点的直线于点 ， 平分 交 于点 ，
且 ．
（1）求证： ；
（2）点 是射线 上一动点（点 不与点 ， 重合），连接 ，与射线 相交于点 ．
（ⅰ）如图1，若 ， ，试探究线段 与 之间满足的数量关系；
（ⅱ）如图2，若 ， ， ，求线段 的长．
【解答】（1）证明： 平分钝角 ， 平分 ，
， ，
，
；
（2）解：（ⅰ） ；理由如下：
，，
，
，
，
，
过点 作 于 ，如图1所示：
， ，
、 是等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
；
（ⅱ）当点 在点 的左侧时，如图2所示：
同（ⅰ）得： ，
，
， ，
，
，
，
则 ，
，
，
，
，
，，
作 于 ，则 ，
在 和 中， ，
，
，
，
， ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
，
，
；
当点 在点 的右侧时，
则 ，
，
，
， ，
；
综上所述，线段 的长为 或 ．30．（成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，过点
的直线交 轴于点 ，且
．
（1）求直线 的解析式；
（2）点 为线段 上一点，点 为线段 延长线上一点，且 ，设点 横坐标为 ，求点
的坐标（用含 的式子表示，不要求写出自变量 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点 在 轴负半轴上，且 ，若 ，求直线 的解析式．
【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
点 ，点
， ，
， ，，
点 ，
设直线 解析式为： ，则 ，解得：
直线 解析式为： ；
（2）如图1，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
点 横坐标为 ，
点 ，
，
，
， ，
，
，
故点 的纵坐标为： ，
直线 的表达式为： ，即 ，解得： ，
故点 ；
（3）如图2，连接 ， ，过点 作 ，
， ，
是 的垂直平分线，
，且 ， ，
， ，
， ， ，
，
，且 ，
，且 ，
，
，
， ，
，且 ， ，， ，
，
，
， ， ，
设直线 的解析式为： ，
，解得：
直线 的解析式为： ．
31．（新都区期末）如图1，在正方形 （正方形四边相等，四个角均为直角）中， ， 为线
段 上一点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，将 沿 所在的直线对折得到
，延长 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长；
（3）如图2，延长 交 的延长线于点 ，若 ， 的面积为 ，求 与 之间的
函数关系式．【解答】解：（1）证明：
，
，
在 于 中，
，
，
，
（2）由翻折可知， ，
连接 ，在 和 △ 中， ， ，
△ △ ，
，
， ，
， ，
设 ，则 ，
在 中，解得： ，
即 ．
（3）解：过 点作 于 ，由（1）知 ， ．
设 ，则 ，
在 中， ，
．
，
．
32．（新都区期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点 在边 上，
点 在边 的左侧，连接 ．
（1）求证： ；
（2）试探究线段 、 与 之间的数量关系；
（3）过点 作 交 于点 ，若 ， ，求线段 的长．【解答】（1）证明： 和 都是等腰直角三角形
， ，
，
，
．
（2）解：由（1）得 ，
，
又 是等腰直角三角形，
，
，
在 中， ，且 ，
，
，
，
（3）解：连接 ，设 ，，则 ，
都是等腰直角三角形， ，
，
由 （1）、（2）可得，在 中，
，
，
解得 ，
．
33．（新都区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点．
直线 与 交于点 且与 轴， 轴分别交于 ， ．
（1）求出点 坐标，直线 解析式；
（2）如图2，点 为线段 上一点（不含端点），连接 ，一动点 从 出发，沿线段 以每秒1个
单位的速度运动到点 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度运动到点 停止，求点 在整个运动过程
中所用最少时间时点 的坐标；
（3）如图3，平面直角坐标系中有一点 ，使得 ，求点 坐标．【解答】解：（1） 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，
则点 、 的坐标分别为： 、 ，
将点 的坐标代入 并解得： ，
故直线 ；
（2）直线 ，则点 ，
直线 ，则直线 的倾斜角为 ，
过点 作 轴的平行线 ，过点 作 交于点 ， 交直线 于点 ，则点 为所求，
，直线 ，则点 的横坐标为： ，
则点 ；
（3）①点 在 的右侧时，
过点 作直线 的平行线 ，直线 于直线 交于点 ，则点 为所求，
此时 ，理由：平行线间的距离相等，两个三角形属于同底等高，故面积相等．
则直线 的表达式为： ，
当 时， ，
故点 ， ，
②点 在 的左侧时，
同理可得：点 ， ；
故点 的坐标为： ， 或 ， ．
34．（青白江区期末）如图1所示，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 的
垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 、 ．（1）求证： 的周长 ；
（2）若 ， ，试判断 的形状，并证明你的结论；
（3）若 ， ， ，如图2所示，求 的长．
【解答】（1）证明： 是 的垂直平分线，
，
同理， ，
的周长 ；
（2）解： 是等边三角形，
理由如下： ， ，
，
，
，
，
同理可得， ，
是等边三角形；
（3）解： ，
，
，
设 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，即 ，
，
在 中， ，即 ，
解得， ．35．（锦江区校级期末）在 中， ， ， 是 的角平分线．
（1）如图1，求证： ．
（2）如图2，作 的角平分线交线段 于点 ，若 ，求 的面积；
（3）如图3，过点 作 于点 ，点 是线段 上一点（不与 、 重合），以 为一边，
在 的下方作 ， 交 延长线于点 ，试探究线段 ， 与 之间的数量关系，
并说明理由．
【解答】证明：（1）如图1，过点 作 ，
是 的角平分线， ， ，
，
， ，
，
；
（2）如图2，过点 作 ，， ，
，
是 的角平分线，
，
平分 ，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
的面积 ；
（3）若点 在 上时， ，
理由如下：如图3所示：延长 使得 ，连接 ，， ， 是 的角平分线， 于点 ，
， ，
，且
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．
方法二、如图3所示：延长 使得 ，连接 ，
，且
是等边三角形，
，
， ， 是 的角平分线， 于点 ，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
．
若点 在 上时， ，
理由如下：如图4，延长 至 ，使得 ，连接 ，
由（1）得 ， ．
于点 ．
．
．
是等边三角形．
， ．
．
，
．
即 ．
在 和 中，
．
．
，
．．
36．（青羊区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ， 和 ， ，且与 轴交
于点 ，直线 与 交于点 ，且点 的横坐标为 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）连接 ，试判断 的形状；
（3）动点 从点 出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，运动时间为 秒，同时动点
从点 出发沿 轴的正半轴以相同的速度运动，当点 到达点 时， ， 同时停止运动．设 与
交于点 ，当 为何值时， 为等腰三角形？求出所有满足条件的 值．
【解答】解：（1）将点 、 的坐标代入一次函数表达式： 得： ，解得：
，
故直线 的表达式为： ；
（2）直线 的表达式为： ，则点 ，由点 、 、 的坐标得： ， ， ，
故 ，
故 为直角三角形；
（3）直线 的表达式为： ，故点 ， ，则 ，
则直线 的倾斜角为 ，即 ，则 ，则
故点 ， ，则 ，
则点 是 的中点，故 ，则 ， ，
，则 ，
①当 时，如图1，
则 ，故 ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
由勾股定理得： ，
，解得： ；
②当 时，如图2，
则 ，而 ，
，
故 ，即 ，
解得： ；
③当 时，
则 ，而 ，
而 为外角，与所求三角形不存在外角关系，此时 与 重合， 与 重合， 与 重合，不构成
三角形，故这种情况不存在；
综上， 或 ．
37．（成华区期末）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，垂美四边形 的对角线 ， 交于 ．求证： ；
（2）如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接
， ， ．
①求证：四边形 是垂美四边形；
②若 ， ，求 的长．【解答】（1）证明： 垂美四边形 的对角线 ， 交于 ，
，
，
由勾股定理得： ，
，
；
（2）①证明：连接 、 相交于点 ， 交 于点 ，如图2所示：
正方形 和正方形 ，
， ， ，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
，即 ，
四边形 是垂美四边形；
②解： 四边形 是垂美四边形，
由（1）得： ，， ，
，
正方形 和正方形 ，
， ，
，
．
38．（成都期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点 ，直线
交 交 轴于点
（1）求直线 的解析式；
（2）将 沿直线 翻折得到 （其中点 的对应点为点 ，求证 ；
（3）在直线 下方以 为边作等腰直角三角形 ，直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1） 直线 与直线 相交于点 ，，
直线交 交 轴于点 ，
，
把 代入得， ，
，
直线 的解析式为 ；
（2） ，
，
，
将 沿直线 翻折得到 ，
，
，
；
（3）如图，过 作 于 ，
则 ，
，
，
，
，
过 作 轴于 ，
是等腰直角三角形，
，
，
，△ ，
，
；
同理可得， ， ， ．
39．（成都期末）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴和 轴分别交于 、 两点．
动点 从点 出发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 作匀速运动，到达点 即停止运动．
其中 、 两点关于点 对称，以线段 为边向上作正方形 ．设运动时间为 秒．如图①．
（1）当 秒时， 的长度为 2 ；
（2）设 、 分别与直线 交于点 、 ，求证： ；
（3）在运动过程中，设正方形 的对角线交于点 ， 与 交于点 ，如图2，求 的最
小值．【解答】解：（1）在 中，令 ，得 ，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2） ，
，
四边形 是正方形，
，
， ， ， ，
，
，
；
（3）作矩形 ，则 ，
，
点 的运动轨迹是直线 ，
直线 ， ，
点 在直线 上，，
当 ， ， 三点共线时， 的值最小，如图，
作 于 ，
在等腰直角三角形 中， ，
，
，
的最小值为： ．
40．（金牛区期末）（1）观察猜想
如图①，点 、 、 在同一条直线上， ， 且 ， ，则 和
是否全等？ 是 （填是或否），线段 、 、 、 之间的数量关系为 ．
（2）问题解决
如图②，在 中， ， ， ，以 为直角边向外作等腰 ，连接
，求 的长．
（3）拓展延伸如图③，在四边形 中， ， ， ， ， 于点 ，
求 的长，
【解答】解：（1）观察猜想
结论： ，理由如下：
如图①， ， ，
， ，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，
故答案为：是， ；
（2）问题解决
如图②，过 作 ，交 的延长线于 ，
由（1）得： ，
， ，
中， ，
由勾股定理得： ；
（3）拓展延伸
如图③，过 作 于 ，作 于 ，
则四边形 是矩形，
同（1）得： ，
， ，
四边形 是正方形，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，或 （舍去），
， ，
，四边形 的面积 正方形 的面积 ， 的面积
，
的面积 四边形 的面积 的面积 ，
．
41．（金牛区期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，直线
与 轴交于点 ，与 相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）在 轴上一点 ，若 ，求点 的坐标；（3）直线 上一点 ，平面内一点 ，若以 、 、 为顶点的三角形与 全等，求点 的坐
标．
【解答】解：（1） 直线 与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
，
；
（2）如图1，
直线 与 轴交于点 ，
令 ．
，
，
，
由（1）知， ，
，
联立直线 ， 的解析式得， ，
解得， ，，
，
，
，
直线 与 轴的交点记作点 ，
，
设点 ，
，
，
或 ，
点 或 ；
（3）如图2，
①当点 在直线 上方时，
以 、 、 为顶点的三角形与 全等，
Ⅰ、当 时，连接 ， ，
由（2）知， ，
由（1）知， ， ，
，
，
，
，，
， ，
直线 是线段 的垂直平分线，
点 ， 关于直线 对称，
，
过点 ，且点 是 的中点，
，
Ⅱ、当 时，
， ，
，
点 ， ，
点 向左平移4个单位，
点 向左平移4个单位得， ，
，
②当点 在直线 下方时，
，
由①Ⅱ知， ，
，
， ，
点 与点 关于直线 对称，
，
，
，而点 先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，
，向左平移1个单位，再向下平移一个单位得 ，
，
即：点 的坐标为 或 或 ．
42．（锦江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，且 ， 满足 ．
直线 经过点 和 ．（1） 点的坐标为 ， ， 点的坐标为 ， ；
（2）如图1，已知直线 经过点 和 轴上一点 ， ，点 是直线 位于 轴右侧图象上
一点，连接 ，且 ．
①求 点坐标；
②将 沿直线 平移得到△ ，平移后的点 与点 重合， 为 上的一动点，当
的值最小时，请求出最小值及此时 点的坐标；
（3）如图2，将点 向左平移2个单位到点 ，直线 经过点 和 ，点 是点 关于 轴的对称点，直
线 经过点 和点 ．动点 从原点出发沿着 轴正方向运动，连接 ，过点 作直线 的垂线交
轴于点 ，在直线 上是否存在点 ，使得 是等腰直角三角形？若存在，求出 点坐标．
【解答】解：（1） ，则 ， ，
故点 、 的坐标分别为： 、 ，
故答案为： ，0；0， ；
（2）由 、 的坐标得，直线 的表达式为 ，①直线 经过点 和 轴上一点 ， ，
则直线 的表达式为： ，平移后点 ， ，
，则 ，
故点 ， ；
②过点 过 轴的平行线交直线 与点 ，过点 作 垂直于 的延长线于点 ，
，则 ，
则 ，
为最小值，即点 为所求，
则点 ， ，
；
（3）点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ，
由 、 坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，同理直线 的表达式为： ，，则直线 的表达式为： ，故点 ，
即 ，
①当 为直角时，
如图2左图，则点 ，
将点 的坐标代入 并解得： ，
故点 ， ；
②当 为直角时，
如图2右图，则点 ，
将点 的坐标代入 并解得： ，
故点 ；
③当 为直角时，
如图2右图，则点 ， ，
将点 的坐标代入 并解得： ，故点 ；
综上，点 的坐标为： ， 或 或 ．
43．（青羊区校级期末）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
且 ，直线 经过点 ， ，与 轴、 轴、直线 分别交于点 、 、 三
点．
（1）求直线 的解析式；
（2）如图1，连接 ，当 时，求点 的坐标和 的面积；
（3）如图2，当点 在直线 上运动时，在坐标轴上是否存在点 ，使 是以 为底边的等腰直
角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） ，
当 时， ，
，
，
，
， ，把 ， 代入： 中得： ，
，
直线 的解析式为： ；
（2）如图1，过 作 轴于 ，
， ，
， ，
中， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
把 ， 和 ， 代入 中得： ，解得： ，
直线 ，
即 ，
则 ，解得 ，
， ，
；
（3）分四种情况：
①当 在 轴的正半轴上时，如图2，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
是以 为底边的等腰直角三角形，
， ，
，
，，
， ，
设 ， ，则 ，
，
即 ，
，
， ；
②当 在 轴的负半轴上时，如图3，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
同理得： ，
， ，
设 ， ，则 ，
，
即 ，，
， ；
③当 在 轴的负半轴上时，如图4，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
同理得： ，
， ，
设 ， ，则 ，
，即 ，
，
， ；
④当 在 轴的负半轴上时，如图5，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
同理得： ，
， ，
设 ， ，则 ，
，
即 ，
，
；综上，存在点 ，使 是以 为底边的等腰直角三角形，点 的坐标是 或 ， 或
， ．
44．（青羊区期末）已知： 中， ， ．
（1）如图1，点 在 的延长线上，连 ，过 作 于 ，交 于点 ．求证： ；
（2）如图2，点 在线段 上，连 ，过 作 ，且 ，连 交 于 ，连 ，
问 与 有何数量关系，并加以证明；
（3）如图3，点 在 延长线上， 且 ，连接 、 的延长线交 于点 ，若
，请直接写出 的值．
【解答】（1）证明：如图1中，
于 ，
，
，
，
，
，
．（2）结论： ．
理由：如图2中，作 于 ．
，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
，
．
（3）如图3中，同法可证 ．
，设 ，则 ， ，
．45．（武侯区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴， 轴于 、 两点，点
在线段 上，连接 ，且 ．（1）求线段 的长度；
（2）如图2，点 的坐标为 ， ，过 作 交直线 于点 ．动点 在 轴上
从点 向终点 匀速运动，同时动点 在直线 上从某一点向终点 ， 匀速运动，当
点 运动到线段 中点时，点 恰好与点 重合，且它们同时到达终点．
当点 在线段 上时，设 、 ，求 与 之间满足的一次函数关系式；
在 的基础上，连接 ，过点 作 于点 ，当 与 的一边平行时，求所有满足条
件的 的值．
【解答】解：（1） 、 、 的坐标分别为： 、 ， ；
，则点 是 的中点，则点 的坐标为： ， ；
故 ；
（2）点 、 、 的坐标分别为： 、 ， 、 ， ；
点 、 、 的坐标分别为： ， 、 ， 、 ， ；
设 、 的表达式为： ，当 时， ，即点 ， ；
当 时， ，即点 ， ；
将点即点 ， 和点 ， 代入 并解得：
函数的表达式为： ①；
直线 的倾斜角 ， ， ， ， 、 ，
①当 时，如图1，
则 ，
，
，
由勾股定理得： ，即 ②；
联立①②并解得： ；
②当 时，如图2，故点 作 交 于点 ，作 于点 ，作 于点 ，
则 ，
，
，
③；
联立①③并解得： ；
从图象看 不可能平行于 ；
综上， 或 ．
46．（成都期末）已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
点 是点 关于 轴对称的点，过点 作 轴平行的射线 ，交直线 与点 ，点 是射线 上的
一个动点．
（1）求点 ， 的坐标．
（2）如图2，将 沿着 翻折，当点 的对应点 落在直线 上时，求点 的坐标．
（3）若直线 与直线 有交点，不妨设交点为 （不与点 重合），连接 ，是否存在点 ，使得
，若存在，请求出对应的点 坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令 ，则 ，
，令 ，则 ，
，
；
（2） 点 是点 关于 轴对称的点，
，
轴，
时， ， ，
， ， ，
由折叠知， ，
，
设 ，
， ，
在 △ 中， ，
，
；
（3）设 ，
， ，
，
，
，
或 ，或 ，
直线 的解析式为 ①，
当 时，直线 的解析式为 ②，
联立①②解得， ， ，
，
当 时，直线 解析式为 ③，
联立①③解得， ， ，
， ，
即：满足条件的点 或 ， ．
47．（成都期末）在等腰 中， ，
（1）如图1， ， 是等腰 斜边 上两动点，且 ，将 绕点 逆时针旋转90
后，得到 ，连接
①求证： ；
②当 ， 时，求 的长；
（2）如图2，点 是等腰 斜边 所在直线上的一动点，连接 ，以点 为直角顶点作等腰
，当 ， 时，求 的长．
【解答】解：（1）①如图1中，，
， ，
， ，
，
， ， ，
．
②如图1中，设 ，则 ．
， ，
，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
．
（2）①当点 在线段 上时，如图2中，连接 ．，
，
， ，
，
， ，
，
，
．
②当点 在 的延长线上时，如图3中，连接 ．
同法可证 是直角三角形， ， ，
，综上所述， 的值为 或 ．
