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专题 04 圆
思维导图
【类型覆盖】
类型一、圆的周长与面积
【解惑】明明用圆规画一个周长是31.4 的圆，圆规两脚间的距离是（ ） ．
A． B．5 C．10 D．1
【融会贯通】
1．周长是 的圆，面积是（ ）平方厘米．
A．50.24 B．12.42 C．25.12 D．28.26
2．在一个半径为 的大圆上，挖去9个半径为 的小圆，当 ， 时，剩余部分的面积为
（结果保留 ．
3．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
类型二、利用垂径定理求平行弦
【解惑】⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（ ）
A．7 B．17 C．7或17 D．34【融会贯通】
1．若⊙ 的半径为10 cm，且两平行弦 ， 的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是( )
A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm
2．设AB、CD是⊙O的两条弦，AB CD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离
为 ．
3．已知 的半径为13，弦 平行于 ， ，求 和 之间的距离．
类型三、垂径定理的实际应用
【解惑】《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径
几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(
寸)，锯道长1尺 尺 寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形
木材的直径 是（）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
【融会贯通】
1．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯
道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道 尺
（1尺 10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
2．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度 ，拱高 ，那么桥拱所在圆的半径m．
3．如图，水管内原有积水的水面宽 ，水深 ．因几天连续下雨水面上升 （即
），求此时水面 的宽是多少？
类型四、利用弧、弦、圆心角的求解与求证
【解惑】如图，在 中， 是直径， ， ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图， 为 的直径，点C是弧 的中点．过点C作 于点G，交 于点D，若
，则 的半径长是（ ）
A．4 B．5.5 C． D．2．如图， 是直径， ， ， 的度数是 ．
3．已知：如图， 为直径 上一点， 、 为过点 的两条弦，且 ．求证：
(1) ；
(2) ．
类型五、圆周角定理
【解惑】如图， 为 的直径，点B，D在 上， ， ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【融会贯通】
1．如图， 是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且 ，点P在 上，若 ，
则 等于（ ）A． B． C． D．
2． 为 的外接圆， ， 为 的直径，若 ，则
．
3．如图， 中， ，以AB为直径的 交 于 ，交 于 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 和 的度数．
类型六、直径所对的圆周角是直角
【解惑】如图， 是 的直径， 是 的弦，连接 、 ，若 ，则 的度数为
（ ）度．A．15 B．25 C．35 D．45
【融会贯通】
1．如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ．若 ，则
的度数是 ．
3．如图，圆内接四边形 的对角线 交于点E， 平分 ， ．
(1)求证： 为圆的直径；
(2)过点C作 交 的延长线于点F，若 ，求此圆半径的长．
类型七、切线长定理求解与求证
【解惑】如图，在 中， ，其内切圆分别与 相切于点D、E、F，若 ，
，则 的长为（ ）A．2 B．4 C．5 D．3
【融会贯通】
1．如图，AB、 、BD是 的切线，切点分别为 、 、 ，若 ， ，则BD的长是（
）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
2．如图， 为 外一点， 分别切 于点 ， 切 于点 ，分别交 于点 ，
若 ，则 的周长为 ．
3．如图， 中 ， 为 边上一点， 为 内切圆， 、 、 为切点．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
类型八、证明直线与圆的切线
【解惑】如图，在 中， 是边 上一点，以 为直径的 经过点 ，且 ．
(1)请判断直线 是否是 的切线，并说明理由．
(2)若 ， ，求 的半径．
【融会贯通】
1．如图， 中， ，以 为直径作 交 于点 ，作 交 于点 ，延长
交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是圆O的切线；
(2)若 为等边三角形， ，求圆 半径的长．
2．如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，延长 与
的延长线交于点 ．(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求线段 的长．
3．如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线 交 的延长线于点C，过点O作
交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径及 的长．
类型九、尺规作图——确定圆心
【解惑】（1）已知： （图①），求作： 的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写
出作法，不要求证明）
（2）如图②，A为 上一点，按以下步骤作图：
①连接 ；②以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；③在射线 上截取 ；④连接
．若 ，求 的半径．【融会贯通】
1．按要求作图．
(1)作 的外接圆；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2) 是 外的一点，以 为旋转中心，将 按顺时针方向旋转90度，作出经旋转后的图形，
（尺规和量角器作图，保留作图痕迹，不写作法）
2．如图，已知 ，求作：以 为一边作 ，且满足 与 互补．
作法：①作 边的垂直平分线 ；
②作 边的垂直平分线 ，直线 ， 交于点 ；
③以 为圆心， 长为半径作 ；
④连接 并延长，交 于点 ，连接 ．
(1)请使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）．
(2)求证： 即为所求作的三角形．
3．如图，是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 过格点A，
B，C，点D为 与格线交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用
实线表示，按步骤完成下列问题．(1)画圆心O，并过点B作 的切线BE；
(2)作弦 ，并在 上画点G，使 ．
类型十、尺规作图——正多边形与圆
【解惑】图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中
作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形 ABCD，点D在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求
．
（2）在图②中画一个四边形 ABCE，点E在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求 ．
【融会贯通】
1．已知正五边形 ，请仅用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作点P，使得 是等腰三角形：（2）在图2中作点 ，使点 称为正五边形 的中心．
2．如图， 已知多边形 中， ， ， ， ，分别按请仅用
无刻度的直尺，分别按下列要求画图.
(1)在图①中，画出一个以 为边的矩形；
(2) 在图②中， 若多边形 是正六边形，试在 上画出点 ，使
3．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，BD=DC，BE//DC，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画一个以AB为边的直角三角形；
（2）在图2中，画一个菱形．
【一览众山小】
1．对于命题“如果 ，那么 ．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
2．如图，点 、 、 在 上， ， ，则 的度数为（ ） ．A． B． C． D．
3．如图， ， ， ， 是 上的点， ，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．请举反例说明命题“对于任意实数 ， 一定大于 ”是假命题．你举的反例是 ．（写出一
个值即可）
5．圆内接四边形 中， ，则
6．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ， ，则 的长为
．
7．如图，在同一平面内，已知 直线 于点 与直线 相交（且不垂直）于点 ．求证： 与
必相交．
证明：假设 与 不相交，则___________ ___________．
这与 与直线 不垂直相矛盾．假设 与 不相交___________．
与 ___________．
8．如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
9．如图，有一破残的圆片，我们需要把它复制完整，已知弧上的点A、B、C．
(1)通过尺规作图，确定A、B、C所在圆的圆心O；
(2)若 是等腰三角形，且底边 ，腰 ，求圆片的半径．
10．如图， 为正方形 对角线 上一点，以 为圆心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证∶ 与 相切；
(2)若正方形 的边长为4，求 的半径．
