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专题 04 圆（13 知识&17 题型&6 易错&5 方法清单）【清单01】 圆的定义及性质
圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
【清单02】圆的有关概念
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作 ，读作圆
AB
弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
【清单03】垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分【清单04】圆心角的概念
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
E
F
O
D
A
C
B
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
C
B O
【清单05】圆角角的概念
A
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
1
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角= 圆心角
2
）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 D C
B O
A
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
C
B A
O
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
B A
O【清单06】圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙ 中， ∵四边 是内接四边形 D
C
∴
B
A E
【清单07】点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
P
r
d
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
P
r
d
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
r P
点在圆内 d 点在圆的内部 d < r 点P在圆内【清单08】直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
r
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
d
r
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
d
r
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
d
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
【清单09】切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆
心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中
性质
作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计
算或证明．
1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切.
3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时，
判定
1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半
径，简称“连半径，证垂直”；3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半
径，简称“作垂直，证半径”．
【清单10】切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角
三角形来求解．
【清单11】三角形内切圆与外接圆
1.三角形内切圆与外接圆的定义
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
三角形外接圆
分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这
三角形内切圆
个三角形叫做圆的外切三角形.
2. 三角形内心与外心
圆心的 圆心的确定方法 图形 圆心的性质
名称
外心 三角形三边中垂线的交点 A 1)OA=OB=OC
O 2)外心不一定在三角形的内部．
B C
内心 三角形三条角平分线的交点 A 1)到三边的距离相等；
O 2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、
∠ACB；
B C
3)内心一定在三角形内部．
【清单12】正多边形与圆的有关概念
1. 正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
【清单13】弧长和扇形面积
设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为l，n为弧所对的圆心角的度数，则
扇形弧长公式 nπR
l= （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n
180
表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．）
扇形面积公式 nπR2 1
l
S扇形=
360
=
2
R
圆锥侧面积公式 S
圆锥侧
=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
圆锥全面积公式 S
圆锥全
=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）
圆锥的高h，圆 r2+h2=l2
锥的底面半径r
【题型一】圆的基本性质
【典例1】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=45°,∠ABO=70°，则∠OAC= ．
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径
C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧
【变式2】如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm．∠AOB的度数 ．【变式3【如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若A(-4,0)，D(0,-2)，
则⊙E半径r为 ．
【题型二】垂径定理及应用
【典例2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，
就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN=2m时，试求：
(1)拱桥所在的圆的半径；
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【变式1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD=8，OD=5，则
BE的长为( )A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大
摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作A´C，连接AC，交OB于点D，已知OB⊥AC，且点B为A´C
的中点，AC=16m，BD=4m，则大摆锤的长度为（ ）
A．8m B．12m C．10m D．9m
【变式3】西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安，如图，这是摔碗酒瓷碗
正面的形状示意图，A´B是⊙O的一部分，半径OD⊥AB，与弦AB交于点C，连接OA、OB，已知
AB=18cm，碗深CD=6cm，求OA的长．
【题型三】点与圆上一点最值问题
【典例3】如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是BC上一动点，则PE+PD最小值是（ ）
A．2❑√5 B．2.5 C．4 D．3
【变式1】如图，P是矩形ABCD(AB>AD)的边AB上一动点，F是BC的中点，连接DP，将△DAP沿
DP所在直线折叠，点A的对应点是点E，连接EF．已知AB=2❑√10，当线段EF的最小值为1时，边
BC的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式2】如图，Rt△ABC中，AC=BC=8，M为边BC的中点，长度为2的动线段AN绕点A旋转，连
接MN，取MN的中点P，则CP长度的最大值为 ，最小值为 ．
【变式3】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8．E为矩形内一点，连接CE，DE，且
∠ADE=∠DCE，P为AD边上一动点，连接BP，EP，则BP+EP的最小值为 ．【题型四】圆周角定理
【典例4】如图，AB是⊙O的直径，∠CDB=26°，则∠BOC的度数是（ ）
A．60° B．52° C．50° D．40°
【变式1】如图，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=40°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，C,D是圆上的点，若∠AOC=100∘，则∠D的度数是（ ）
A．50∘ B．40∘ C．30∘ D．45∘
【变式3】如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠BOC=100∘，则∠A的度数为（ ）
A．40∘ B．50° C．80∘ D．100∘【题型五】圆内接四边形
【典例5】如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣
弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（ ）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，连接OB、OD，则∠BOD= °．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ADC=116°，点E在⊙O上，则
∠BEC= ．
【变式3】如图，点P是⊙O上一点，若∠AOB=70°，则∠APB= °．
【题型六】点与圆的位置关系的判定
【典例6】若⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定【变式1】已知⊙O的直径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
【题型七】三角形的外接圆
【典例7】如图，已知△ABC．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O（保留作图的痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若⊙O的半径为5，点O到BC的距离为3，求BC的长．
【变式1】三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点
【变式2】如图，直角坐标系中A(0,4),B(4,4),C(6,2)，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的
坐标为（ ）
A．(1,-1) B．(1,0) C．(2,0) D．(2,1)
【题型八】直线与圆的位置关系的判定
【典例8】如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心，r=3cm为半径的⊙C
与AB的位置关系是 ．
【变式2】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=29°，OD的延长线与直线BC相交于点C，且∠C=32°，
则直线BC与⊙O的位置关系是 ．
【题型九】切线判定与性质综合
【典例9】如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，延长
BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)QD为PB边上的中线，若AQ=4，CQ=2，求QD的值．
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，C为过点B的切线上一点，且BC=AC，D, E, F分别在
AB, BC, AC上，且AD=BE, AF=BD，连接EF．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠C=50°，求∠EDF的度数．【变式2】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=75°,∠ABC=45°，连接AO并延长，交
⊙O于点D，过C作AD的平行线交BA延长线于点E．
(1)求证：CE与⊙O相切；
(2)若BD=6，求线段EC的长．
【变式3】如图，点D是△ABC的边BC上一点，以CD为直径的⊙O切AB于点E，BF⊥AO交AO延长
线于点F，且∠FBC=∠CAF．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AC=6，BC=8．
①求⊙O的半径；
②连接CF，求BF的长．
【题型十】切线长定理的应用【典例10】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点
C在弧AB上，PA=8，则△PEF的周长是（ ）．
A．12 B．18 C．24 D．16
【变式1】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若
OB=8cm,OC＝6cm，则BE+CG等于（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【变式2】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D
两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（ ）
A．60° B．45° C．70° D．90°
【变式3】如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A
作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）)cm2A．12 B．24 C．8 D．6
【题型十一】三角形的内切圆
【典例11】如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC,AB,AC于点D，E，F．若△ABC的周长为
24cm，BC=10cm，则AE的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【变式1】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且CD=2，AB=7，
则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=17，⊙O与△ABC三边分别相切于点D，E，F，
且OD=3，则△ABC的面积是（ ）
A．80 B．70 C．60 D．50
【变式3】如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，⊙O与BC，AC，AB的切点分别为
D，E，F，若AC=8，BC=6，则⊙O的半径为（ ）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【题型十二】正多边形与圆的综合
【典例12】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是C´D上一点（不与点C，D重合），连接CP，
DP，则∠CPD的度数为（ ）
A．165° B．150° C．120° D．108°
【变式1】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图
所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C．π D．2π
【变式2】如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A．1 B．2 C．4❑√2 D．2❑√2
【变式3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若四边形AOCB的面积为8❑√3，则⊙O的半径为
（ ）A．2 B．2❑√2 C．2❑√3 D．4
【题型十三】弧长的计算
【典例13】已知⊙O半径为18cm，在⊙O中60°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3πcm B．4.5πcm C．6πcm D．9πcm
【变式1】如图，直线l ∥l ，直线m分别交l 、l 于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交
1 2 1 2
l 、l 于直线m同侧的点C、D，∠ADB=35°，AB=9，则C´D的长等于（ ）
2 1
7 7
A．5π B．4π C． π D． π
2 4
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，∠ACD=42°．若⊙O的半径为6，则
⏜
的长是（ ）
DC
13 3 6
A． π B． π C． π D．2π
3 5 5
【题型十四】扇形面积的计算
【典例14】如图，正五边形ABCDE的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分
的面积为（ ）A．12π B．6π C．108π D．10.8π
【变式1】一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（ ）
A．260° B．240° C．140° D．120°
【变式2】如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，BO=2CO=2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，
这条弧恰好经过点D，且交AD于点E，则阴影部分的面积为（ ）
π π 2π 4π
A． B． C． D．
3 2 3 3
【变式3】中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇
形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到AO=13cm，CO=3cm，
∠AOB=72°，则图②所示的拼盘面积为（ ）
182 91
A． πcm2 B． πcm2 C．64πcm2 D．32πcm2
5 5
【题型十五】圆锥的侧面积
【典例15】将如图所示的图形绕虚线所在直线旋转一周形成的几何体的侧面积是（ ）A．12cm2 B．15cm2 C．12πcm2 D．15πcm2
【变式1】把一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为
4πcm的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A．8πcm2 B．9πcm2 C．19πcm2 D．27πcm2
【变式2】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为16cm，高为12cm的圆锥
形官帽，则所需扇形绸布的面积为（ ）
A．240π cm2 B．280π cm2 C．320π cm2 D．640π cm2
【题型十六】不规则图形的阴影面积
【典例16】如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作B´C与弦AC相切．已知AB=4，
∠ABC=30°，则阴影部分的面积为（ ）
1 5 1 5 1
A．2❑√3- π B． ❑√3-π C．❑√3- π D． ❑√3- π
2 4 2 4 2
【变式1】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，以点C为圆心，CB的长为半径在⊙O内画弧．若AB=❑√2，则图中阴影部分的面积为（ ）
π π π
A． B． C．1 D． +1
2 4 4
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，交
AD于点E，F，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（ ）
25π 25π 25π 25π
A．10- B．20- C．40- D．40-
4 2 2 8
【题型十七】圆锥侧面最短路径问题
【典例17】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．
（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．
（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬
过的最短距离．
【变式1】如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A
点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．【变式2】如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，
（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．阅读材料，回答问题．
材料背景
遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示
的图形，且测得水面宽度AB为24m，拱高CD（孤的中点到水面的距离）为8m．
问题解决
(1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径．
(2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升2m，求此时水面的宽度．
【题型02 ：点与圆上一点最值问题】
2．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D， P为DC上的任意一点，若MN=26,AC=12,BD=5，则PA+PB的最小值为（ ）
A．15❑√2 B．17❑√2 C．17❑√3 D．15❑√3
【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】
3．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角
为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是( )
A．-1≤x≤1 B．-❑√2≤x≤❑√2 C．-❑√2
