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专题 04 圆
思维导图
【类型覆盖】
类型一、圆的周长与面积
【解惑】明明用圆规画一个周长是31.4 的圆，圆规两脚间的距离是（ ） ．
A． B．5 C．10 D．1
【答案】B
【分析】本题考查圆的周长公式，圆规两脚间的距离是半径，根据周长公式即可求解．
【详解】解： ，
故选：B．
【融会贯通】
1．周长是 的圆，面积是（ ）平方厘米．
A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26
【答案】D
【分析】根据圆的周长公式， ，得出 ，将周长18.84厘米代入，由此即可求出圆的半径，
根据圆的面积公式， ，将半径代入，即可求出圆的面积．
此题主要考查了圆的周长公式 的灵活应用与圆的面积公式 的实际应用．熟练掌握圆的周长
公式和面积公式是解题的关键．
【详解】解： （厘米），（平方厘米）
故选：D．
2．在一个半径为 的大圆上，挖去9个半径为 的小圆，当 ， 时，剩余部分的面积为
（结果保留 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键．
根据剩余部分的面积为： ，计算求解即可．
【详解】解：由题知，剩余部分的面积为： ，
故答案为： ．
3．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析
【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可．
【详解】解：大圆的周长 ，两个小圆的周长和 ，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．
类型二、利用垂径定理求平行弦
【解惑】⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34
【答案】C
【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧
两种情况讨论.【详解】解：如图,
设E、F为AB、CD的中点，
AE= AB= 24=12,
CF= CD= 10=5,
OE= = =5,
OF= = =12,
①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7;
②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17.
所以距离为7或17.
故选C.
【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用.
【融会贯通】
1．若⊙ 的半径为10 cm，且两平行弦 ， 的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm
【答案】C
【分析】分两种情况解答：①弦AC、BD在⊙O的同侧；②弦AC、BD在⊙O的两侧．根据垂径定理分别求
出圆心到弦的距离，再根据两种情况求出两弦间的距离即可.
【详解】①如图：作OE⊥AC垂足为E，交BD于点F，
∵OE⊥AC AC∥BD，
∴OF⊥BD，
∴AE= AC=6cm； BF= BD=8cm，
在Rt△AOE中OE= = =8cm
同理可得：
OF=6cm
∴EF=OE-OF=8-6=2cm；
②如图：同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm.
综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm．
故选C．
【点睛】此题主要利用垂径定理，把问题转化为直角三角形，运用勾股定理来解决，注意分情况讨论是解
题关键．
2．设AB、CD是⊙O的两条弦，AB CD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离
为 ．
【答案】17或7/7或17
【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
∵AB CD，OE⊥CD，
∴OF⊥AB，由垂径定理可知AF= AB= ×24=12，CE= CD= ×10=5，
在Rt CEO中，OE= =12；
△
同理，OF= =5，
故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；
②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，
同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；
故答案为：17或7．
【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
3．已知 的半径为13，弦 平行于 ， ，求 和 之间的距离．
【答案】 和 之间的距离为7或17
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当 的圆心O位于 、 之间时，当 的圆心O
不在两平行弦 、 之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到 和 的距离，据
此可得答案．
【详解】解：如图，当 的圆心O位于 、 之间时，作 于点E，并延长 ，交 于F
点．分别连接 、 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，∴ 和 之间的距离为17；
如图所示，当 的圆心O不在两平行弦 、 之间（即弦 、 在圆心O的同侧）时，
同理可得： ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为7；
综上所述， 和 之间的距离为7或17．
类型三、垂径定理的实际应用
【解惑】《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径
几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(
寸)，锯道长1尺 尺 寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形
木材的直径 是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为 寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论．
【详解】解： ，
（寸） ．
设圆的半径为 寸，则 寸，
寸，
，，
解得： ．
圆柱形木材的直径 是 （寸）．
故选：C
【融会贯通】
1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道 尺
（1尺 10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
【答案】A
【分析】过点O作 ，交 于点D，交 于点E，设 的半径为r．在 中，
，由勾股定理得出方程 ，解方程即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：过点O作 ，交 于点D，交 于点E，
设 的半径为r．
在 中， ，
由勾股定理得出方程 ，
解得： ，∴ 的直径为26寸，
故答案为：26．
2．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度 ，拱高 ，那么桥拱所在圆的半径
m．
【答案】10
【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键．
设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则 ，根据 得到 ， 中根据
，解得 ．
【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得 ．
故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米．
故答案为：10．
3．如图，水管内原有积水的水面宽 ，水深 ．因几天连续下雨水面上升 （即），求此时水面 的宽是多少？
【答案】此时水面 的宽是 ．
【分析】本题综合考查了勾股定理和垂径定理的应用，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
连接 、 ．设 的半径是 ，则 ， ．根据垂径定理，得 cm．在直角
中，根据勾股定理求得 的值，再进一步在直角 中，根据勾股定理求得 的长，从而再根
据垂径定理即可求得 的长．
【详解】
解：如图所示，连接 、 ．
设 的半径是 ，则 ， ．
，
cm．
在直角 中，根据勾股定理，得
，
解得， ．
在直角 中，根据勾股定理，得
（cm）．根据垂径定理，得 （cm）．
故此时水面 的宽是2❑√6cm．
故答案为：
类型四、利用弧、弦、圆心角的求解与求证
【解惑】如图，在 中， 是直径， ， ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等孤对的圆心角相等得 ，
即可求解，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理．
【详解】解：∵ 是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【融会贯通】
1．如图， 为 的直径，点C是弧 的中点．过点C作 于点G，交 于点D，若
，则 的半径长是（ ）A．4 B．5.5 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据垂径定理和点C是弧 的中点得出 ，从而得出 ，再利用勾股定理进行求解即
可．
【详解】解：连接 ，如图，设 的半径为r，
∵ ，
∴ ， ，
∵点C是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，∴ ，解得 ，
即 的半径为 ．
故选：C．
2．如图， 是直径， ， ， 的度数是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查了弧与圆心角，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题关键．根据弧与圆心角的关系可得
，由此即可得．
【详解】解：∵ 是直径， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．已知：如图， 为直径 上一点， 、 为过点 的两条弦，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】本题利用了垂径定理和全等三角形的判定和性质及在同圆划等圆中，等弧对等弦，等弦对等弧求解．
（1）过点 作 于 ，作 于 ，根据全等三角形的判定方法得到 ，根据
对应边相等，从而不难求得结论；
（2）根据 从而得到 由等量减去等量还是等量即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点 作 于 ，作 于 ，连接 、 ，
，
．
又 ，
，
．
．
， ，
点 是 的中点，点 是 的中点．
， ．
；
（2）证明： ，
，
．
即 ．
类型五、圆周角定理
【解惑】如图， 为 的直径，点B，D在 上， ， ，则 的长为（ ）A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到
， ，根据 得到 ，最后根据勾股定理求解即可得到答
案
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【融会贯通】
1．如图， 是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且 ，点P在 上，若 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．熟练掌握圆周角定理是解题的关键
连接 ， ， 和 都是等边三角形，求得 ，利用三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：连接： ， ，
∵ 是半圆O的直径， ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
2． 为 的外接圆， ， 为 的直径，若 ，则
．
【答案】 /40度
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是
直角可得 ，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，然后利用同弧所对的圆周
角相等可得 ，再利用等腰三角形的性质可得 ，从而利用三角形内
角和定理可得 ，最后利用同弧所对的圆周角相等可得 ，进而利用直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】 为 的直径，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
∴
故答案为：
3．如图， 中， ，以AB为直径的 交 于 ，交 于 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 和 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角
和定理等知识．
（1）连接 ，先由圆周角定理得 ，则 ，再由等腰三角形的性质得即可得出结论；
（2）先求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，等腰三角形的性质得
，再由三角形外角的性质求出 ，再根据四边形 是 的内接四边形，结
合 ，即可得出 的度数．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：是 的直径，
，
，
，
．
（2）解： 是 的直径，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∵四边形 是 的内接四边形
∴
又∵
∴ ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角
和定理和外角的性质等知识．
类型六、直径所对的圆周角是直角
【解惑】如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 、 ，若 ，则 的度数为
（ ）度．A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接 ，利用直径的性质，可知 ，根据
角的和差求出 ，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【融会贯通】
1．如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直
径所对的圆周角是直角得到 ，再由三角形内角和定理求出 ，据此根据圆内角四边形
对角互补进行求解即可．
【详解】解：∵ 是半圆O的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．若 ，则
的度数是 ．
【答案】 /34度
【分析】此题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，由 是 的直径，得 ，利用圆内接
四边形的性质求出 ，即可求出 ．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为 ．
3．如图，圆内接四边形 的对角线 交于点E， 平分 ， ．
(1)求证： 为圆的直径；
(2)过点C作 交 的延长线于点F，若 ，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由圆内接四边形性质得 ，由 及同弧对的圆周角相等得
，即 平分 ，再结合已知即可得 ，问题得证；
（2）由题意得 是等边三角形，则得 ；再由平行得 ，利用含30度直
角三角形的性质可分别求得 ，从而可求得半径．
【详解】（1）证明：∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 平分 ，
∴ ；
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 是圆的直径；
（2）解：∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴圆的半径为 ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，同弧或等弧对的圆周角相等，直角对的弦为直径，等腰三角形的
性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，掌握这些知识是关键．
类型七、切线长定理求解与求证
【解惑】如图，在 中， ，其内切圆分别与 相切于点D、E、F，若 ，
，则 的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：
，再利用勾股定理列方程可得 的长．
【详解】解：∵ 的内切圆分别与 相切于点D、E、F， ， ，
，
，
，
，
解得： （舍）或2，
故选：A．【融会贯通】
1．如图，AB、 、BD是 的切线，切点分别为 、 、 ，若 ， ，则BD的长是（
）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于AB、 、BD是 的切线，则 ， ，求
出 的长即可求出BD的长．
【详解】解： 、 为 的切线，
，
、BD为 的切线，
，
．
故选：B．
2．如图， 为 外一点， 分别切 于点 ， 切 于点 ，分别交 于点 ，
若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把 的周
长转化为已知切线相关的线段计算．
根据切线长定理得到 ， ， ，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵ 分别切 于点 ， 切 于点 ， ，∴ ， ， ，
∴ 的周长 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
3．如图， 中 ， 为 边上一点， 为 内切圆， 、 、 为切点．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理；
（1）根据切线长定理可得 ， ，根据 ，由线段的差相等，即可求解；
（2）设 ，则 ，根据 ，即可求解．
【详解】（1）∵ 为 内切圆， 、 、 为切点，
∴ ，
∵ ，
∴ 即
∴
（2）设 ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴∵ ，
∴ ，解得 ，
∴
类型八、证明直线与圆的切线
【解惑】如图，在 中， 是边 上一点，以 为直径的 经过点 ，且 ．
(1)请判断直线 是否是 的切线，并说明理由．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)直线 是 的切线；理由见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线 是否是 的切线
是本题的关键．
（1）如图，连接 ，由圆周角定理可得 ，由等腰三角形的性质可得
，可得 ，可得结论；
（2）由勾股定理可求 即可得到答案．
【详解】（1）解：直线 是 的切线，理由如下：
如图所示，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是半径，
∴直线 是 的切线；
（2）解：在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径长为3．
【融会贯通】
1．如图， 中， ，以 为直径作 交 于点 ，作 交 于点 ，延长
交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是圆O的切线；
(2)若 为等边三角形， ，求圆 半径的长．
【答案】(1)见详解
(2)2
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质得到 ， ，等量代换得
，由平行线的判定得到 ，进而得到 ，即可证得 是 的切线；
（2）由等边三角形的性质得 ，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得
，根据勾股定理列式计算，即可得到结论．本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助
线，证得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： 为等边三角形，
，
是 的直径，
，
， ，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，．
半径的长为2．
2．如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，延长 与
的延长线交于点 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ．由切线的性
质得出 ，则 ，可得出结论；
（2）由勾股定理求出 的长，设 ，则 ，得出方程 ，解方程可得
x，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理
等知识，证明 是解题的关键．
3．如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线 交 的延长线于点C，过点O作交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径及 的长．
【答案】(1)见详解
(2) 的半径为3； 的长为6
【分析】（1）由切线的性质可得 ，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得 平方 ，
从而可得 ，进而可证 ，最后利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设 的半径为r，在 中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得 ，
最后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）证明： 与 相切于点D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为 的半径，
直线 是 的切线；
（2）设 的半径为r，
在 中， ，，
，
，
，
由（1）得 ，
，
在 中， ，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的
判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
类型九、尺规作图——确定圆心
【解惑】（1）已知： （图①），求作： 的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写
出作法，不要求证明）
（2）如图②，A为 上一点，按以下步骤作图：
①连接 ；②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；③在射线 上截取 ；④连接
．若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析；（2） 的半径 ．
【分析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心．
（1）根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；
（2）由题意易得 是等边三角形，则 ，进而可得 ，然后可得 ，最后问题可求解．
【详解】解：（1） 的外接圆 如图所示：
（2）连接 ，
∵ ，
由作图知 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径 ．【融会贯通】
1．按要求作图．
(1)作 的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2) 是 外的一点，以 为旋转中心，将 按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，
（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，三角形的外接圆与外心，旋转作图．
（1）分别作 和 的垂直平分线交于点 ，再以 为圆心 为半径画圆即为 的外接圆；
（2）分别画出 ， ， 按顺时针方向旋转90度后的对应线段 ， ， ，再连接三角形
即可．
【详解】（1）如图， 即为所求：
（2）如图， 即为所求：2．如图，已知 ，求作：以 为一边作 ，且满足 与 互补．
作法：①作 边的垂直平分线 ；
②作 边的垂直平分线 ，直线 ， 交于点 ；
③以 为圆心， 长为半径作 ；
④连接 并延长，交 于点 ，连接 ．
(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证： 即为所求作的三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出 的垂直平分线 ，交于点 ，以 为圆心， 长为半径作 ，连
接 并延长，交 于点 ，连接 即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；（2）证明：∵ 是 的直径，
∴ 是直角，
∴ 是直角三角形，
∵ 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ 即为所求作三角形．
3．如图，是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 过格点A，
B，C，点D为 与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用
实线表示，按步骤完成下列问题．
(1)画圆心O，并过点B作 的切线BE；
(2)作弦 ，并在 上画点G，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查切线的画法，圆心画法，平行线画法，圆周角画法．
（1）根据圆心定义及切线定义即可画出；
（2）根据平行线定义及圆周角定义即可画出．【详解】（1）解：∵ 过格点A，B，C，点D为 与格线交点，
∴取格点上的点A，B，H，C，连接 ， 相交于点 ，即为圆心，
∵ 直径的纵横比为 ，化简纵横比可为 ，即切线 纵横比应为 ，
∴取格点 ，连接 交点即为点 ，连接 即为切线，如下图所示：
（2）解：连接 ，用无刻度直尺平移至点A画直线交 于点 ，
连接 ，作 交 于点 ，则 ，
∴ ，
类型十、尺规作图——正多边形与圆
【解惑】图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中
作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形 ABCD，点D在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求
．（2）在图②中画一个四边形 ABCE，点E在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求 ．
【答案】（1）图见详解，6 ；（2）图见详解，4.5
【分析】（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可
得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知∠CBA=∠CDA，然后用用割补法求出面积即可；
（2）根据图中正方形网格和∠B的特点，作出∠E与∠B互补，然后用割补法求面积即可．
【详解】解：（1）如图，
S =3×4- ×2- - =6；
四边形ABCD
（2）如图，
S =3×3- ×2- - = ．
四边形ABCE
【点睛】此题主要考查了应用设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补
法求面积．
【融会贯通】
1．已知正五边形 ，请仅用无刻度直尺作图．（1）在图1中作点P，使得 是等腰三角形：
（2）在图2中作点 ，使点 称为正五边形 的中心．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【分析】（1）直接利用正多边形的性质得出顶点P的位置；
（2）利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置．
【详解】解：（1）如图所示：点P为所求；
（2）如图所示：点O为所求；
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质和正多边形的性质，正确应用正五边形的性质是
解题关键．
2．如图， 已知多边形 中， ， ， ， ，分别按请仅用
无刻度的直尺，分别按下列要求画图.
(1)在图①中，画出一个以 为边的矩形；
(2) 在图②中， 若多边形 是正六边形，试在 上画出点 ，使【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形即可；
（2）在图②中，多边形ABCDEF是正六边形，在AF上画出点M，使得 即可．
【详解】解：（1）图①中，即为以 为边的矩形
（2）在图②中，点 即为所求，使得
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形和圆的性质准确画图．
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，BD=DC，BE//DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；
（2）在图2中，画一个菱形．【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析
【分析】（1）连接AD、BC相交于点O，Rt 即为所求；
（2）连接AD交BE于F，连接CF，四边形B△FCADO即B 为所求．
【详解】（1）连接AD、BC相交于点O，Rt 即为所求；
△AOB
（2）连接AD交BE于F，连接CF，四边形BFCD即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图的问题，掌握直角三角形和菱形的性质是解题的关键．
【一览众山小】
1．对于命题“如果 ，那么 ．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】A【分析】本题考查了举反例；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A、 ，能说明它是假命题，故本选项符合题意；
B、若 ， ，则 ，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意；
C、若 ， ，此时 ，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意；
D、若 ， ，此时 ，不能说明它是假命题，故本选项不符合题意；
故选：A
2．如图，点 、 、 在 上， ， ，则 的度数为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据 ， 得出 ，再由平行线的性质得出 ，根据圆周
角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【详解】解： ， ，
．
∵ ，
，
．（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）
故选：B．
3．如图， ， ， ， 是 上的点， ，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，
∴ ，不符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
、不能保证 ，符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
故选： ．
4．请举反例说明命题“对于任意实数 ， 一定大于 ”是假命题．你举的反例是 ．（写出一
个值即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、
论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
【详解】解：当 时， ，
∴“对于任意实数 ， 一定大于 ”是假命题．
故答案为：0（答案不唯一）．
5．圆内接四边形 中， ，则
【答案】
【分析】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出， 是解题
关键．
根据圆内接四边形对角互补，求出 与 的度数即可得出答案．
【详解】解：设 分别为 ，
根据圆内接四边形对角互补有 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：120．
6．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ， ，则 的长为
．
【答案】2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得 ，再对 运用勾股定理即可求 ，最后 即可求解．
【详解】解：∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2
7．如图，在同一平面内，已知 直线 于点 与直线 相交（且不垂直）于点 ．求证： 与
必相交．证明：假设 与 不相交，则___________ ___________．
这与 与直线 不垂直相矛盾．
假设 与 不相交___________．
与 ___________．
【答案】 ， ，不成立，必相交
【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可．
【详解】证明假设 与 不相交，则 ．
这与 与直线 不垂直相矛盾．
假设 与 不相交不成立．
与 必相交．
8．如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的半径是5．
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识；
（1）由垂径定理得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接 ，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明： ， 为 的弦，
，
， ，
，
，；
（2）解：如图，连接 ，
， 为 的弦，
， ，
∴
设 的半径是 ，
∴ ，
解得 ，
的半径是5．
9．如图，有一破残的圆片，我们需要把它复制完整，已知弧上的点A、B、C．
(1)通过尺规作图，确定A、B、C所在圆的圆心O；
(2)若 是等腰三角形，且底边 ，腰 ，求圆片的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题综合考查了垂径定理，勾股定理等知识点，要注意作图中是根据垂径定理作为作图依据．
（1）可根据 ， 的垂直平分线来确定圆心．
（2）通过构建直角三角形来求解．连接 交 于 ．先求出 的值，然后在直角三角形 中，用
半径表示出 ， ，然后根据勾股定理求出半径的值．
【详解】（1）解：分别作 、 的垂直平分线，设交点为 ，则 为所求圆的圆心．（2）连接 交 于 ，连接 ．
，
， ，
在 中， ，
设 的半径为 ，在 中，
，即 ，
，
．
所以所求圆的半径为
10．如图， 为正方形 对角线 上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证∶ 与 相切；
(2)若正方形 的边长为4，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过 作 于 ，连接 ，由正方形的性质结合已知条件可得出
，由三角形内角和可得出 ，进一步即可证明 与
相切；
（2）由（1）易知 为等腰直角三角形， 为半径，设 ，由勾股定理可得出 ，进
而可得出 ，再由勾股定理可得出 ，由正方形的性质可得出 ，求出，进而列出等式计算即可．
【详解】（1）证明∶过 作 于 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，
四边形 为正方形，
，
，
又 为正方形 对角线，
，
∴ ，
，
与 相切；
（2）解∶由（1）易知 为等腰直角三角形， 为半径，
设 ，
∴
，
在 中， ，
∴ ，
，
．
，
，
的半径为 .【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及
性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
